剖析三角變換中常見的思想方

■任亞楠

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中，三角函數(shù)之間的變換因其方法靈活多樣，一直以來都是高考必考的內(nèi)容。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中，要熟練掌握以下幾種數(shù)學(xué)思想方法，有助于提高同學(xué)們靈活處理問題與解決問題的能力。

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例1求函數(shù)y=5 sinx+cos 2x的最值。

解析y=5 sinx+（1-2 sin2x）=因?yàn)?1≤sinx≤1，所以：

當(dāng)sinx=-1，即時(shí)，ymin=-6；

當(dāng)sinx=1，即（k∈Z）時(shí)，ymax=4。

點(diǎn)評(píng)

解答本題時(shí)，要先觀察三角函數(shù)的名和角，其中一個(gè)為正弦，一個(gè)為余弦，角分別是單角和倍角，所以需先化簡(jiǎn)，使三角函數(shù)的名和角達(dá)到統(tǒng)一，再求值。另外，對(duì)于三角函數(shù)的最值問題，有時(shí)可以先利用三角恒等變換公式，將其轉(zhuǎn)化為形如y=asin2x+bsinx+c或者y=Asin（ω x+φ）+b的形式，再采取相應(yīng)的方法求最值。

跟蹤練習(xí)1：若函數(shù)tanx）cosx，且，則f（x）的最大值為（ ）。

提示：因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2。應(yīng)選B。

二、數(shù)形結(jié)合思想

例2函數(shù)2 sinx-|l n（x+1）|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____。

解析

f（x）=4令f（x）=sin 2x-即在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=sin 2x與函數(shù)的圖像，如圖1所示，由圖像可知兩個(gè)函數(shù)共有2個(gè)交點(diǎn)。故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

圖1

點(diǎn)評(píng)

利用三角函數(shù)圖像解決三角問題，形象、直觀，可使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，也會(huì)帶來令人驚喜的效果。所以同學(xué)們一定要掌握這個(gè)方法，以提高解題速度。

跟蹤練習(xí)2：若sinα+cosα=tanα則α∈（ ）。

提示：令函數(shù)f（x）=sinx+cosx=，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)f（x）=與函數(shù)g（x）=tanx的圖像，如圖2所示，從圖像上可以看出交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

圖2

三、函數(shù)與方程思想

例3設(shè)a為正常數(shù)，求函數(shù)y=2asin（π-x）+2acos（-x）-tanxcos2x-2a2的最大值。

解析

y=2asinx+2acosxsinxcosx-2a2=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2。令t=sinx+cosx，則兩邊同時(shí)平方得，代入y=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2，得

點(diǎn)評(píng)

本題綜合考查了三角函數(shù)中的函數(shù)與方程的思想。解題時(shí)先利用換元，再利用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)和方法處理變量與未知數(shù)之間的關(guān)系，這種解題的思想方法，同學(xué)們務(wù)必掌握。

跟蹤練習(xí)3：化簡(jiǎn)

提示：設(shè)則：

感悟與提高

若3 sinα+cosα=0，則的值為（ ）。

提示：由3 sinα+cosα=0，得于是應(yīng)選A。