對(duì)兩圓的冪之比為定值的點(diǎn)的軌跡方程

陜西省陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)(710061) 李朋濤

摘要到兩定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ/=1)的點(diǎn)的軌跡為圓,稱為阿波羅尼圓[1].本文受此啟發(fā),將此結(jié)論推廣為:對(duì)兩定圓的冪之比為定值的點(diǎn)的軌跡,并得到了相應(yīng)的軌跡方程.

1.知識(shí)介紹

點(diǎn)對(duì)圓的冪定義:點(diǎn)P對(duì)⊙O的冪為|PO|2-r2,其中r為⊙O的半徑.注意當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí),P對(duì)⊙O的冪|PO|2-r2為過(guò)P的⊙O的切線長(zhǎng)的平方.

引理1對(duì)兩圓的冪相等的點(diǎn)的軌跡是一條垂直于連心線的直線.

圖1

證明設(shè)點(diǎn)P對(duì)⊙O1、⊙O2的冪相等,作PH⊥O1O2,垂足為H.記|O1O2|=d,|O1H|=d1,|O2H|=d2,則d=d1+d2.由點(diǎn)對(duì)圓的冪的定義知即,所以即由方程組解得:這個(gè)結(jié)果與點(diǎn)P無(wú)關(guān),即不論點(diǎn)P的位置如何,H均為一固定點(diǎn),這表明點(diǎn)P在O1O2的過(guò)H的垂線上.反之,因上面的證明可逆,所以這條直線上的任意一點(diǎn)關(guān)于這兩圓的冪相等.這條直線—對(duì)兩圓的冪相等的點(diǎn)的軌跡,稱為這兩圓的根軸.(有關(guān)兩圓根軸的更多內(nèi)容請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[2].)

定理1兩圓⊙O1:(x-a1)2+(y-b1)2=,⊙O2:(x-a2)2+(y-b2)2=的根軸方程為兩圓方程之差.

證明由引理知兩圓根軸為垂直于連心線的直線,設(shè)P(x,y)為兩圓根軸所在直線上任一點(diǎn),由根軸的定義知點(diǎn)P到兩圓的冪相等,即化簡(jiǎn)得:此方程即為兩圓根軸所在直線的方程,它為兩圓方程之差.

由定理1可知,兩圓的根軸為垂直于連心線的直線,根軸的方程為兩圓方程之差.

定理2到兩定圓的冪之比為定值λ的點(diǎn)的軌跡為圓(當(dāng)λ=1時(shí)為直線),且該圓與兩定圓共根軸.

證明設(shè)兩定圓為⊙O1:(x-a1)2+(y-b1)2=,⊙O2:(x-a2)2+(y-b2)2=,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)對(duì)兩定圓的冪之比為定值λ,則由點(diǎn)對(duì)圓的冪的定義有整理得:(1-λ)x2+(1-λ)y2+2(λa2-a1)x+2(λb2-b1)y=當(dāng)λ=1時(shí),動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為:注意到此方程為兩圓方程之差,即⊙O1與⊙O2的根軸.

當(dāng)λ/=1時(shí),化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓:

由定理1知兩圓根軸為兩圓方程之差,故該圓與⊙O1的根軸方程為:化簡(jiǎn)得這與⊙O1、⊙O2的根軸相同,即三圓共根軸,證畢.

推論1當(dāng)兩圓之一變?yōu)辄c(diǎn)圓時(shí),結(jié)論仍成立;特別地當(dāng)兩圓均變?yōu)辄c(diǎn)圓時(shí),結(jié)論也成立,此時(shí)的圓(*)被稱之為阿波羅尼圓.(與阿波羅尼圓有關(guān)的更多性質(zhì)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[3].)

2.應(yīng)用舉例

例1(1994年全國(guó)高考)已知點(diǎn)Q(2,0)和⊙C:x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到⊙C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比值λ(λ＞0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

解因動(dòng)點(diǎn)M到⊙C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比值為λ,所以動(dòng)點(diǎn)M對(duì)⊙C與點(diǎn)圓Q(2,0)的冪之比為λ2.當(dāng)λ=1時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡即為⊙C:x2+y2=1與點(diǎn)圓⊙Q:(x-2)2+y2=0的根軸,由推論1知此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為兩圓方程之差,即直線:當(dāng)λ/=1時(shí),由定理2知此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓,由式(*)立即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為:

例2(2005年高考江蘇卷)已知⊙O1:(x+2)2+y2=1,⊙O2:(x-2)2+y2=1過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作⊙O1,⊙O2的切線PM,PN(M,N為切點(diǎn)),使得求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解由可知,動(dòng)點(diǎn)P對(duì)⊙O1,⊙O2的冪之比為2,所以由定理2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為圓,由式(*)立即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為:x2+y2-12x=-3.

例3(2006年高考四川卷)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解將定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0)看作點(diǎn)圓,因|PA|=2|PB|,所以動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩點(diǎn)圓的冪之比為4,由定理2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為圓,由式(*)立即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為:x2+y2-4x=0.

例4(2013年高考江蘇卷)已知A(0,3),圓C的半徑為1,圓心在直線y=2x-4上,若圓C上存在點(diǎn)M,使得MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

解由題設(shè)知圓C方程為:(x-a)2+(y-2a+4)2=1,將點(diǎn)A(0,3),O(0,0)看作點(diǎn)圓,因MA=2MO,故點(diǎn)M對(duì)兩圓的冪之比為4,由式(*)立即得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為:x2+(y+1)2=4,又因動(dòng)點(diǎn)M亦在圓C上,故只需兩圓有公共點(diǎn)即可.即解得

例5(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試題)已知圓C:(x-2)2+(y-2)2=m,點(diǎn)A(4,6)和點(diǎn)B(s,t).若s,t為正整數(shù)且圓C上任一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之比為定值λ(λ＞1),求m的值.

解將點(diǎn)A(4,6),B(s,t)看作點(diǎn)圓,由式(*)立即得對(duì)兩(圓的冪之)比為定值λ2的點(diǎn)的軌跡為圓:x2+由題知該圓與圓C:x2+y2-4x-4y=m-8重合,即注意到s,t為正整數(shù),解得s=3,t=4,λ2=2,所以即m-8=2,解得:m=10.

例6(2011年卓越聯(lián)盟自主招生試題)在△ABC中,AB=2AC,AD是∠A的平分線,且AD=kAC.

(1)求k的取值范圍;

(2)若S△ABC=1,問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí),BC最短?

圖2

解 (1)方法一滿足AB=2AC的點(diǎn)A的軌跡為阿波羅尼圓,過(guò)A作AE⊥AD,交BC 延長(zhǎng)線于E,由阿波羅尼圓的幾何意義知,點(diǎn)A的軌跡為以DE為直徑的圓,如圖2所示.在△ABC中由張角定理得解得當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)

方法二以BC為x軸,BC中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)B(-c,0),C(c,0),將點(diǎn)B、C看作點(diǎn)圓,因AB=2AC,故點(diǎn)A的軌跡為對(duì)兩圓的冪之比為4的點(diǎn)的軌跡,由式(*)立即得A(x,y)的軌跡阿波羅尼圓,其方程為:由角平分線定理可知:,所以從而

(2)當(dāng)△ABC的BC邊上的高為阿波羅尼圓半徑時(shí)BC最短,由(1)方法二中A的阿波羅尼圓方程知?jiǎng)t從而

例7(2012年遼寧省五校協(xié)作體競(jìng)賽試題)已知圓C:x2+y2=9,點(diǎn)A(-5,0),若在直線OA上存在定點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A),滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).

解設(shè)B(b,0),由式(*)立即得到對(duì)兩點(diǎn)圓B(b,0),A(-5,0)的冪之比為λ的點(diǎn)的軌跡是圓:它與圓C:x2+y2=9是同一個(gè)圓.所以解得故當(dāng)時(shí),對(duì)于圓C:x2+y2=9上任一點(diǎn)P,都有

例8(2017年中國(guó)女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,⊙P分別切AC、BD于點(diǎn)E、F,交⊙O于S、T兩點(diǎn),直線FE交AD于M,交BC于N,證明:M、N、S、T四點(diǎn)共圓.

圖3

證明因⊙O與⊙P的根軸為直線ST,故要證M、N、S、T四點(diǎn)共圓等價(jià)于證⊙O,⊙P及△MNS的外接圓三圓共軸即可.根據(jù)定理2只需證明:而sin∠NEC=sin∠AEM,sin∠NEC=sin∠MFD,sin∠NBF=sin∠MAE,sin∠NCE=sin∠MDF,證畢.(此解答由文武光華工作室田開(kāi)斌老師提供.)