高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性的研究

曾詩雨

【摘 要】函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維有不可替代的作用，尤其與不等式證明與三角函數(shù)的復合應用，可以培養(yǎng)學生在數(shù)學學習中相互滲透的思維習慣，提高數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力，在求極值、不等式證明、綜合類題目中廣泛應用，本文通過幾個實例，闡述了利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性解題的優(yōu)勢。

【關鍵詞】函數(shù)；單調(diào)性；奇偶性；周期性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1671-8437（2019）04-0031-02

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是初等數(shù)學中最基本的知識點，又是其它好多板塊題目的基礎，深刻的理解和熟知函數(shù)的特性，對求解數(shù)學題目有極大的幫助，可以簡化所求問題的復雜度，節(jié)省復習時間。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性亦是我們認識世界的一種思維方式，奇偶性可以演化為對稱性，周期性則是循環(huán)往復的思想，單調(diào)性則是趨勢。通過詳細學習和理解函數(shù)的以上性質，在做題中有事半功倍的效果[1-3]。結合筆者的經(jīng)歷，高中數(shù)學函數(shù)在單調(diào)性、奇偶性和周期性方面的題目變化層出不窮，但解題思路和方法相對固定。單調(diào)性則為不等式的證明埋下伏筆，不等式證明往往轉化為函數(shù)做差進行比較，奇偶性和周期性則是反復綜合在填空題、確定函數(shù)解析式中較為常見[4-7]。此外，該部分內(nèi)容通過跟三角函數(shù)的結合以及函數(shù)圖像結合中應用更為廣泛，通過對該知識點的強化練習，有助于提高學生的解題效率，可以很好的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

1 函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在自變量的區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出向下或者向上的趨勢，對于復合函數(shù)而言，其單調(diào)性遵循“同增異減”的規(guī)律，在某個區(qū)間內(nèi)可以求得函數(shù)的極值以及可以由此引用與不等式的證明，判斷函數(shù)的單調(diào)性有四種常用方法，定義法、復合函數(shù)單調(diào)性法、圖像法以及導數(shù)法；此外函數(shù)的單調(diào)性往往同不等式的證明、三角函數(shù)等知識板塊復合命題，增加題目的難度，可將不等式的證明轉換為求解函數(shù)值在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，轉換問題角度，為解決問題提供新的思路，而在三角函數(shù)中往往跟函數(shù)的周期性、奇偶性復合應用，如下題。

試證明，函數(shù)在是增

函數(shù)。

解：由于該函數(shù)不是我們學習中常見的常規(guī)函數(shù)，故考慮用定義法來證明。

取任意兩個實數(shù)，且，

做差有：

由于，，所以：

得出，

而

所以在上是單調(diào)增函數(shù)。

2 函數(shù)的周期性

函數(shù)的周期性的定義可以如此描述：有函數(shù)，若有非零常數(shù)T，使得任何，，都有，則函數(shù)為周期函數(shù)，T就是該函數(shù)的一個周期，假如在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則稱為最小正周期[8-10]。周期性是函數(shù)的基本性質之一，尤其在三角函數(shù)中，函數(shù)的周期性具有充分的應用，往往是求解題目的關鍵，尤其在無限疊加類題目中周期性往往是命題的切入點，值得仔細揣摩學習，此外還在求函數(shù)解析式中具有重要的應用，如下題。

設是定義在R上的奇函數(shù)，取任意實數(shù)，均有，當時，；

（1）試證明是周期函數(shù)。

（2）當時，求的解析式。

解：（1）由于是奇函數(shù)，故有，結合題目中，，故得出是周期為4的周期函數(shù)。

（2）當時，，結合題目中已知條件有，且是奇函數(shù)，，推出，當時，，得出，而是周期為4的周期函數(shù)，得出。

3 函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)重要的基本特征之一，也是命題的重點。其定義如下：有函數(shù)（A為關于原點對稱的區(qū)間），若對于任何都有，，則稱為偶函數(shù)；若對于任何都有，，則稱為奇函數(shù)；函數(shù)的奇偶性往往同函數(shù)的單調(diào)性、周期性結合在一起綜合運用，對于函數(shù)的奇偶性的相關題目，結合函數(shù)圖像，通過數(shù)形結合則能快速解題。對于求極值，確定未知數(shù)的范圍往往是解題的切入點。

（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，求解關于m的不等式：。

解：首先結合題目中是奇函數(shù)，可簡化不等式，又在是單調(diào)減函數(shù)，因此有：

求解得

故不等式的解集是

（2）假設函數(shù)對任意都有，且若，則。

試證在R上市增函數(shù)；

若，求滿足的實數(shù)a的取值

范圍。

解：取，且，由此得出，結合題意，有

所以在R上是增函數(shù)。

由于，所以

要滿足，由于在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以當且僅當成立，原不等式成立，求解得出：

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是函數(shù)性質中重要內(nèi)容之一，也是反復命題的重點。該部分內(nèi)容往往跟三角函數(shù)、不等式證明以及函數(shù)的極值求解中復合度較高，單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)或者部分區(qū)間內(nèi)函數(shù)的變化趨勢，往往同復合函數(shù)的單調(diào)性判斷、不等式的證明綜合命題，學習中也是通過練習不斷加強鞏固，函數(shù)的奇偶性往往是求解函數(shù)類題目的關鍵，由于奇偶性本身就是一個已知條件，往往對解題能起到至關重要的作用[11-13]。函數(shù)的周期性則主要用來確定無限函數(shù)的累加求和類題目，該內(nèi)容的融會貫通對于填空題、選擇題具有極大的幫助?？此茝碗s，但通過周期性可以極大的化簡，化繁為簡，大大減小計算量，從而使得問題迎刃而解。

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