一道高考題的“昨天·今天·明天”—關(guān)于常態(tài)二次圓錐曲線定點(定向)問題解法的“融合”與應用

江蘇省灌南中等專業(yè)學校(222500) 周如俊

高中數(shù)學教學研究類雜志每年都在高考之后,會對一些高考數(shù)學試題解法研究以專欄的形式呈現(xiàn),吸引更多的教師關(guān)注、學習、研究與拓展,從而增強期刊內(nèi)容的深度和力度.本文以一道高考題圓錐曲線定點(定向)問題解法為例,對有關(guān)期刊發(fā)表的研究論文進行梳理、溯源、整合,并對定點問題解法進行“融合”與“拓展”.

一、試題的溯源

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與P2B直線的斜率的和為-1,證明l過定點.

表1

查閱有關(guān)文獻,上述高考題最早可能起源于文獻[1-2],是在文獻[3]相關(guān)結(jié)論基礎(chǔ)上進行組題與命題的(如表1).由文獻[3]有關(guān)結(jié)論簡解如下:k1+k2=-1/=0,則直線l恒過定點,即T(2,-1).

表2

閱讀近三年有關(guān)高中數(shù)學教學研究類雜志,大都對上述高考題第(2)問的解法作了專題探究與一般性推廣,有關(guān)研究結(jié)論歸類如表2所示.表2呈出的有關(guān)結(jié)論的推導過程繁雜,表達式形式不一,相互間關(guān)聯(lián)度低,識記難,缺失適用于圓、橢圓、雙曲線、拋物線等常態(tài)二次圓錐曲線“通法”的求解公式.有的公式或遺漏相關(guān)參數(shù),或公式結(jié)果有誤,或缺失對特殊情況的結(jié)果研究.

此外,文[12]雖提出如下兩個“試試”的結(jié)論,但沒有給出證明過程,且該文的“結(jié)論1”有誤.

結(jié)論1定點P(x0,y0)是二次曲線C:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0上的一定點P(x0,y0),點M,N是二次曲線C上異于P點的兩點,已知直線PM,PN的斜率kPM,kPN滿足條件:kPM+kPN=λ(λ為常數(shù),且λ/=0),則直線過定點.

結(jié)論2定點P(x0,y0)是二次曲線C:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0上的一定點P(x0,y0),點M,N是二次曲線C上異于P點的兩點,已知直線PM,PN的斜率kPM,kPN滿足條件:kPMkPN=λ(λ為常數(shù),且A-λB/=0),則直線過定點.

筆者嘗試融合表1、表2“一般性結(jié)論”及文[12]的兩個結(jié)論,形成圓、橢圓、雙曲線、拋物線等常態(tài)二次圓錐曲線上動弦定點(定向)問題的“通法”的公式,具有簡捷性、普適性、通用性,實現(xiàn)了多類歸一、舉一反三、觸類旁通的教學效果.

二、解法的融合

綜觀表1、表2各類研究結(jié)論及文[12]的兩個結(jié)論,都可以歸結(jié)常態(tài)二次圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定點(定向)問題:曲線上一定點P(x0,y0)引出的兩條弦PM,PN,其兩弦斜率kPM、kPN滿足(kPM+kPN)或kPMkPN為定值,則動弦MN恒過定點或kMN為定值.本文將常見的圓、橢圓、雙曲線、拋物線等常態(tài)二次圓錐曲線(方程統(tǒng)一為F)(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0A2+B2/=0,進行整合思考.為簡化運算推論過程,形成如下解題思想:(1)坐標平移.將原點移到定點P(x0,y0),使得PM,PN均變?yōu)檫^新原點的直線(并設(shè)平移后直線M′N′方程為:mx′+ny′=1,構(gòu)建關(guān)于(y-y0)和(x-x0)的齊二次方程,進而得到關(guān)于為元的一元二次方程;(2)運用韋達定理求定點(定值).(kPM+kPN)與kPMkPN分別是上述一元二次方程二根之和與之積,代入求解,推導關(guān)于m,n的關(guān)系的一次方程,聯(lián)立mx′+ny′=1,求定點(定方向).為此得出如下兩個定理.

定理1常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2/=0)上有一定點P(x0,y0)與異于P點的兩動點M,N.已知直線PM,PN的斜率kPM,kPN滿足條件:則有:

(1)若λB=0,則直線MN有定向,即kMN=(當F2=2By0+D=0時,直線MN⊥軸);

定理2常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2/=0)上有一定點P(x0,y0)與異于P點的兩動點M,N.已知直線PM,PN的斜率kPM,kPN滿足條件:kPMkPN=λ.記則有:

(1)若A-λB=0,則直線MN有定向,即kMN=(當F1=2Bx0+C=0時,直線MN⊥軸);

(2)若A-λB/=0,則直線MN恒過定點.

定理1、定理2簡證如下:

證明作直線平移:代入F(x,y)=0,得:Ax′2+By′2+(2Ax0+C)x′+(2By0+D)y′=Ax′2+By′2+F1x′+F2y′=0.設(shè)平移后直線M′N′方程為:mx′+ny′=1,則有:Ax′2+By′2+(F1x′+F2y′)(mx′+ny′)=0,方程兩根,故有:.

(I)證明定理1.

(1)若λB=0,則,直線MN有定向,即(當F=2By20+D=0時,直線MN⊥軸).

(2)若λB/=0,則有1.即直線M′N′方程mx′+ny′=1在x′O′y′中恒過定點,故直線MN在xOy中恒過定點.

(II)證明定理2

(1)若A-λB=0,則,直線MN有定向,即(當F1=2Bx0+C=0時,直線MN⊥軸).

(2)若A-λB/=0,則有即直線M′N′方程mx′+ny′=1在x′O′y′中恒過定點.故直線MN在xOy中恒過定點

上述證明步步可逆,故定理1、定理2逆命題均成立.

應用定理1、定理2對文[12]兩個結(jié)論進行論證與校核:

若kPM+kPN=λ(λ為常數(shù),λB/=0),則直線MN恒過定點

故文[12]中結(jié)論1“試試”結(jié)論有誤,定點橫、縱坐標表達式“分母”中“λ”應為“λB”.

若kPMkPN=λ(λ為常數(shù),A-λB/=0),則直線MN恒過定點.文[12]中結(jié)論2正確.

應用定理1、定理2對表2相關(guān)結(jié)論作簡證,限于篇幅證明略.

三、通解的應用

1.求證(解)恒過定點

例1(2017年高考全國卷I理科第20題)(題目見文首)

解析利用定理1簡證上述高考題第(2)問:A=,B=1,F1=0,F2=2,直線AB在xOy中恒過定點,即恒過點T(2,-1).

2.求證(解)斜率為定值

例2(2004年高考北京卷理科第17題)如圖1,過拋物線y2=2px(p＞0)上一定點P(x0,y0)(y0＞0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2).

圖1

(I)略.(II)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

解析(II)由PA,PB傾斜角互補知:kPA=-kPB,λ=kPA+kPB=0.由定理1得:當λ=0,則直線AB有定向,即,所以kAB是非零常數(shù).

例3(2005年高考江西卷理科第20題)如圖2,M是拋物線y2=x上的一點,動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點,且MA=MB.

圖2

(1)若M為定點,證明:直線EF的斜率為定值;(2)略.

解析(1)設(shè)定點M坐標為(x0,y0),由MA=MB知:kME+kMF=0.由定理1知,直線EF有定向,即(定值).所以直線EF的斜率為定值.

例4(2009年高考遼寧卷理科第22題)已知橢圓C過點,兩個焦點為(-1,0),(1,0).

(1)求橢圓C的方程;

(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.

解析(I)由題意,c=1,可橢圓

(II)由題設(shè)知:λ=kAE+kAF=0.由定理1得:直線EF有定向,即

例5(2016年浙江(高中)競賽第17題)已知橢圓方程,經(jīng)過點,離心率為過橢圓C的右焦點作斜率為k的直線l,交橢圓于A,B兩點,記PA,PB的斜率為k1,k2.

(I)求橢圓的標準方程;

(II)若k1+k2=0,求實數(shù)k的值.

解析(I)由已知:代入橢圓方程及,解得:a2=25,b2=16,即

(II)由定理1得:λ=k1+k2=0,則直線AB有定向,即.(注:題目中“過橢圓C的右焦點作斜率為k的直線l”的條件屬于冗余條件,可去掉.文[13]化了很長篇幅討論冗余條件問題,本文證明簡捷明快).

3.求證(解)常數(shù)

例6(2017年全國(高中)數(shù)學聯(lián)賽第11題)作斜率為的直線l與橢圓1交于A,B兩點(如圖3所示),且在直線l的左上方.

圖3

(1)證明:△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上;(2)略.

證明(1)由定理1逆命題知,直線AB斜率為,有定向,則故kPA+kPB=0.又P在直線l的左上方,因此,∠APB的角平分線是平行于y軸的直線,即△PAB的內(nèi)切圓的圓心在直線上.

例7(2013年高考江西卷理科第20題)如圖4,橢圓C:經(jīng)過點,離心率,直線l的方程為x=4.

圖4

(1)求橢圓C的方程;

(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.

解析(1).(過程從略.)

四、通解的拓展

對于定理1、定理2,如果P(x0,y0)不在曲線上,仿文[14]證法,結(jié)合定理1、定理2的“平移法”構(gòu)建齊二次方程,可猜想并拓展如下命題(限于篇幅證明過程略).

定理3已知常態(tài)二次圓錐曲線F(x,y)=Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2/=0),給定的一點P(x0,y0),過P作兩條直線GH、IJ交曲線于G、H、I、J四點(記直線PGH、PIJ斜率分別為kPGH=k1,kPIJ=k2),M,N分別是弦GH,IJ的中點.記F1=2Ax0+C,F2=2By0+D,則有:

(1)若k1+k2=λ(λB/=0),直線MN恒過定點.

(2)若k1k2=λ(A-λB/=0),則直線MN恒過定點.

當P(x0,y0)在二次圓錐曲線上時,此時點P與G、I重合,則HJ一定過定點T(xT,yT),S為PT的中點.由中點坐標公式知:當k1+k2=λ(λB/=0),HJ恒過定點;若kk=λ(A-λB/=0),12HJ恒過定點.這與定理1、定理2的第(2)項結(jié)論是一致的.令P坐標為(m,n),曲線分別取y2=2px(p＞0),代入本文定理3,所得結(jié)論,正是文[14]中定理1、定理2、定理3結(jié)論.(摘編如下表3).

表3