積分中的函數(shù)歸零問題探究

高婷婷，張明會

函數(shù)歸零問題，是數(shù)學(xué)分析中，也是歷年各類考試中，經(jīng)常出現(xiàn)的一類重要問題［1-2］.因此，對這類問題進行研究一直是數(shù)學(xué)分析問題研究中的熱點問題.函數(shù)歸零問題就是在滿足一定已知條件下，進行一系列的邏輯推理，進而達到證明函數(shù)在某一區(qū)間上恒為零的問題.即在一定條件下證明f(x)≡0 的問題［3-4］.2004年，鄧樂斌給出了函數(shù)歸零問題的幾種證法［5］.2009年，蘇化明給出了函數(shù)歸零問題的常用解法［6］.2011年，李騰給出了關(guān)于函數(shù)零點存在性的幾種判別方法，但這些論文中的歸零問題，都是在非積分情況下進行的.因此，本文在以往研究問題的基礎(chǔ)上，給出了函數(shù)在積分情況下的歸零問題，即在區(qū)間，可以得到f(x)≡0的一些積分條件.

1 基礎(chǔ)知識

引理1［7］設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)的非負函數(shù)，則時必有f(x)≡0，x∈[a,b].

引理2［7］設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則時必有f(x)≡0，x∈[a,b].

引理3［7］設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若對 [a,b]上的任何連續(xù)函數(shù)φ(x)，均有，則在[a,b]上f(x)≡0.

說明：在引理2成立的情況下，當(dāng)取φ(x)=f(x)時，即可證得本定理結(jié)論成立.

引理4［7］已知函數(shù)f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則對 ?ε＞0 ，存 在 多 項 式p(x)，使 得，對?ε∈[a,b]成立.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在對稱區(qū)間[-a,a](a＞0)上連續(xù)，若對[-a,a](a＞0)上每一個(R)可積的奇函數(shù)或偶函數(shù)φ(x)，均有，則在[-a,a]上f(x)≡0.

證明 先證函數(shù)f(x)必為[-a,a]上的偶函數(shù).

用反證法：設(shè)函數(shù)f(x)在[-a,a]上不是偶函數(shù)，則 ?x0∈[-a,a]，使f(x0)≠f(-x0)，為了方便，我們設(shè)x0∈(-a,a)，且f(x0)＞f(-x0).

（1）若f(-x0)≥0，則f(x0)＞0，由于f(x)在點-x0和x0連續(xù)，?δ＞0，使得

當(dāng)x∈[-x0-δ,-x0+δ] 時 ，有f(x)＞成立；

當(dāng) 時，有成立.

再作[-a,a]上的偶函數(shù)φ(x)如下：

又由積分第一中值定理，可以得到

于是

而這與已知條件矛盾.

（2）若f(x0)≤0，考慮 -f(x)，同（1）證明仍可得

（3）若f(-x0)＜0＜f(x0)，?δ＞0，使x∈[-x0-δ,-x0+δ]時，f(x)＜0 ；x∈[x0-δ,x0+δ]時，f(x)＞0.

此時再作[-a,a]上的奇函數(shù)

仍由積分第一中值定理，得到

此結(jié)論與已知條件矛盾，由此知道函數(shù)f(x)是[-a,a]上的偶函數(shù).

同理可證，f(x)也是[-a,a]上的奇函數(shù).

由于f(x)在[-a,a]上既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，因此f(x)≡0,x[-a,a].

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且對k=1,2,…,n-1，有，證明f(x)≡0或在(a,b)內(nèi)至少改變n次符號.

為了解獨立學(xué)院非英語專業(yè)學(xué)生聽力能力的現(xiàn)狀，本文以中原工學(xué)院信息商務(wù)學(xué)院2017級非英語專業(yè)的3848名本科學(xué)生為研究對象。其中，招生總?cè)藬?shù)為4166，其中318人因各種原因未參加測試和調(diào)查。受試學(xué)生分別來自我校的8大系37個專業(yè)。其中，藝術(shù)類專業(yè)學(xué)生887人，普通文科專業(yè)學(xué)生1664人，普通理科專業(yè)學(xué)生1297人。

證明 由題干條件，對任何r次多項式

p(x)(0≤r≤n-1)，有

反設(shè)f(x)不恒等于零，而在(a,b)內(nèi)f至多改變n-1次符號，為確定計數(shù)，設(shè)改變了r+1次符號.這里r+1≤n+1，則存在r個點x1,x2,…,xr，使在以下每個小區(qū)間

內(nèi)f(x)不變號，并且在相鄰兩個小區(qū)間內(nèi)f(x)異號.

考慮r次多項式p(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xr)，p(x)也在上述每個小區(qū)間內(nèi)不變號，且在相鄰兩個小區(qū)間上異號，于是函數(shù)f(x)p(x)在[a,b]上連 續(xù) 且不 變號 ，由，即 得f(x)p(x)≡0.注意到p(x)僅在有限個點處為零和f(x)在[a,b]連續(xù)，即得f(x)≡0，x∈[a,b].矛盾.

定理3設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且對任何n=1,2,…, 有.證 明f(x)≡0 ，x∈[a,b].

其中，?ε∈[a,b].注意到，有

定理4設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在

[a,b]上成立，證明：f(x)≡0，x∈[a,b].

證明 已有f(x)≥0，現(xiàn)證f(x)≤0.

令G(x)=g(x)e-x，G′(x)=g′(x)e-x-g(x)e-x=e-x(g′(x)-g(x))≤0.G′(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，又G(a)=0，因此在[a,b]上G(x)≤0，即g(x)e-x≤0，而e-x＞0，得g(x)≤0，于是g′(x)≤0，f(x)=g′(x)＜0，即f(x)≤0.這樣就有f(x)≥0且f(x)≤0 ，即f(x)≡0，x∈[a,b].

定理5設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，證明：若函數(shù)內(nèi)遞減，則在(-∞,+∞)內(nèi)f(x)≡0.

定理6 函數(shù)f(x)在 [α,β]上連續(xù)，若對[α,β] 上 的 任 意 連 續(xù) 函 數(shù)w(x) 成 立g(α)=g(β)=0 ，且 ∫α βf(x)w(x)dx=0 ，則在 [α,β]上，f(x)≡0.

證明 若函數(shù)f(x)在x0處不為零，不妨令f(x0)＞0，從而由函數(shù)連續(xù)性定理知道，一定存在U(x0)?[x1,x2]?[α,β]，使得0.此時可取函數(shù)

于是可知w(x)一定滿足定理條件，則

易知此式矛盾，則在[α,β]上，f(x)≡0.

3 結(jié)論

函數(shù)歸零問題，在數(shù)學(xué)分析教材中、碩士研究生入學(xué)考試中都是頻繁出現(xiàn)的重要問題.本文在以往研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，將函數(shù)歸零問題推廣到了積分中的情形，即在區(qū)間[a,b]上得到f(x)≡0的一些積分條件，得到了幾個重要的結(jié)論，為不同情形積分下的證明和應(yīng)用提供了理論依據(jù).與此類似，今后還可考慮將函數(shù)歸零問題再推廣到其他數(shù)學(xué)知識點中，這方面有待于進一步深入研究.