高中數(shù)學(xué)中曲線對(duì)稱的解法及應(yīng)用

【摘 要】對(duì)稱問題是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的內(nèi)容之一，本文主要介紹曲線關(guān)于點(diǎn)和直線的對(duì)稱問題以及曲線自身的對(duì)稱問題；通過這兩個(gè)方面的總結(jié)，使學(xué)生在高考中碰到對(duì)稱問題能夠迎刃而解。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱；點(diǎn)；直線；曲線

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）13-0291-01

一、求曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程

若求曲線F（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題即可以轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題解決，即任取曲線F（x，y）上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來替換曲線F（x，y）=0中相應(yīng)的坐標(biāo)即可。

1.曲線F（x，y）=0上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于（x0，y0）對(duì)稱的曲線方程是F（2x0-x，2y0-y）=0

特別地，曲線F（x，y）=0關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的曲線方程是F（-x，-y）=0

二、求曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線方程

若求曲線F（x，y）=0關(guān)于直線的對(duì)稱問題即可以轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱問題解決，即任取曲線F（x，y）上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)替換F（x，y）=0中相應(yīng)的坐標(biāo)即可.

1.曲線F（x，y）=0關(guān)于直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）對(duì)稱的曲線方程是

證明：設(shè)A（x0，y0）為曲線F（x，y）=0上的點(diǎn)，A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B（x1，y1），則有

則

故所對(duì)應(yīng)的曲線方程為

特別地，

①曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸的對(duì)稱和y軸的對(duì)稱的曲線方程是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0；

②曲線F（x，y）=0關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱的曲線方程是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0；

③曲線F（x，y）=0關(guān)于直線x=m和y=n對(duì)稱的曲線方程是F（2m-x，y）=0和F（x，2n-y）=0.

三、中心或者軸對(duì)稱曲線自身的對(duì)稱問題

曲線F（x，y）=0為中心或軸對(duì)稱圖形的充要條件是曲線上任意一點(diǎn)P（x，y）關(guān)于中心或軸對(duì)稱的點(diǎn)仍在曲線上（坐標(biāo)替換曲線中相應(yīng)的坐標(biāo)曲線的方程不變）.

1.f（x）為定義在R上函數(shù)，a為常數(shù)，若對(duì)任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證：令x=x-a，則有f（x）=f（2a-x），設(shè)A（A0，f（x0））為曲線上的點(diǎn)，且B（2a-x0，f（2a-x0））也在曲線上，并關(guān)于A對(duì)稱，則A，B的中點(diǎn)為（a，f（x0）），故此曲線關(guān)于x=a對(duì)稱

2.f（x）為定義在R上函數(shù)，a，b為常數(shù)，若對(duì)任意的x∈R，都有f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱.

證：令x=x-a，則有f（x）=f（a+b-x），設(shè)A（x0，f（x0））為曲線上的點(diǎn)，且B（a+b-x0，f（a+b-x0））也在曲線上，并關(guān)于A對(duì)稱，則A，B的中點(diǎn)為（a+b2，f（x0）），故此曲線關(guān)于x=a+b2對(duì)稱

3.f（x）為定義在R上函數(shù)，a，b為常數(shù)，若對(duì)任意的x∈R，都有f（a+x）=-f（b-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于M（a+b2，0）成中心對(duì)稱.

證：證法同2，此時(shí)只需證出A，B的中點(diǎn)為（x=a+b2，0）即可。

參考文獻(xiàn)

[1]王朝銀.新課標(biāo)創(chuàng)新設(shè)計(jì).西安：陜西人民出版社，2011.

[2]任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略.海南：南方出版社，2012.

作者簡(jiǎn)介：柳靜（1985.9-），女，湖北黃岡人，六盤水市第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。