庫侖阻尼在不同剛度抗沖隔離器中的作用分析

溫肇東，劉洪權(quán)*，閆明，張春輝，張磊

1海軍研究院，北京100161

2沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽110023

0 引 言

艦船在作戰(zhàn)中，水面非接觸爆炸沖擊載荷會給艦載設(shè)備帶來威脅。為保護(hù)設(shè)備安全運(yùn)行，主要采取3種方法來抑制沖擊振動，即控制沖擊源頭、改變沖擊傳輸路徑及減小沖擊響應(yīng)。在實(shí)際應(yīng)用中，最有效的方法是通過抗沖隔振器來減小沖擊響應(yīng)［1］。在抗沖隔振系統(tǒng)中，剛度和阻尼是2個主要參數(shù)。其中，剛度利用自身勢能存儲系統(tǒng)動能以減小被隔離體（設(shè)備）的加速度響應(yīng)，阻尼則是利用能耗性質(zhì)減小被隔離體的殘余響應(yīng)并同時增強(qiáng)隔振性的特點(diǎn)，達(dá)到減小系統(tǒng)固有頻率在一定帶寬范圍內(nèi)的沖擊振動響應(yīng)的目的［2］。

在剛度設(shè)計方面，Alabuzhev等［3］基于線性彈簧引入負(fù)剛度裝置，對其結(jié)構(gòu)及動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究，提出了準(zhǔn)零剛度的概念；彭獻(xiàn)等［4］詳細(xì)介紹了準(zhǔn)零剛度隔振器的定義、分類及其設(shè)計方法。除研究準(zhǔn)零剛度外，有學(xué)者還對主動、半主動剛度開展了研究。例如，Ledezma-Ramirez等［5］介紹了一種開關(guān)彈簧裝置，該裝置利用磁力施加恢復(fù)力，通過磁力切換剛度的大小。試驗(yàn)表明，該裝置能減少沖擊響應(yīng)，弱化殘余振動。

雖然阻尼的機(jī)理十分復(fù)雜，但是庫侖阻尼作為一種特殊阻尼，其工作原理較為簡單［6］。唐斯密等［7］對半主動干摩擦抗沖隔離器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，通過PID控制方法，確保了隔離器具有良好的隔振性，且使其保持了一定的抗沖擊能力。Ismail［8］對二自由度的庫侖阻尼系統(tǒng)進(jìn)行了沖擊振動分析，其使用摩擦阻尼控制殘余振動，通過使一個附著在主體上的次級質(zhì)量塊在摩擦界面上滑動，來達(dá)到耗散能量的目的。張萌等［9］采用半波激勵法和速度階躍法分析了庫侖阻尼中粘滯性對沖擊響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，該粘滯作用可以減小系統(tǒng)的振蕩，在頻率比較大的系統(tǒng)中，粘滯性是不可忽略的因素。Balandin等［10］對沖擊、振動隔離器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，指出開關(guān)彈簧與庫侖阻尼組成的隔離系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對沖擊的極限保護(hù)能力，但并未針對該隔離系統(tǒng)做進(jìn)一步的分析。

本文將以具有指數(shù)規(guī)律的運(yùn)動學(xué)方程為依據(jù)，分別研究庫侖阻尼下的線性彈簧和開關(guān)彈簧系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，并與粘性阻尼進(jìn)行對比分析，以探討庫侖阻尼在抗沖隔振系統(tǒng)應(yīng)用中的優(yōu)劣性。

1 抗沖隔離系統(tǒng)模型及庫侖阻尼模型

1.1 抗沖隔離系統(tǒng)模型

圖1所示為單自由度的抗沖隔離系統(tǒng)模型。圖中，m為被隔離體（設(shè)備）的質(zhì)量，k為剛度系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，u為在基礎(chǔ)上施加的激勵載荷，y為被隔離體的絕對位移，為基礎(chǔ)的絕對加速度。

圖1 單自由度抗沖隔離系統(tǒng)模型Fig.1 An isolation system of single-DOF model

令相對位移x=y-u，可得系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

式中：α(c,)sign()為阻尼力；β(k,xn)sign(x)為恢復(fù)力；為被隔離體相對速度；為被隔離體相對加速度；為被隔離體相對速度響應(yīng)；xn為被隔離體相對位移響應(yīng)；上標(biāo)r和n均為指數(shù)系數(shù)。

由上式，可以推斷出指數(shù)規(guī)律特性包含如下6種情況：1）對于項，當(dāng) r=0 時，其為庫侖阻尼；2）當(dāng)r=1時，其為線性阻尼；3）當(dāng)r=2時，其為平方阻尼；4）對于k|x|nsign(x)項，當(dāng)n=0時，其大小恒定為開關(guān)彈簧彈性力；5）當(dāng)n=1時，其為線性彈簧彈性力；6）當(dāng)n≠0且n≠1時，其為非線性彈簧彈性力。

1.2 庫侖阻尼模型

在工程應(yīng)用中，通常使用sign函數(shù)描述庫侖阻尼模型。理想的庫侖阻尼函數(shù)為

式中：fc為摩擦力（庫侖阻尼力）；μ為摩擦系數(shù)；Fn為作用在阻尼系統(tǒng)上的正壓力。

式（3）為理想模型中的阻尼函數(shù)，但在工程實(shí)際應(yīng)用中，庫侖阻尼一定會存在粘滯性，若忽略粘滯性，就會使抗沖隔離系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩，導(dǎo)致仿真計算結(jié)果產(chǎn)生偏差，故在庫侖阻尼計算中應(yīng)準(zhǔn)確描述粘滯性。庫侖阻尼的粘滯性存在于被隔離體由靜止到滑動階段及速度為0的階段。在上述階段，被隔離體所受外力小于μFn，此時的阻尼力應(yīng)為被隔離體所受外力之和P，故庫侖阻尼模型可重寫為

2 線性彈簧—庫侖阻尼抗沖隔離系統(tǒng)

根據(jù)模擬的真實(shí)海上環(huán)境，艦載設(shè)備通常會受到來自水面爆炸產(chǎn)生的正、負(fù)雙波沖擊。根據(jù)德軍標(biāo)BV 043/85給出的設(shè)計沖擊譜（等加速度譜為320g，等速度譜為7 m/s，等位移譜為43 mm），將其轉(zhuǎn)化為如圖2所示的正、負(fù)雙波沖擊下的加速度曲線［11］。本文抗沖隔離系統(tǒng)中，采用的設(shè)備質(zhì)量m=15 kg，系統(tǒng)固有頻率f=10 Hz，該參數(shù)在下述各仿真中均保持不變。

圖2 正、負(fù)雙波加速度曲線［11］Fig.2 Curve of acceleration of positive and negative double wave［11］

2.1 線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)運(yùn)動過程分析

本文抗沖隔離系統(tǒng)的阻尼力設(shè)定為200 N，計算得到被隔離體的絕對加速度和相對位移曲線如圖3和圖4所示。

圖3 絕對加速度響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of absolute acceleration

由圖3和圖4可以看出，相對位移曲線比較光滑，且呈衰減趨勢，而絕對加速度則在峰值處產(chǎn)生了跳躍性下降(Δg)，其值恒定為2.72g。出現(xiàn)該跳躍現(xiàn)象的原因是當(dāng)加速度峰值處的速度為0時，阻尼力的方向發(fā)生改變，從而產(chǎn)生了跳躍性變化。

圖4 相對位移響應(yīng)曲線Fig.4 The response curve of relative displacement

從圖3還可看出，跳躍時間歷程 Δt(Δt=(t+)-(t-))隨著時間的推移而增大，這是阻尼中的粘滯性所致。圖5所示為含粘滯性的庫侖阻尼模型。圖中，為相對速度，為臨界速度。結(jié)合圖3與圖5可以看出，隨著時間的推移，被隔離體加速度響應(yīng)減小，系統(tǒng)在-至的經(jīng)歷時間變長，故跳躍時間歷程Δt會隨時間的增加而增大。

圖5 粘滯性庫侖阻尼示意圖Fig.5 Schematic diagram of viscous Coulomb damping

2.2 線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)變化規(guī)律

為研究剛度和阻尼對系統(tǒng)的影響，本文將剛度變化倍數(shù)k′取為0.1～6倍，庫侖阻尼力fc取為50～300 N，通過仿真計算，得到如圖6～圖9所示的響應(yīng)曲線。

由圖6～圖8可以看出：系統(tǒng)的絕對加速度幅值隨剛度的增大而增大，在剛度保持不變的情況下，庫侖阻尼力的增加僅使系統(tǒng)的絕對加速度響應(yīng)幅值稍微降低；相對位移幅值隨剛度的增加先減小后增加，在k′=1的附近產(chǎn)生了局部極小值；相對位移幅值的極小點(diǎn)隨著阻尼力的增加而減小，且極小點(diǎn)處對應(yīng)的固有頻率隨著阻尼力的增加而增大。

圖6 加速度幅值隨剛度和阻尼力的變化曲線Fig.6 Variation of absolute acceleration amplitude with stiffness and damping

圖7 相對位移幅值隨剛度和阻尼力的變化曲線Fig.7 Variation of relative displacement amplitude with stiffness and damping

圖8 相對位移幅值隨固有頻率和阻尼力變化曲線Fig.8 Variation of relative displacement amplitude with natural frequency and damping

在研究沖擊響應(yīng)的過程中，一般將設(shè)備絕對加速度響應(yīng)幅值和相對位移響應(yīng)幅值的乘積與階躍速度的平方之比稱為系統(tǒng)緩沖系數(shù)η，以此表示系統(tǒng)抗沖擊的極限性能，其值越小，說明系統(tǒng)的抗沖性能就越好。圖9給出了不同庫侖阻尼力下系統(tǒng)緩沖系數(shù)隨剛度變化的曲線。由圖可以看出，緩沖系數(shù)總體上隨剛度的增大而增大，但存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從而使緩沖系數(shù)的斜率變大。

圖9 緩沖系數(shù)隨剛度和阻尼力變化曲線Fig.9 Variation of buffer coefficient with stiffness and damping

2.3 線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)振動分析

抗沖隔離器除可降低被隔離設(shè)備的沖擊響應(yīng)外，還應(yīng)具備一定的減振能力。本文對庫侖阻尼系統(tǒng)和粘性阻尼系統(tǒng)進(jìn)行了對比分析，通過對系統(tǒng)的基礎(chǔ)施加振動信號y(t)=A01sinω01t（其中A01為振動幅值，ω01為固有圓頻率），得到如圖10所示不同庫侖阻尼力下線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)相對位移幅頻曲線。

圖10 線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)相對位移幅頻曲線Fig.10 Response curves of relative displacement amplitude for linear spring-Coulomb damping system

由圖10可以看出，庫侖阻尼在線性彈簧中可以減小系統(tǒng)固有頻率附近（5 Hz＜f＜15 Hz）的共振幅值，每增加50 N的阻尼力，可降低0.02 mm的振動幅值。根據(jù)庫侖阻尼與粘性阻尼等效的原則，對比分析了庫侖阻尼力為100 N的粘性阻尼（等效阻尼比ζ=0.12）的振動特性。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，摩擦阻尼力的減振效果遠(yuǎn)不如粘性阻尼，粘性阻尼相比于庫侖阻尼可減小84.7%的位移幅值。

3 開關(guān)彈簧—庫侖阻尼抗沖隔離系統(tǒng)

開關(guān)彈簧也是一種恒力緩沖裝置，圖11所示為文獻(xiàn)［12］設(shè)計的一種恒力緩沖裝置。為避免被隔離體與恒力緩沖裝置間出現(xiàn)剛性碰撞，在緩沖裝置凸輪滑軌的支撐頭上設(shè)計安裝了一個橡膠墊，以起到過渡的作用。該橡膠墊的等效線性剛度記為keq。

圖11 恒力緩沖裝置示意圖Fig.11 Schematic diagram of constant force buffering device

鑒于開關(guān)彈簧與庫侖阻尼相似，開關(guān)彈簧的彈性力F與位移的函數(shù)關(guān)系可以表示為式中：F0為恒力緩沖裝置力；keq為彈簧緩沖元件的等效線性剛度；D為彈簧中緩沖元件的控制范圍。根據(jù)式（1），可推導(dǎo)出該模型的運(yùn)動方程為

3.1 開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)運(yùn)動過程分析

本文在分析開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動過程時，將開關(guān)彈簧的彈性力設(shè)為1 500 N，阻尼力設(shè)為200 N，被隔離體質(zhì)量設(shè)為10 kg，計算得到如圖12和圖13所示的響應(yīng)曲線。

由圖12可以看出，在開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)中，絕對加速度的跳躍現(xiàn)象非常明顯，系統(tǒng)中由開關(guān)彈簧引起的跳躍為 Δg1(Δg1=2*F0/9.8*m)，在受到?jīng)_擊的瞬間，被隔離體的絕對加速度達(dá)到峰值，此現(xiàn)象是由開關(guān)彈簧的彈性力所致。由于開關(guān)彈簧中緩沖元件的控制范圍D很小，被隔離體的相對位移迅速超過D，使彈性力達(dá)到峰值，從而使絕對加速度也達(dá)到峰值。其后，被隔離體在位移峰值、速度為0處產(chǎn)生了較小的向下跳躍Δg2。

圖12 絕對加速度、相對速度、相對位移響應(yīng)曲線Fig.12 Response curves of absolute acceleration，relative velocity and relative displacement

圖13 阻尼力與彈性力響應(yīng)曲線Fig.13 The response domain curves of damping force and elastic force

3.2 開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)變化規(guī)律

為對開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析，將開關(guān)彈簧的彈性力取為1 000～5 000 N，阻尼力取為100～500 N,被隔離設(shè)備質(zhì)量取為15 kg，計算得到如圖14～圖16所示的變化曲線。

由圖14和圖15可以看出，絕對加速度幅值隨開關(guān)彈簧彈性力和阻尼力的增大呈線性增加；相對位移幅值隨開關(guān)彈簧彈性力的增加呈先減小后增大的趨勢，即每個阻尼都存在一個特定的彈性力（恒力）使其相對位移值最小，同時該最小值對應(yīng)的彈性力隨阻尼力的增大而增大。

圖14 絕對加速度幅值隨開關(guān)彈簧彈性力變化曲線Fig.14 Variation of absolute acceleration amplitude with elastic force of switch spring

由圖16可以看出，系統(tǒng)緩沖系數(shù)總體上隨開關(guān)彈簧彈性力和阻尼力的增大而呈線性增加，但在相對位移中存在最小值點(diǎn)，緩沖系數(shù)會產(chǎn)生一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)（見圖中箭頭處）。在轉(zhuǎn)折點(diǎn)前，緩沖系數(shù)隨開關(guān)彈簧彈性力的增加而增加較為平緩，過了轉(zhuǎn)折點(diǎn)后，緩沖系數(shù)增加的斜率較大，并一直保持不變。

圖16 緩沖系數(shù)隨開關(guān)彈簧彈性力變化曲線Fig.16 Variation of buffer coefficient with elastic force of switch spring

圖17 開關(guān)彈簧與線性彈簧的相對位移響應(yīng)曲線Fig.17 Response curves of relative displacement for switch spring and linear spring

圖18 開關(guān)彈簧與線性彈簧的絕對位移加速度響應(yīng)曲線Fig.18 Response curves of absolute acceleration for switch spring and linear spring

4 開關(guān)彈簧與線性彈簧、庫侖阻尼與粘性阻尼對比分析

4.1 開關(guān)彈簧與線性彈簧的對比分析

為分析開關(guān)彈簧與線性彈簧在庫侖阻尼系統(tǒng)中的響應(yīng)特點(diǎn)，在相同的沖擊環(huán)境下，并保證阻尼力與最大相對位移幅值相同，對比了上述2種彈性系統(tǒng)的相對位移與絕對位移加速度響應(yīng)，如圖17和圖18所示。

由圖17和圖18可以看出，開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)的絕對位移加速度響應(yīng)峰值要小于線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)，但由于開關(guān)彈簧與庫侖阻尼均為恒力，故在時域中絕對位移加速度未衰減；經(jīng)過一個半周期后，線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)的絕對位移加速度響應(yīng)幅值開始小于開關(guān)彈簧系統(tǒng)。

4.2 庫侖阻尼與粘性阻尼的對比分析

為分析庫侖阻尼與粘性阻尼在開關(guān)彈簧中的沖擊響應(yīng)特點(diǎn)，在相同的沖擊環(huán)境下，并保證開關(guān)彈簧恒力大小一致，同時庫侖阻尼系統(tǒng)與粘性阻尼（線性阻尼）系統(tǒng)的最大相對位移幅值也相同，對比了上述2種阻尼系統(tǒng)的相對位移與絕對加速度響應(yīng)，如圖19和圖20所示。

圖19 粘性阻尼與庫侖阻尼相對位移響應(yīng)曲線Fig.19 Response curves of relative displacement for viscous damping and Coulomb damping

圖20 粘性阻尼與庫侖阻尼絕對加速度響應(yīng)曲線Fig.20 Response curves of absolute acceleration for viscous damping and Coulomb damping

由圖19和圖20可以看出，在第1個周期內(nèi)，庫侖阻尼系統(tǒng)的絕對加速度幅值略小于粘性阻尼系統(tǒng)；隨后，粘性阻尼系統(tǒng)的絕對加速度響應(yīng)幅值與庫侖阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)幅值接近于相等，而庫侖阻尼與粘性阻尼系統(tǒng)的相對位移幅值在第1個周期結(jié)束后開始出現(xiàn)差別，亦即庫侖阻尼系統(tǒng)的相對位移幅值逐漸小于粘性阻尼系統(tǒng)。可見，庫侖阻尼系統(tǒng)的性能要優(yōu)于粘性阻尼系統(tǒng)。

5 結(jié) 論

本文通過對庫侖阻尼在不同剛度下并聯(lián)組成的抗沖隔離系統(tǒng)的作用進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

1）在線性彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)中，相對位移響應(yīng)幅值隨剛度變化倍數(shù)（1＜k′＜1.5）和固有頻率（7 Hz＜f＜12 Hz）的變化，存在一個極小值點(diǎn)，當(dāng)剛度變化倍數(shù)k′＞3、固有頻率f＞15 Hz時，位移響應(yīng)幅值逐漸減??；該系統(tǒng)中阻尼力對隔沖性的影響較小，剛度越小的系統(tǒng)其絕對加速度響應(yīng)幅值越小，但當(dāng)剛度很小時，系統(tǒng)的恢復(fù)力就很小，甚至不能使系統(tǒng)恢復(fù)到原位。

2）在開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)中，相對位移響應(yīng)幅值隨彈簧彈性力F的增加呈先減小后增大的趨勢，并在1 000 N＜F＜1 500 N范圍內(nèi)存在最小值；阻尼力的增加會增大絕對加速度響應(yīng)，但可降低相對位移幅值。

3）開關(guān)彈簧—庫侖阻尼系統(tǒng)無論是在抑制絕對加速度響應(yīng)幅值方面，還是在降低殘余響應(yīng)方面，均略優(yōu)于開關(guān)彈簧—粘性阻尼系統(tǒng)。