對(duì)2018年一道高考數(shù)學(xué)文化試題的評(píng)析

北京市首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(100048) 覃 淋

四川省簡(jiǎn)陽(yáng)市簡(jiǎn)陽(yáng)中學(xué)(641400) 李秀萍

近年來(lái),隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不斷深化提高,越來(lái)越認(rèn)同“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”這一觀點(diǎn),引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)文化的研究的熱潮.2018年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》從課程性質(zhì)、基本理念、課程目標(biāo)、實(shí)施建議等方面對(duì)“數(shù)學(xué)文化”作了進(jìn)一步的要求:強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中.通過(guò)在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和人類社會(huì)發(fā)展中所起的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,樹立文化自信、提升人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與文化學(xué)、社會(huì)學(xué)的交叉學(xué)科,很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值以及社會(huì)價(jià)值[2].近年來(lái),全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試卷中都有基于數(shù)學(xué)文化命制的試題,主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用三個(gè)方面[3].數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)的重要組成部分,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要作用.所謂數(shù)學(xué)文化試題,和一般數(shù)學(xué)試題不同的是,這類試題中融入了與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的內(nèi)容,比如數(shù)學(xué)的思想、精神、方法以及數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)及其它文化的聯(lián)系等等,具有人文性、趣味性和科學(xué)性等特點(diǎn).從試題中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的呈現(xiàn)方式來(lái)看,可以分為顯性和隱性兩大類,在以顯性方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題中,數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)非常明顯,如2015年全國(guó)卷I理科第6題直接以《九章算術(shù)》中的題目設(shè)問(wèn);再如2018年浙江卷第11題直接以《張丘建算經(jīng)》中“百錢百雞”設(shè)置題目.在以隱性方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題中,數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)并不十分明顯,需要深入挖掘,如2012年上海卷文科第14題,題目中涉及了函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)、黃金分割和斐波拉契數(shù)列等數(shù)學(xué)文化,但隱藏很深,不深入挖掘,就很難發(fā)現(xiàn)試題蘊(yùn)含的深厚文化底蘊(yùn)[3].再如2015年湖北卷理科第22題,題目中涉及了卡爾勒曼(Carleman)不等式、數(shù)學(xué)歸納法、超越數(shù)e等數(shù)學(xué)知識(shí),還涉及了轉(zhuǎn)換化歸等數(shù)學(xué)思想方法.從數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的角度來(lái)看,這類試題的難度一般不是很大,只要學(xué)生能夠讀懂題干所表述的含義,基本上就可以正確地解答問(wèn)題.但這類試題具有其它一般數(shù)學(xué)試題難以比擬的文化價(jià)值、教育價(jià)值以及科學(xué)價(jià)值,數(shù)學(xué)文化試題的意義和價(jià)值超越了試題本身.

以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)學(xué)試題,可以極大的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)濃厚的歷史文化底蘊(yùn),同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.考試作為指揮棒,將數(shù)學(xué)文化融入到高考數(shù)學(xué)試題中,能夠進(jìn)一步發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值、體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和社會(huì)價(jià)值,促進(jìn)數(shù)學(xué)教育工作者和相關(guān)專家對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)和研究.以數(shù)學(xué)文化作為試題背景已成為高考數(shù)學(xué)命題的新亮點(diǎn)、新趨勢(shì).比如:2013年湖北卷理科第12題以角谷猜想為背景考查程序框圖,2014年陜西卷理科第14題以歐拉定理為背景設(shè)置題目,2015年全國(guó)卷II理科第8題以《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”為背景考查程序框圖,2016年全國(guó)卷II文科第9題以“秦九韶算法”考查程序框圖,2017年全國(guó)卷II理科第3題以我國(guó)明代程大位的數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中的古算詩(shī)題為素材考查等比數(shù)列求和公式.

《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》(下稱《考試大綱》)在“個(gè)性品質(zhì)要求”中提到:“要求考生具有一定的數(shù)學(xué)視野,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值,崇尚數(shù)學(xué)的理性精神,形成審慎的思維習(xí)慣,體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.”在這些背景下,2018年高考堅(jiān)持“立德樹人”和“文化育人”的基本理念,出現(xiàn)了許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化試題:全國(guó)卷I理科第10題以希波克拉底定理為背景考查幾何概型,北京卷文科第5題以“十二平均律”為背景考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,浙江卷第21題以阿基米德的名著《拋物線圖形求積方法》(Quadrature of the Parabola)中的相關(guān)命題為背景設(shè)置題目,上海卷第15題以《九章算術(shù)》中的“陽(yáng)馬”概念考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系等.本文從試題背景、解法等角度對(duì)2018年浙江卷第21題進(jìn)行賞析,對(duì)其命題特點(diǎn)進(jìn)行分析,為以后命題者編制出更加新穎的試題提供啟發(fā).

1.試題呈現(xiàn)

題目(2018年高考浙江卷第21題)如圖1,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上.

(I)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;

圖1

(II)若P是半橢圓(x＜0)上的動(dòng)點(diǎn),求三角形PAB面積的取值范圍.

2.試題背景

此題以阿基米德的《阿基米德方法》(The Method of Archimedes)和《拋物線圖形求積方法》(Quadrature of the Parabola)中的相關(guān)內(nèi)容為背景,進(jìn)行改編和重構(gòu),設(shè)置了新的題目.考查直線與拋物線的位置關(guān)系、函數(shù)最值、弦中點(diǎn)以及三角形面積公式等知識(shí),綜合地考查了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.同時(shí)考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

《阿基米德方法》實(shí)際上是阿基米德的一封信,在上個(gè)世紀(jì)初被發(fā)現(xiàn),后來(lái)被冠以《阿基米德方法》發(fā)表出來(lái).1906年,海貝格(J.L.Heiberg,1854-1928)在土耳其君士坦丁堡(伊斯坦布爾)發(fā)現(xiàn)一塊羊皮紙,上面存有字跡,經(jīng)過(guò)仔細(xì)辨認(rèn),發(fā)現(xiàn)竟然是阿基米德的著作,經(jīng)過(guò)不懈努力,使得這些文字重見天日.其中包括《論球與圓柱》、《圓的度量》以及《平面圖形的平衡或其重心》和《論浮體》的一部分,還有就是現(xiàn)今被稱為《阿基米德方法》這部分內(nèi)容,這是阿基米德寫給數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼(Eratosthenes,公元前276-前194)的信,這一發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn).

《阿基米德方法》中共有15個(gè)命題,包括阿基米德計(jì)算許多面積和體積的方法、技巧等,更為重要的是,這里面的結(jié)果大都給出了比較嚴(yán)格的證明.在信開頭就說(shuō)明了信的主要內(nèi)容.這些方法的主要特點(diǎn)是將要計(jì)算一個(gè)未知量(圖形的面積或體積),先將其進(jìn)行分割,再與已知圖形(這個(gè)已知圖形面積必須是比較容易計(jì)算的)對(duì)應(yīng)進(jìn)行比較.利用杠桿原理,使它們?cè)诟軛U上保持平衡.這實(shí)質(zhì)上是積分法的基本思想.阿基米德特別聲明這種方法并不是嚴(yán)格證明,在《方法》的序言中寫道:“這些定理將來(lái)必須用幾何方法加以證明,因?yàn)橐陨戏椒ú凰阏嬲饬x上的證明.”

圖2

這里問(wèn)題的背景是《方法》中的命題1:拋物弓形的面積是其內(nèi)接三角形面積的.如圖2,拋物弓形是指由拋物線ABC和直線AC圍成的圖形,B為弓形的定點(diǎn),是過(guò)AC的中點(diǎn)與拋物線軸平行的直線和拋物線的交點(diǎn).在拋物線上,B點(diǎn)到AC的距離最大.已知拋物線ABC及其頂點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)C作拋物線的一條切線與BD交于點(diǎn)E,再過(guò)點(diǎn)A作平行于DE的直線與切線交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CB交AF于點(diǎn)K,再延長(zhǎng)到點(diǎn)H,使得CK=KH.阿基米德的想法是把CH作為以K為中點(diǎn)的杠桿,證明圖中的三角形CFA與放在點(diǎn)H的拋物弓形保持平衡.基本思路如下:先在三角形CAF中任意作平行于ED的線段MO,再證MO與放在點(diǎn)H的拋物弓形中的線段PO平衡.要證明二者平衡,須用到拋物線的兩個(gè)性質(zhì),即EB=BD和MO:PO=CA:AO(顯然阿基米德對(duì)拋物線的基本性質(zhì)十分熟悉).因?yàn)镋B=BD,所以FK=KA,MN=NO,又因?yàn)镵是AF的中點(diǎn),由《原本》卷6命題2可知,MO:PO=CA:AO=CK:KN=HK:KN.若把與PO相等的線段TG置于其中心H點(diǎn),則有MO:TG=HK:KN.由于點(diǎn)N是MO的重心,那么由杠桿原理可知MO與TG以K為支點(diǎn)保持平衡.阿基米德接著寫道[4],“因?yàn)槿切蜟FA由所有像MO這樣的平行線段組成,而拋物弓形CBA由所有像PO一樣含于曲線內(nèi)部的線段組成,因而圖中的三角形與重心放在點(diǎn)H的拋物弓形關(guān)于支點(diǎn)K保持平衡.”阿基米德推出三角形ACF:拋物弓形ABC=HK:KW=3:1,即拋物弓形三角形ACF,又因?yàn)槿切蜛CF=4倍三角形ABC,所以拋物弓形三角形ABC.在命題最后,阿基米德強(qiáng)調(diào)[5]:“這里所陳述的事實(shí)不能以上面的過(guò)程作為真正的證明,但這一過(guò)程卻暗示了結(jié)論的正確性.鑒于該命題并未得到嚴(yán)格證明,同時(shí)其真實(shí)性又值得懷疑,因此我們將求助于幾何學(xué)上的證明,我本人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并公布了這一證明.”

圖3

而后在《拋物線圖形求積方法》中明確給出了拋物弓形面積結(jié)果的幾何證明.其證明思想是利用歐多克斯的窮竭法,即通過(guò)在弓形內(nèi)部作一系列的多邊形去逼近弓形,使得弓形的面積與內(nèi)接多邊形的面積之差小于任一給定值,最后用歸謬法證明.如圖3,先在弓形內(nèi)部作一個(gè)三角形PQQ′,點(diǎn)P把弓形分為PRQ和PR′Q′兩部分,再作三角形PRQ和三角形PR′Q′,這兩個(gè)三角形把弓形分為四個(gè)部分,按此可以繼續(xù)類推下去.

阿基米德計(jì)算出每次作出的所有三角形的面積之和是前一次作出的所有三角形面積和的,所作次數(shù)越多,這些三角形的面積和也就越接近弓形的面積.為了完成這一證明,需要計(jì)算幾何級(jí)數(shù)的和,這里a為三角形PQQ′的面積,然后阿基米德直接利用了這一結(jié)論.再用歸謬法(reductio ad absurdum)給出了證明.

3.試題解法

對(duì)任意一道數(shù)學(xué)題,都會(huì)有多種不同的解法.這是因?yàn)椴煌娜擞衅洳煌闹R(shí)經(jīng)驗(yàn).學(xué)習(xí)者在問(wèn)題解決的過(guò)程中,都會(huì)以已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),每一形式的表征依賴于個(gè)體不同的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),由此可能引出不同的問(wèn)題解決策略,產(chǎn)生不同的解法[6].從不同角度來(lái)思考同一問(wèn)題,可以培養(yǎng)學(xué)生的思維的靈活性和問(wèn)題解決策略的多樣性.

(I)證明

方法1設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AP的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為,代人拋物線方程得到,化為關(guān)于y1的二次方程,得.由于y1,y2是方程的根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,我們有y1+y2=2y0,此即y0=yM,從而PM垂直于y軸.

方法2設(shè)線段PA的中點(diǎn)為E,線段PB的中點(diǎn)為F,連接EF,設(shè)線段EF的中點(diǎn)為K,那么易知,P、K、M三點(diǎn)共線.當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí),線段AB的斜率,線段EF的斜率為,由AB//EF,知yM=yK,從而PM垂直于y軸.當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),知三角形PAB為等腰三角形,并且AB與y軸平行,又M為AB的中點(diǎn),那么PM⊥AB,從而PM垂直于y軸.

(II)解法1由(I)得,,所以.那么

解法2設(shè)直線方程為x=ty+k,聯(lián)立拋物線方程,可得y2-4ty-4k=0,因?yàn)閥1+y2=2y0,,那么,所以

4.結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析,我們可以發(fā)現(xiàn)命題者在將數(shù)學(xué)文化融入高考數(shù)學(xué)試題的過(guò)程中,改變了以往單純的知識(shí)性考查.這樣可以讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)富于人文性的一面,數(shù)學(xué)并不是枯燥無(wú)聊的.同時(shí),在教學(xué)中,教師和學(xué)生都應(yīng)明白,數(shù)學(xué)文化很重要,并不是因?yàn)楦呖家疾椴棚@得重要;不管是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看,還是從教師教學(xué)的角度來(lái)看,或是數(shù)學(xué)本身而言,數(shù)學(xué)文化都是非常重要的.從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的角度,數(shù)學(xué)文化可以讓學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).從教師教學(xué)的角度來(lái)看,教師應(yīng)充分利用教材中涉及到的數(shù)學(xué)文化,在課堂上也應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化在無(wú)形之中滲透到教學(xué)的過(guò)程中.

同時(shí),數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)科學(xué)的有機(jī)組成部分,高考試題在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí),更應(yīng)注意與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合,注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的內(nèi)涵,可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境、選取合適的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容等多種方式滲透數(shù)學(xué)文化.