圓錐曲線中一類定點問題的探究

廣東省佛山市高明區(qū)紀念中學(528500) 孟 弦

一、問題呈現(xiàn)

下面提供的是2018年全國高考卷(新課標I理科)第19題題目:

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.證明過程從略.在上述解答過程中發(fā)現(xiàn),題目已知的橢圓外的點M恰好使得斜率之和為零,筆者不禁想問,推廣到一般情況時,要使kMA+kMB=0成立,這個點M坐標與橢圓的長半軸長,短半軸長,焦半徑有怎樣的關(guān)系;如果推廣到其他圓錐曲線,是否會有類似的結(jié)論;當直線AB是不過焦點的直線時,是否存在一個點M,使得斜率之和依然為定值等等.

一、探究過程

探究1設橢圓的右焦點為F,過點F的直線l與C交于A,B兩點.則在x軸上是否存在一點M使kMA+kMB=0恒成立.

有關(guān)如上問題,筆者從文獻[1]中了解到有下列性質(zhì).

結(jié)論1設橢圓的右焦點為F,過點F的直線l與C交于A,B兩點.則在x軸上存在點使kMA+kMB=0恒成立.

結(jié)論2設雙曲線的右焦點為F,過點F的直線l與C交于A,B兩點.則在x軸上存在點使kMA+kMB=0恒成立.

結(jié)論3設拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點為F,過點F的直線l與C交于A,B兩點.則在x軸上存在點使kMA+kMB=0恒成立.

上述三個結(jié)論中的條件具有限制性,比如直線l要過焦點F,點M在x軸上.當進一步一般化時,會有下列性質(zhì).其證明可參閱文[2].

結(jié)論4過定點P(t,0)(t/=0,t/=a)的直線l與雙曲線C:交于A,B兩點.則存在點使得直線MA與MB的斜率之和為定值

結(jié)論5過定點P(t,0)(t/=0,t/=a)的直線l與橢圓C:交于A,B兩點.則存在點使得直線MA與MB的斜率之和為定值

結(jié)論6過定點P(t,0)(t/=0)的直線l與拋物線C:y2=2px(p＞0)交于A,B兩點.則存在點M(-t,n)(n∈R),使得直線MA與MB的斜率之和為定值

數(shù)學中有逆命題的概念,這種思想應用到結(jié)論4上,會有漂亮結(jié)果出現(xiàn)嗎?

探究2已知雙曲線C:過平面內(nèi)不在雙曲線C上任一點M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交雙曲線C于A,B兩點和D,E兩點,兩直線的斜率滿足則直線AD,BE,AE,BD是否過定點,如果有定點求出其坐標.

證明不妨先證明直線AD過定點.當直線AD的斜率不為0時,設直線AD的方程為x=μy+t,設A(x1,y1),D(x2,y2).聯(lián)立方程得所以即由韋達定理得

所以

當直線AD的斜率為0時,設直線AD的方程為y=m,設A(x1,m),D(x2,m).聯(lián)立直線和雙曲線方程可得由韋達定理得x1+x2=0,x1x2=則化簡可得即直線AD的方程為則直線恒過定點

結(jié)論7已知雙曲線過平面內(nèi)不在雙曲線C上任一點M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交雙曲線C于A,B兩點和D,E兩點,兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點,直線AE和直線BD恒過同一定點,這兩個定點的坐標為和

雙曲線有如此完美定點,橢圓和拋物線是否也有類似的結(jié)論呢?筆者通過探究,得到如下結(jié)論,探索方法與上面類似,過程省略.

結(jié)論8已知橢圓過平面內(nèi)不在橢圓C上任一點M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交橢圓C于A,B兩點和D,E兩點,兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點,直線AE和直線BD恒過同一定點,這兩個定點的坐標為和

結(jié)論9已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過平面內(nèi)不在拋物線C上任一點M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作兩條直線l1和l2,分別交拋物線C于A,B兩點和D,E兩點,兩直線的斜率滿足則直線AD和直線BE恒過同一定點,直線AE和直線BD恒過同一定點,這兩個定點的坐標為(-x0,0)和