Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法的推廣

摘? 要：傳統(tǒng)的Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法是計算向量組生成空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的有效方法，但只適用于線性無關(guān)向量組生成空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的計算?；谶@種情形，該文給出了Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法的一種改進形式，不需要尋找向量組的極大線性無關(guān)組，就能消除向量線性相關(guān)性對其生成空間標(biāo)準(zhǔn)正交基計算過程的影響，可用于求任意有限個向量生成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基計算，并做出了嚴(yán)格證明。

關(guān)鍵詞：正交基? 線性相關(guān)? 生成空間

中圖分類號：O151? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）03（b）-0056-02

向量空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基有其重要意義，在理論研究和工程計算中都有重要的應(yīng)用。通常意義下的Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法[1]如下：設(shè)a1，a2，...，an線性無關(guān)向量組，

上述的方法都是在a1，a2，...，an線性無關(guān)的條件下進行討論的，但是，若沒有線性無關(guān)這個條件，上述的這些方法都有一定限制，此時的一般思路是先求極大無關(guān)組，然后再對極大無關(guān)組進行標(biāo)準(zhǔn)正交化，這樣計算量就有所增加，且不利于計算機的實現(xiàn)。該文給出了一般向量組的生成空間標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法，并且給出了理論證明，繼承了Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法的邏輯關(guān)系清晰，易于計算機實現(xiàn)的優(yōu)點。

3? 結(jié)語

Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化是線性代數(shù)中一個重要方法，并且實際的應(yīng)用也十分廣泛，傳統(tǒng)的Schmidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法局限于線性空間生成向量組的線性無關(guān)性限制，為實際的應(yīng)用帶來了許多麻煩，主要體現(xiàn)在線性相關(guān)向量組在使用該方法時會出現(xiàn)分母為零的情形。該文基于這種考慮，給出了舍去正交過程中的零向量，取重新得到新正交向量組作為生成空間基的方法，有效消除了分母為零的影響，并給出了這種方法正確性的嚴(yán)格證明。

參考文獻

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].3版.北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[2] 劉東.歐氏空間子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基求法改進[J].科技通報，1994（2）：117-119.

[3] 嚴(yán)家森.正交化向量組的矩陣方法[J].西華師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1996（4）：41-44.

[4] 李宗勝.標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種求法[J].數(shù)學(xué)通報，1991（3）：29.

[5] 劉妍珺，馬贊甫，余孝軍.反對稱線性變換與Gram-Schmidt正交化[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2018（9）：285-289.

[6] 門永江，任化民.Schmidt正交化方法的改進[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，1993（4）：15-18.

[7] 蘇燕玲，張瑞平.由施密特正交化法所得到的兩個結(jié)論[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1999（S1）：1-4.

[8] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014.

①基金項目：廣東理工學(xué)院質(zhì)量工程項目（項目編號：JXTD2017001）。

作者簡介：高德超（1988—），男，河南周口人，碩士，從事微分幾何研究和高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。