5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知診斷評(píng)估工具

李莉 周欣 涂冬波 高旭亮 黃瑾 楊志艷 李美芳 夏青

[摘 要] 基于認(rèn)知診斷評(píng)估理論和技術(shù)，本研究采用文獻(xiàn)分析、專家研討和口語(yǔ)報(bào)告法構(gòu)建5～6歲兒童“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知模型，對(duì)627名5～6歲兒童進(jìn)行認(rèn)知診斷評(píng)估，運(yùn)用認(rèn)知診斷模型—數(shù)據(jù)擬合對(duì)認(rèn)知模型和診斷測(cè)驗(yàn)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。結(jié)果顯示，認(rèn)知屬性對(duì)題目難度的解釋量為0.879，效應(yīng)量為0.834，平均HCI為0.749;認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)題目的平均區(qū)分度為0.707（標(biāo)準(zhǔn)差為0.299）;除兩題的題目擬合度S-X2指標(biāo)的顯著性水平<0.01，其他題目的擬合度都較好;測(cè)驗(yàn)的信度為0.95;平均掌握概率與測(cè)驗(yàn)總分呈單調(diào)遞增曲線。以上結(jié)果說(shuō)明，本研究構(gòu)建的兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型良好，編制的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)具有較理想的測(cè)量信度與效度，可以作為評(píng)估兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的有效工具，并可以提供精細(xì)豐富的診斷信息，從而為相關(guān)教育教學(xué)及干預(yù)研究提供科學(xué)依據(jù)。

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題解決;數(shù)與運(yùn)算;認(rèn)知診斷評(píng)估

一、問(wèn)題提出

學(xué)前兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展是基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)的重要方面，與未來(lái)學(xué)習(xí)乃至工作的關(guān)系密切。

研究表明，兒童在學(xué)前階段的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力與小學(xué)階段的數(shù)學(xué)和閱讀成績(jī)密切相關(guān)，[1][2]能夠預(yù)測(cè)其在小學(xué)階段可能出現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，[3][4]在控制了家庭背景因素后，兒童入小學(xué)前的數(shù)學(xué)得分與大學(xué)學(xué)歷、今后的收入及經(jīng)濟(jì)管理水平都有顯著相關(guān)。[5]同時(shí)，有研究表明，兒童早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展傾向于累計(jì)增長(zhǎng)效應(yīng)，[6]所以越早發(fā)現(xiàn)學(xué)前兒童在數(shù)學(xué)發(fā)展上的優(yōu)勢(shì)和不足，越有利于兒童后期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展。

目前，美國(guó)、英國(guó)、澳大利亞等多個(gè)發(fā)達(dá)國(guó)家的兒童早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)或課程標(biāo)準(zhǔn)均體現(xiàn)出時(shí)代及社會(huì)對(duì)培養(yǎng)未來(lái)人才需求的變化，從掌握學(xué)科知識(shí)技能逐漸轉(zhuǎn)向培養(yǎng)綜合學(xué)習(xí)能力和素質(zhì)。

如全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)提出，2～6歲兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)分為內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和過(guò)程性能力標(biāo)準(zhǔn)，前者包括數(shù)和數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)、幾何、測(cè)量、數(shù)據(jù)和概率，后者包括解決問(wèn)題、推理和證明、交流、聯(lián)系和表征。英國(guó)威爾士政府在《學(xué)習(xí)型社會(huì)：基礎(chǔ)階段——3～7歲》（The Learning Country： The Foundation Phase—3 to 7 years）中指出，兒童數(shù)學(xué)發(fā)展包括利用和運(yùn)用數(shù)學(xué)、計(jì)算和處理數(shù)據(jù)、測(cè)量、形狀和空間四部分，其中，利用和運(yùn)用數(shù)學(xué)即引導(dǎo)兒童使用知識(shí)解決問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流和發(fā)展數(shù)學(xué)推理。澳大利亞早期學(xué)習(xí)（0～5歲）框架中，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)包括理解數(shù)字、數(shù)數(shù)、圖式、測(cè)量、空間意識(shí)、數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)思考和推理;其小學(xué)低年級(jí)（5～10歲）的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)包括數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和數(shù)學(xué)能力，前者包括數(shù)與代數(shù)、測(cè)量和幾何、統(tǒng)計(jì)和概率，后者包括理解、流暢、問(wèn)題解決和推理?？梢?jiàn)，各國(guó)都十分重視培養(yǎng)兒童綜合應(yīng)對(duì)和解決問(wèn)題的能力，而不是某方面單一的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。相對(duì)而言，我國(guó)《3～6歲兒童學(xué)習(xí)和發(fā)展指南》中，數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)維度較側(cè)重于數(shù)學(xué)內(nèi)容，如數(shù)、數(shù)的關(guān)系和空間幾何，而解決問(wèn)題、表達(dá)交流和表征等能力目標(biāo)沒(méi)有作為單獨(dú)的維度凸顯出來(lái)。從實(shí)踐來(lái)看，我國(guó)幼兒園的數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期以來(lái)一直關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，對(duì)兒童數(shù)學(xué)思維及問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)關(guān)注很少。

同時(shí)，我國(guó)幼兒園教師對(duì)傳授數(shù)學(xué)知識(shí)和判斷兒童數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握比較熟悉，但對(duì)判斷和培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)過(guò)程性能力缺乏經(jīng)驗(yàn)，在教育過(guò)程中也很少了解和記錄兒童過(guò)程性能力的表現(xiàn)，因此也很難充分促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的發(fā)展。有研究表明，我國(guó)幼兒園數(shù)學(xué)教育受到基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的引導(dǎo)，教師能夠了解到《幼兒園教育指導(dǎo)綱要（試行）》和《3～6歲兒童學(xué)習(xí)和發(fā)展指南》中對(duì)引導(dǎo)兒童在實(shí)際生活中、在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求，但因?yàn)槿狈茖W(xué)的手段去了解和評(píng)估兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的水平和所需要的策略，無(wú)法給兒童提供適宜的游戲或活動(dòng)來(lái)幫助兒童加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用。[7]因此，我國(guó)對(duì)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展的監(jiān)測(cè)應(yīng)加強(qiáng)評(píng)估兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力，通過(guò)評(píng)估顯現(xiàn)出兒童在問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力上的優(yōu)勢(shì)與不足，幫助教師了解兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的發(fā)展水平，從而為幼兒園的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐提供科學(xué)依據(jù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和能力并重的培養(yǎng)目標(biāo)。

由于基于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)理論開(kāi)發(fā)的學(xué)業(yè)成績(jī)或能力評(píng)估工具，往往只宏觀報(bào)告一個(gè)測(cè)評(píng)總分來(lái)代表個(gè)體的成績(jī)或能力，無(wú)法區(qū)分得分相同個(gè)體之間的個(gè)體差異，更無(wú)法報(bào)告測(cè)驗(yàn)結(jié)果背后所隱藏的個(gè)體內(nèi)部心理加工水平，即個(gè)體所使用的具體知識(shí)技能、加工策略或內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此，測(cè)量理論進(jìn)一步發(fā)展出了認(rèn)知診斷評(píng)估（Cognitive Diagnosis Assessment，簡(jiǎn)稱CDA）方法。CDA是以認(rèn)知科學(xué)研究成果和現(xiàn)代心理計(jì)量學(xué)方法為基礎(chǔ)，對(duì)個(gè)體完成任務(wù)的認(rèn)知過(guò)程、加工技能或知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行診斷評(píng)估。[8]近年來(lái)，認(rèn)知診斷理論與技術(shù)發(fā)展很快，國(guó)內(nèi)已有的CDA研究中，80.85%為基礎(chǔ)研究，即理論介紹性文章和診斷方法研究，少部分為應(yīng)用研究，[9]主要應(yīng)用于評(píng)估小學(xué)三年級(jí)以上學(xué)生的數(shù)學(xué)或語(yǔ)言發(fā)展。[10][11][12][13][14]應(yīng)用于學(xué)前教育階段以開(kāi)發(fā)評(píng)估工具的研究尚為空白。為了從微觀層面了解學(xué)前兒童在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決上的優(yōu)勢(shì)和弱勢(shì)，可以應(yīng)用認(rèn)知診斷的理論和技術(shù)開(kāi)發(fā)測(cè)評(píng)工具，以滿足學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展監(jiān)測(cè)評(píng)估及幼兒園數(shù)學(xué)教育教學(xué)的需要。

另外，從上述兒童早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)或課程標(biāo)準(zhǔn)可看出，學(xué)前階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容廣泛，主要包括數(shù)與運(yùn)算、幾何空間、測(cè)量、統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)等內(nèi)容，而數(shù)學(xué)問(wèn)題解決需要以某一具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體。以往研究表明，“數(shù)與運(yùn)算”（number and arithmetic）是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。[15]學(xué)前兒童的運(yùn)算能力（arithmetic abilities）對(duì)一、二年級(jí)的運(yùn)算成績(jī)有很強(qiáng)的預(yù)測(cè)作用。[16]學(xué)前兒童的數(shù)能力（number competence）能夠預(yù)測(cè)1～3年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)速度以及三年級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)。[17]因此，本研究選擇以“數(shù)與運(yùn)算”作為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的載體，以5～6歲學(xué)前兒童作為研究對(duì)象，應(yīng)用認(rèn)知診斷的理論和技術(shù)，開(kāi)發(fā)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)。

認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的開(kāi)發(fā)過(guò)程如下：首先，分析兒童解決“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題所需的認(rèn)知屬性（cognitive attribute），并構(gòu)建由這些認(rèn)知屬性組成的認(rèn)知模型（cognitive model）;然后，以具體測(cè)驗(yàn)題目為載體，提出測(cè)驗(yàn)題目及評(píng)分與認(rèn)知屬性之間的假設(shè)，確定測(cè)驗(yàn)Q矩陣，編制測(cè)驗(yàn)，開(kāi)展測(cè)評(píng);最后，選擇合適的認(rèn)知診斷模型，與測(cè)評(píng)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分析測(cè)驗(yàn)的題目特征和作答反應(yīng)的關(guān)系，檢驗(yàn)認(rèn)知模型及認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的質(zhì)量。

二、5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型構(gòu)建

構(gòu)建認(rèn)知模型首先需要對(duì)兒童解決“數(shù)與運(yùn)算”任務(wù)時(shí)用到的知識(shí)、技能和認(rèn)知加工過(guò)程進(jìn)行分析，探明影響5～6歲兒童完成這些任務(wù)的核心認(rèn)知屬性，這是開(kāi)發(fā)CDA的關(guān)鍵步驟。認(rèn)知屬性是指完成測(cè)驗(yàn)任務(wù)所涉及的知識(shí)結(jié)構(gòu)或認(rèn)知加工技能，[18]應(yīng)符合四個(gè)基本特征：屬性粒度的合適性、屬性的可測(cè)性、屬性與教學(xué)的相關(guān)性和屬性的順序性。[19]確定認(rèn)知屬性和屬性之間的關(guān)系即構(gòu)建認(rèn)知模型的過(guò)程，常用方法有文獻(xiàn)回顧法、專家任務(wù)分析法和口語(yǔ)報(bào)告法。[20]

（一）文獻(xiàn)回顧初步確定認(rèn)知屬性

1. 回顧與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知加工過(guò)程及影響因素有關(guān)的研究文獻(xiàn)。

第一，國(guó)內(nèi)外心理學(xué)領(lǐng)域?qū)?wèn)題解決的研究主要從信息加工理論探討問(wèn)題解決的外在過(guò)程和內(nèi)在機(jī)制，雖結(jié)論不盡相同，但也體現(xiàn)出很多共識(shí)，即數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程包括四個(gè)基本環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}感知及表征、選擇解決方案、執(zhí)行解決方案和對(duì)結(jié)果的反思和檢驗(yàn)。[21][22][23][24][25][26]這幾個(gè)環(huán)節(jié)只是人為的劃分，在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中是無(wú)法完全割裂開(kāi)來(lái)的，彼此滲透又循環(huán)往復(fù)，直至解決問(wèn)題。在問(wèn)題感知和表征階段，個(gè)體嘗試?yán)斫鈫?wèn)題情境中的已知條件和需要達(dá)到的目標(biāo)，形成自己對(duì)問(wèn)題的理解，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行再加工;進(jìn)而將當(dāng)前問(wèn)題與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，歸類到某一數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型，從而選擇一個(gè)解決此類型數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方案;然后嘗試執(zhí)行此方案看是否可以解決問(wèn)題，在執(zhí)行的過(guò)程中需要執(zhí)行功能和推理與驗(yàn)證等過(guò)程性能力的參與;如果沒(méi)有解決問(wèn)題，個(gè)體會(huì)重新理解和表征問(wèn)題，選擇下一個(gè)解決方案進(jìn)行嘗試;每個(gè)環(huán)節(jié)都伴隨著個(gè)體對(duì)這個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)出結(jié)果的反思和檢驗(yàn)，直至認(rèn)為達(dá)到問(wèn)題解決的目標(biāo)。

第二，已有數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的研究多以口頭或書(shū)面形式的數(shù)學(xué)應(yīng)用題（word problems）作為問(wèn)題呈現(xiàn)，特別是小學(xué)低年級(jí)和學(xué)前兒童，往往采用口頭應(yīng)用題形式。已有研究按照數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)（semantic structure）將加減應(yīng)用題的問(wèn)題類型分為三種：合并型語(yǔ)義題、變化型語(yǔ)義題和比較型語(yǔ)義題。其中，變化型語(yǔ)義包含三個(gè)子類：結(jié)果未知型、變化未知型和初始未知型。比較型語(yǔ)義包含兩個(gè)子類：一致型比較和非一致型比較。[27][28][29]以往研究對(duì)兒童解決合并型和變化型語(yǔ)義題的難易程度結(jié)果并不一致，但普遍認(rèn)為兒童解決比較型語(yǔ)義題最為困難。有研究表明，小學(xué)一年級(jí)和學(xué)前兒童在變化問(wèn)題解決上的表現(xiàn)較好，在比較型問(wèn)題解決上較差，[30]在變化型子類問(wèn)題解決上，兒童解決結(jié)果未知型問(wèn)題成績(jī)最好，初始未知型表現(xiàn)最弱;在比較型子類問(wèn)題解決上，兒童解決非一致型比較更為困難。[31][32]

第三，對(duì)兒童解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的內(nèi)在機(jī)制的研究主要有兩種理論模型：數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用模型和語(yǔ)言理解模型。[33]數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用模型強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)在問(wèn)題解決中的重要角色，即兒童在解讀問(wèn)題后，啟動(dòng)運(yùn)算知識(shí)或數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。語(yǔ)言理解模型則從語(yǔ)言理解的角度描述兒童的解題行為，即兒童在解讀問(wèn)題后，啟動(dòng)文本庫(kù)和問(wèn)題模型來(lái)解決問(wèn)題。

第四，已有研究采用認(rèn)知診斷評(píng)估開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)，[34][35][36]這些研究采用的認(rèn)知診斷模型主要包含兩個(gè)認(rèn)知成分：數(shù)學(xué)知識(shí)成分和認(rèn)知過(guò)程成分（或認(rèn)知加工成分）。數(shù)學(xué)知識(shí)成分包括的認(rèn)知屬性是與診斷的具體內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)或技能。如，診斷運(yùn)算技能，數(shù)學(xué)知識(shí)成分包括基本算術(shù)運(yùn)算、多步運(yùn)算等。認(rèn)知過(guò)程成分包括的認(rèn)知屬性多是與問(wèn)題解決本身有關(guān)的加工過(guò)程。如，語(yǔ)義表征（識(shí)別有效條件，提出問(wèn)題），識(shí)別隱含條件，關(guān)系表證（分析數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題和條件之間的關(guān)系），選擇算法等。

以上這些研究為本研究確定認(rèn)知屬性提供了支持和借鑒：（1）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的普遍過(guò)程及內(nèi)在

機(jī)制為：?jiǎn)栴}識(shí)別與表征（認(rèn)知成分：已了解和掌握的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，數(shù)的知識(shí)或運(yùn)算的知識(shí)）—選擇解題策略（認(rèn)知成分：已有經(jīng)驗(yàn)中的問(wèn)題類型）—執(zhí)行解題策略（認(rèn)知成分：執(zhí)行功能、推理與驗(yàn)證等）—結(jié)果的反思和檢驗(yàn)（認(rèn)知成分：元認(rèn)知、推理與驗(yàn)證等），可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解學(xué)前兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的具體特點(diǎn)。（2）兩種理論模型雖然視角不同，但都沒(méi)有否定彼此的作用，因此，在構(gòu)建認(rèn)知模型時(shí)應(yīng)同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)和語(yǔ)義類型對(duì)兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的影響。（3）可以借鑒已有的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)中對(duì)認(rèn)知屬性的界定。但由于這些研究都是以小學(xué)中高年級(jí)兒童作為研究對(duì)象，仍需篩選和挖掘與學(xué)前兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決相關(guān)的認(rèn)知屬性。

2. 回顧與兒童早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展相關(guān)的研究文獻(xiàn)，以析出與5～6歲兒童“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題解決相關(guān)的具體數(shù)學(xué)知識(shí)成分和過(guò)程性能力成分。

首先，從兒童早期“數(shù)與運(yùn)算”發(fā)展軌跡的研究可知，5～6歲兒童基本已掌握基數(shù)概念，能使用計(jì)數(shù)策略進(jìn)行集合比較，70%以上（城市）兒童能夠解決10以內(nèi)加減口頭應(yīng)用題。[37][38][39]因此，對(duì)于5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)成分而言，主要包括基數(shù)概念、集合比較和10以內(nèi)加減運(yùn)算。

其次，從各國(guó)兒童早期數(shù)學(xué)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，兒童早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了要求掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)外，更側(cè)重于引導(dǎo)兒童的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)等過(guò)程性能力。兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決所涉及的過(guò)程性能力主要包括數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)推理與驗(yàn)證四個(gè)要素。[40]數(shù)學(xué)交流表現(xiàn)為能夠使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維和理解他人的數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)表征表現(xiàn)為能夠使用某種具體或抽象的形式，如數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表等處理數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系，并能夠在解題過(guò)程中靈活轉(zhuǎn)換表征方式;數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)表現(xiàn)為能夠利用數(shù)學(xué)知識(shí)觀念之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系來(lái)解決數(shù)學(xué)以外情境中的問(wèn)題;數(shù)學(xué)推理與驗(yàn)證表現(xiàn)為能夠提出數(shù)學(xué)設(shè)想，并通過(guò)證明或反例驗(yàn)證自己的設(shè)想。其中，數(shù)學(xué)推理包括數(shù)量推理和其他推理（如空間推理），算術(shù)應(yīng)用題中應(yīng)用到的多是數(shù)量推理。實(shí)證研究表明，與算術(shù)技能相比，兒童的數(shù)量推理能力（包括對(duì)加法組合、加減逆反關(guān)系、部分—整體關(guān)系和一多對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解）對(duì)5年后的數(shù)學(xué)成績(jī)有更強(qiáng)的預(yù)測(cè)。[41]

通過(guò)對(duì)以上兩部分文獻(xiàn)的回顧，初步確定5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知成分包括數(shù)學(xué)知識(shí)、過(guò)程性能力和語(yǔ)義理解三部分。其中，數(shù)學(xué)知識(shí)成分包括基數(shù)概念、集合比較、10以內(nèi)加法和10以內(nèi)減法。語(yǔ)義理解成分包括合并型、變化型和比較型三種語(yǔ)義題。過(guò)程性能力包括數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)表征、數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)和數(shù)學(xué)推理與驗(yàn)證。

（二）專家研討再次確定認(rèn)知屬性及其層級(jí)關(guān)系

從文獻(xiàn)回顧初步析出構(gòu)建認(rèn)知模型所需要的認(rèn)知成分后，需要確定每類認(rèn)知成分具體包括的認(rèn)知屬性及其層級(jí)關(guān)系，因此，本研究邀請(qǐng)學(xué)前教育領(lǐng)域?qū)＜遥?名）、學(xué)前教育專業(yè)博士生（3名）、幼兒園特級(jí)教師（2名）和骨干教師（2名），及測(cè)量學(xué)專家（2名）組成研討團(tuán)隊(duì)開(kāi)展頭腦風(fēng)暴。先由測(cè)量學(xué)專家對(duì)研討小組成員進(jìn)行認(rèn)知診斷理論和技術(shù)的培訓(xùn)，使其了解良好認(rèn)知屬性的特征（主要是粒度大小適宜、可測(cè)性和明確的層級(jí)關(guān)系）;然后專家組對(duì)文獻(xiàn)回顧析出的認(rèn)知成分逐一進(jìn)行分析，確定最終可以使用的認(rèn)知屬性;最后，對(duì)最終確定的認(rèn)知屬性進(jìn)行描述、界定和編碼。

由于文獻(xiàn)回顧均為實(shí)證研究，專家組對(duì)認(rèn)知成分及其層級(jí)關(guān)系的認(rèn)同度較高，主要的爭(zhēng)議在于屬性粒度的大小、可測(cè)性和屬性的數(shù)量多少上。第一，5～6歲兒童在解決算術(shù)應(yīng)用題時(shí)主要涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)是運(yùn)算技能，是否有必要加入基數(shù)概念和集合比較？大多數(shù)專家表示，雖然這兩項(xiàng)知識(shí)和技能是幼兒園小、中班教育內(nèi)容，大多數(shù)兒童在5歲前基本掌握，但不排除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的兒童仍未掌握。更重要的是，有些推理性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題可能不一定用到運(yùn)算技能，但需要用到基數(shù)概念和集合比較的知識(shí)，如加法組合推理類的題目。如果沒(méi)有納入這兩項(xiàng)認(rèn)知屬性，就無(wú)法全面的診斷兒童解題錯(cuò)誤的根本原因。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)成分中包括基數(shù)概念和集合比較。第二，10以內(nèi)加法和10以內(nèi)減法是兩個(gè)認(rèn)知屬性還是合并為10以內(nèi)加減運(yùn)算這一個(gè)認(rèn)知屬性？最初，專家們希望能夠區(qū)分加法和減法，以便更好地診斷出兒童在加法和減法應(yīng)用題上的優(yōu)劣。但鑒于兒童解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)策略是靈活的，并不能確定是采用了加法還是減法，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)驗(yàn)題目所考查認(rèn)知屬性的準(zhǔn)確標(biāo)定，因此，最終確定10以內(nèi)加減運(yùn)算為一個(gè)認(rèn)知屬性。第三，數(shù)學(xué)應(yīng)用題所包含的語(yǔ)義類型選擇哪些？加減應(yīng)用題的語(yǔ)義類型一共有6種，再加上其他兩個(gè)認(rèn)知成分所包含的認(rèn)知屬性，數(shù)量較多，大大提高了編制認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的難度，也會(huì)影響數(shù)據(jù)—模型擬合的效果。鑒于以往實(shí)證研究結(jié)果，兒童對(duì)初始未知的變化型語(yǔ)義題理解有較大難度，因此不納入此次考查范圍，只保留其他5種語(yǔ)義題型。第四，認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)哪些過(guò)程性能力的考查？測(cè)量專家從認(rèn)知診斷技術(shù)的角度建議，兒童解決每道題目都可能用到的能力無(wú)法在題目標(biāo)定時(shí)進(jìn)行區(qū)分，不適合作為認(rèn)知屬性，如數(shù)學(xué)表征和數(shù)學(xué)交流，測(cè)量難度較大的屬性很難開(kāi)發(fā)測(cè)驗(yàn)題目，如數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)。專家們一致表示，認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)只是評(píng)估兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展的工具之一，有些過(guò)程性能力更適合教師在日常觀察中進(jìn)行記錄，不需要在認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)中面面俱到。對(duì)于加減運(yùn)算應(yīng)用題而言，數(shù)量推理是較為關(guān)鍵的認(rèn)知屬性，最終確定僅考查數(shù)量推理一項(xiàng)過(guò)程性能力。另外，由于數(shù)量推理中對(duì)整體—部分的理解與合并型語(yǔ)義和結(jié)果未知的變化型語(yǔ)義有一定程度的重復(fù)，采用的應(yīng)用題目基本一致，因此，只保留加法組合推理、加減逆反推理和一對(duì)多推理作為數(shù)量推理的認(rèn)知屬性。

經(jīng)專家研討，最終確定了5～6歲兒童“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題解決的認(rèn)知模型（如圖1所示），包括3個(gè)認(rèn)知成分和11個(gè)認(rèn)知屬性（具體名稱及描述見(jiàn)表1），它們之間的層級(jí)關(guān)系屬于分支型，[42]其中，A1是除了A6和A8外其他所有屬性的先決條件，A5是A6的先決條件，A7是A8的先決條件。先決條件也被稱為先決屬性。如果屬性A是屬性B的先決條件，即被試除非先掌握屬性A，否則無(wú)法掌握屬性B，則屬性A為屬性B的先決條件。

（三）兒童口語(yǔ)報(bào)告的質(zhì)性驗(yàn)證

口語(yǔ)報(bào)告法是通過(guò)要求被試報(bào)告問(wèn)題解決過(guò)程中頭腦的思維過(guò)程來(lái)識(shí)別問(wèn)題解決所需的認(rèn)知信息和加工技能。由于幼兒元認(rèn)知、反思及表達(dá)能力有限，本研究以兒童口語(yǔ)報(bào)告為主，輔以主試觀察記錄，考察兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程及背后的認(rèn)知成分。

首先，根據(jù)上面確定的認(rèn)知模型編制了25道數(shù)學(xué)應(yīng)用題。然后，采用目的性抽樣，[43]從上海市兩所示范園的大班各選取3名兒童進(jìn)行口語(yǔ)報(bào)告。選擇的條件是：（1）以教師日常觀察的經(jīng)驗(yàn)，選擇在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的表現(xiàn)為好、中、弱的兒童各一名;（2）所選擇的兒童愿意參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，能夠基本表達(dá)出自己解題時(shí)想了什么及如何得出答案的過(guò)程。采用一對(duì)一測(cè)查的方式，將數(shù)學(xué)應(yīng)用題口述給兒童，觀察兒童在解題過(guò)程中的表現(xiàn)，并在解題后詢問(wèn)解題的過(guò)程。通過(guò)對(duì)6名兒童口語(yǔ)報(bào)告和觀察記錄的分析，可以發(fā)現(xiàn)，5～6歲兒童解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程遵循數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的普遍性過(guò)程，即對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理解—?dú)w類為加法問(wèn)題或減法問(wèn)題—選擇加法或減法策略—得出結(jié)論。不同的是，此年齡段的兒童大多缺乏對(duì)結(jié)果的反思和檢驗(yàn)。在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行理解時(shí)，首先，應(yīng)用以往的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，提取出題目中的數(shù)字或數(shù)量信息，然后將其歸類為語(yǔ)義類型和推理類型，從而做出選擇加法或減法的解題策略。同時(shí)，是否能夠得出正確答案也依賴于兒童對(duì)運(yùn)算技能的掌握。因此，通過(guò)兒童的口語(yǔ)報(bào)告，我們可以發(fā)現(xiàn)，5～6歲兒童解決“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題至少需要掌握一定的運(yùn)算技能，同時(shí)能夠理解語(yǔ)義類型和數(shù)量推理類型。

另外，還發(fā)現(xiàn)：（1）因?yàn)槭强陬^應(yīng)用題形式，兒童的執(zhí)行功能會(huì)對(duì)問(wèn)題解決有影響，但執(zhí)行功能是兒童解決問(wèn)題必備的一般認(rèn)知能力，并不是認(rèn)知診斷測(cè)查的認(rèn)知屬性，因此，需要在編制測(cè)驗(yàn)和實(shí)施測(cè)查的過(guò)程中盡量降低執(zhí)行功能對(duì)問(wèn)題解決的影響。（2）認(rèn)知屬性之間的相互作用在不同題目上有不同的反映機(jī)制。如作答合并語(yǔ)義理解的題目，必須同時(shí)掌握A3和A4屬性，否則無(wú)法解決問(wèn)題。而作答加減逆反推理的題目，A3和A9屬性之間就具有補(bǔ)償關(guān)系。因此，需要在編制測(cè)驗(yàn)時(shí)謹(jǐn)慎處理題目的屬性標(biāo)定及評(píng)分，并在模型—數(shù)據(jù)擬合時(shí)采用相對(duì)擬合檢驗(yàn)。（3）兒童在同一道問(wèn)題上可能采用不同的策略來(lái)解決，如，變化未知的應(yīng)用題，既可以采用加法，也可以采用減法來(lái)解決。而策略與認(rèn)知屬性既有關(guān)系又相互獨(dú)立，可在測(cè)查過(guò)程中單獨(dú)記錄。這些發(fā)現(xiàn)為編制認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)和選擇認(rèn)知診斷模型提供了參考依據(jù)。

三、編制認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)

（一）基于認(rèn)知模型得到R矩陣

基于屬性層級(jí)關(guān)系可以得到屬性之間的直接和間接關(guān)系，用0表示屬性之間沒(méi)有直接關(guān)系，1表示屬性之間有直接或間接的關(guān)系，從而形成元素為0或1的可達(dá)矩陣，即R矩陣（見(jiàn)表2）。R矩陣是實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)屬性準(zhǔn)確診斷的前提條件。[44]

（二）基于R矩陣得到測(cè)驗(yàn)Q矩陣

首先，基于R矩陣通過(guò)縮減法、擴(kuò)張算法或漸進(jìn)式擴(kuò)張算法[45]可以得到11個(gè)認(rèn)知屬性所組成的所有潛在知識(shí)狀態(tài)（knowledge states），形成被試Q矩陣（也稱為理想掌握模式，0表示被試掌握了某認(rèn)知屬性，1表示被試沒(méi)有掌握某認(rèn)知屬性），共577種，表示被試對(duì)認(rèn)知屬性的所有潛在掌握模式。刪除理想掌握模式中11個(gè)認(rèn)知屬性全為0的模式，得到566種理想測(cè)量模式，表示題目與認(rèn)知屬性之間的關(guān)系（0表示此題目不考查某認(rèn)知屬性，1表示此題目考查某認(rèn)知屬性）。然后，根據(jù)認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)編制的原則（如Q矩陣包含R矩陣）以及考慮5～6歲兒童生理心理特點(diǎn)對(duì)測(cè)試題量的限制，最終選擇其中的30種測(cè)量模式作為測(cè)驗(yàn)Q矩陣，即編制測(cè)驗(yàn)依據(jù)的測(cè)量模式。

（三）編制認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)

編題過(guò)程中，R矩陣中有五種測(cè)量模式（10001100000、10000011000、10000000100、10000000010和10000000001）因編題專家難以命題而舍棄，最終剩下25種測(cè)量模式。同時(shí)，為保證對(duì)每種認(rèn)知屬性至少測(cè)量3次，會(huì)設(shè)計(jì)不同題目重復(fù)考查某一測(cè)量模式。最終形成38道題目的《5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)》（其Q矩陣舉例詳見(jiàn)表3）。通過(guò)對(duì)30名兒童的試測(cè)，測(cè)驗(yàn)的考查時(shí)間在25分鐘左右。

測(cè)驗(yàn)題目方面，僅測(cè)量A1的題目采用按數(shù)取物任務(wù)，僅測(cè)量A1A2的題目采用隨機(jī)排列集合比較任務(wù)，僅測(cè)量A1A3的題目采用口頭算術(shù)題，其他題目均采用口頭應(yīng)用題形式。計(jì)分采用0～1計(jì)分，0表示兒童至少?zèng)]有掌握該題目考查的其中一種認(rèn)知屬性，1表示兒童掌握了該題目考查的所有認(rèn)知屬性。由于兒童答對(duì)題目所采用的策略是多樣的，也會(huì)包括猜測(cè)策略，為保證評(píng)分確實(shí)能夠反映出兒童對(duì)該題目所考查認(rèn)知屬性的掌握情況，會(huì)對(duì)兒童的答題過(guò)程進(jìn)行記錄和詢問(wèn)，判斷兒童使用的解題策略是為考查的認(rèn)知屬性服務(wù)時(shí)才計(jì)為1分。

另外，為了保證測(cè)驗(yàn)題目?jī)H測(cè)查這11個(gè)認(rèn)知屬性，在設(shè)計(jì)題目時(shí)特別注意降低其他因素（執(zhí)行功能、生活經(jīng)驗(yàn)差異和應(yīng)用題的語(yǔ)言表述）的影響，如控制應(yīng)用題的長(zhǎng)度，較長(zhǎng)的題目借助圖片幫助兒童記憶，采用貼近兒童日常生活的問(wèn)題情境和貼近兒童理解的語(yǔ)言表述，復(fù)述兩遍題目等。

（四）認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的計(jì)分說(shuō)明

認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)雖然采用0～1計(jì)分，但與傳統(tǒng)測(cè)驗(yàn)相比，并非按照兒童回答答案的對(duì)錯(cuò)進(jìn)行0～1計(jì)分，而是按照兒童是否掌握每道題考查的認(rèn)知屬性來(lái)進(jìn)行計(jì)分，只有當(dāng)兒童掌握了該題目考查的所有認(rèn)知屬性時(shí)才能計(jì)為1分，否則計(jì)為0分。下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的計(jì)分依據(jù)及過(guò)程。

1. 認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的計(jì)分過(guò)程。

第12題“你拿著7張玩具卡片玩游戲，先是贏了5張，后來(lái)又輸了5張，現(xiàn)在你有幾張玩具卡片呢？為什么呢？”，屬性標(biāo)定為A1A5A9。

此題考查的是兒童對(duì)基數(shù)概念（A1）、理解結(jié)果未知的變化語(yǔ)義（A5）和加減逆反推理（A9）的掌握情況，不包括對(duì)加減運(yùn)算（A3）的掌握情況，因此，當(dāng)兒童使用加減逆反推理（如，觀察到反應(yīng)時(shí)很短，很快回答7張，兒童可能沒(méi)有使用運(yùn)算，而是利用對(duì)加減逆反關(guān)系的理解推理出答案，再輔以兒童對(duì)“為什么”的回答，如“贏了又輸了等于還是原來(lái)的卡片”，再次確定兒童使用的解題策略）解決問(wèn)題時(shí)才計(jì)為1分;如果兒童的回答是因?yàn)?+5=12，12-5=7，所以現(xiàn)在有7張卡片（此后會(huì)詢問(wèn)兒童是否還有其他辦法，如表示沒(méi)有，則定為A3策略），或表達(dá)算不出，或觀察到停滯在運(yùn)算過(guò)程算不出，皆為0分。

2. 需要記錄計(jì)分與認(rèn)知屬性掌握情況的對(duì)應(yīng)依據(jù)。

第17題“哥哥有7顆草莓，哥哥比妹妹少3顆草莓，妹妹有多少草莓呢？”，屬性標(biāo)定為A1A3A7A8。

此題考查的是兒童對(duì)基數(shù)概念、加減運(yùn)算、一致型比較和非一致型比較語(yǔ)義理解的掌握。當(dāng)兒童回答是10，計(jì)為1分，并且解題的過(guò)程是采用7+3是10或10少3個(gè)是7，才能表明兒童理解了非一致型比較語(yǔ)義，采用了正確的加減解題策略，并掌握了加減運(yùn)算知識(shí)，保證計(jì)算的正確性。當(dāng)兒童的答案為非10的數(shù)字，計(jì)為0分時(shí)，兒童沒(méi)有掌握的認(rèn)知屬性可能并非一樣。如果兒童回答是4顆，因?yàn)?-3是4，表明兒童沒(méi)有掌握非一致型比較語(yǔ)義理解但掌握了運(yùn)算知識(shí);或回答是9顆，因?yàn)?+3是9，表明兒童沒(méi)有掌握加減運(yùn)算但理解了非一致型比較語(yǔ)義。

四、認(rèn)知模型及認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的質(zhì)量檢驗(yàn)

（一）測(cè)試對(duì)象

采用分層取樣和方便取樣的方法，從上海市六個(gè)區(qū)（長(zhǎng)寧區(qū)、黃浦區(qū)、靜安區(qū)、楊浦區(qū)、浦東新區(qū)、寶山區(qū)）抽取示范園、一級(jí)園和二級(jí)園共16所，大班兒童計(jì)627人，平均年齡67.69個(gè)月（標(biāo)準(zhǔn)差3.78）。其中，男生294人，女生333人;示范園112人，一級(jí)園393人，二級(jí)園122人。

（二）測(cè)試材料

采用自編《5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)》，共計(jì)38道題目，采用0～1計(jì)分。

（三）分析方法

首先，檢驗(yàn)屬性及屬性層級(jí)關(guān)系的可靠性。具體方法：一方面，采用回歸分析的統(tǒng)計(jì)方法，通過(guò)建立題目難度對(duì)認(rèn)知屬性的多元線性回歸，考察認(rèn)知屬性對(duì)題目難度的解釋力。如果認(rèn)知屬性能夠解釋題目難度的60%以上，則說(shuō)明確定的認(rèn)知屬性基本可靠。[46]另一方面，采用HCI指標(biāo)驗(yàn)證屬性間的層級(jí)關(guān)系。

其次，采用模型—數(shù)據(jù)擬合檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)測(cè)驗(yàn)題目的參數(shù)估計(jì)及測(cè)驗(yàn)的有效性。首先，采用相對(duì)擬合檢驗(yàn)，即比較多個(gè)認(rèn)知診斷模型對(duì)同一批數(shù)據(jù)的擬合情況，選擇相對(duì)擬合最優(yōu)的診斷模型。本研究選用五種常用認(rèn)知診斷模型進(jìn)行比較，分別是：DINA模型（Deterministic inputs， noisy “and”gate），[47]RRUM模型（Reduced reparametrized unified model），[48]DINO模型（Deterministic inputs， noisy “or”），[49]LLM模型（Linear Logistic model）[50]和G-DINA模型（Generalized deterministic inputs noisy“and”gate）。[51]采用的擬合指標(biāo)包括：偏差（deviance，-2*Log-Likelihood，-2LL）、AIC 以及 BIC，這些指標(biāo)值越小說(shuō)明模型與數(shù)據(jù)擬合越好。然后，使用CDM 包進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，包括題目區(qū)分度指標(biāo)，[52]題目絕對(duì)擬合指標(biāo)S-X2值[53][54]和屬性重測(cè)一致性信度指標(biāo)。[55]第三，采用最大后驗(yàn)估計(jì)方法（Maximum A Posterior Estimation， MAP）估計(jì)被試的屬性掌握概率，分析被試總分與屬性掌握概率之間的關(guān)系，從而考察診斷評(píng)估的有效性。

（四）分析工具

使用Excel 2007進(jìn)行基本數(shù)據(jù)處理;使用SPSS23.0進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)、方差分析和回歸分析;使用flexMIRT分析題目難度;使用CDM包（Version 4.6-0）[56]進(jìn)行認(rèn)知診斷分析。

（五）研究結(jié)果

1. 認(rèn)知屬性及層級(jí)關(guān)系的分析結(jié)果。

首先，考察認(rèn)知屬性對(duì)題目難度的解釋力。5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)所考察的11個(gè)認(rèn)知屬性對(duì)題目難度的解釋量為0.879，效應(yīng)量為0.834（見(jiàn)表4）。解釋力遠(yuǎn)高于60%，可見(jiàn)確定的認(rèn)知屬性充分可靠，能夠很好地預(yù)測(cè)題目難度。

其次，通過(guò)HCI指標(biāo)驗(yàn)證屬性層級(jí)關(guān)系。HCI的取值為[-1，1]，1表示完全擬合，-1表示完全不擬合，一般0.70左右表示很好的模型—數(shù)據(jù)擬合。[57]結(jié)果顯示，測(cè)驗(yàn)平均HCI為0.749，說(shuō)明屬性層級(jí)關(guān)系的模型—數(shù)據(jù)擬合情況良好，測(cè)驗(yàn)Q矩陣良好。

2. 測(cè)驗(yàn)題目特征分析及整體測(cè)驗(yàn)質(zhì)量分析。

首先，選擇最合適的認(rèn)知診斷模型。所選5種模型的測(cè)驗(yàn)擬合指標(biāo)（見(jiàn)表5）顯示：對(duì)于-2LL而言，GDINA是擬合最優(yōu)的模型。因?yàn)镚DINA是飽和模型，與簡(jiǎn)約模型（DINA、rRUM、DINO和LLM）相比，-2LL總是傾向于選擇飽和模型。[58]對(duì)于AIC和BIC而言，LLM是擬合最優(yōu)的模型。因此，本研究選用LLM模型進(jìn)行模型—數(shù)據(jù)擬合分析。

第二，使用CDM包進(jìn)行測(cè)驗(yàn)參數(shù)估計(jì)。結(jié)果顯示：（1）除了題目1、2、7和10的區(qū)分度低于0.20外，所有題目的區(qū)分度在0.211～0.989之間，平均區(qū)分度為0.707（標(biāo)準(zhǔn)差為0.299），說(shuō)明測(cè)驗(yàn)整體的區(qū)分度較高，質(zhì)量較好。（2）除了題目23和28的題目擬合度S-X2指標(biāo)的P<0.01外，其他題目的擬合度都較好。（3）各屬性的信度取值為0.89～0.99，平均信度為0.95。（見(jiàn)表6）

第三，測(cè)驗(yàn)的有效性分析。采用測(cè)驗(yàn)總分與屬性掌握概率之間的關(guān)系分析，結(jié)果呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)（如圖2所示），說(shuō)明能力越強(qiáng)，屬性掌握概率越高，即測(cè)驗(yàn)的結(jié)果是有效的。

3. 被試掌握模式分析。

采用最大后驗(yàn)估計(jì)方法（Maximum A Posterior Estimation， MAP）來(lái)估計(jì)被試的屬性掌握模式。本研究共測(cè)查627名被試，共得到110種屬性掌握模式，超過(guò)半數(shù)被試的屬性掌握模式集中在16種模式中（見(jiàn)表7）。其中，所有屬性都沒(méi)有掌握（00000000000）的人數(shù)達(dá)到10%，只掌握數(shù)學(xué)知識(shí)成分（10000000000、11000000000、10100000000、11100000000）的人數(shù)占25.8%，這兩種情況達(dá)到了三分之一以上的人數(shù)。掌握一個(gè)及以上語(yǔ)義理解成分且沒(méi)有掌握數(shù)量推理成分（不考慮數(shù)學(xué)知識(shí)成分）的人數(shù)占12.7%，掌握一個(gè)及以上數(shù)量推理屬性的人數(shù)（不考慮其他屬性）占1.4%。所有屬性都掌握（11111111111）的人數(shù)占比非常小。

五、討論

本研究旨在編制5～6歲兒童“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題解決的認(rèn)知診斷工具，為更精細(xì)地了解兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)和不足提供了豐富信息，為因材施教和補(bǔ)救干預(yù)提供了科學(xué)依據(jù)，具有較強(qiáng)理論和應(yīng)用價(jià)值。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)、語(yǔ)義理解和數(shù)量推理對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決來(lái)說(shuō)是相輔相成的

本研究通過(guò)文獻(xiàn)分析、專家研討和口語(yǔ)報(bào)告法構(gòu)建5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型，共計(jì)3種認(rèn)知成分和11個(gè)認(rèn)知屬性，共同解釋了題目難度的87.9%，HCI值在0.7以上，表明本研究建構(gòu)的認(rèn)知模型比較理想。從構(gòu)建模型的層級(jí)關(guān)系來(lái)看，運(yùn)算、語(yǔ)義理解和數(shù)量推理是平行結(jié)構(gòu)，說(shuō)明三者對(duì)兒童能夠成功解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都很重要，并不能因?yàn)閺?qiáng)調(diào)某一方面而忽視了另一方面，而應(yīng)該相互交融共同發(fā)展。

目前的幼兒園數(shù)學(xué)教育多側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，即讓幼兒記憶各種數(shù)學(xué)事實(shí)，包括口頭和書(shū)面數(shù)字、數(shù)字線和加減運(yùn)算等。當(dāng)解決情境性問(wèn)題時(shí)，兒童不知道選擇何種數(shù)學(xué)知識(shí)或策略，可能會(huì)出現(xiàn)機(jī)械應(yīng)用的情況。如，考查比較型語(yǔ)義理解的題目，不少兒童聽(tīng)到“多”就采用加法，聽(tīng)到“少”就采用減法;考查數(shù)量推理的題目，也有些兒童一聽(tīng)到數(shù)字就開(kāi)始加或減，并沒(méi)有真正思考數(shù)字代表的集合之間的關(guān)系以及數(shù)字發(fā)生的變化之間是何關(guān)系。這些都反映出幼兒園數(shù)學(xué)教育缺乏引導(dǎo)兒童在解決問(wèn)題中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，缺乏通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和遷移。當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，理解了語(yǔ)義開(kāi)始解決問(wèn)題時(shí)，如果運(yùn)算不對(duì)，也無(wú)法得到準(zhǔn)確的答案。所以，數(shù)學(xué)知識(shí)、語(yǔ)義理解和數(shù)量推理三者是相輔相成、相互成就的。

同時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題是問(wèn)題解決認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的依托。有研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的問(wèn)題，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)應(yīng)用題。[59]因?yàn)閷W(xué)生解決常規(guī)問(wèn)題可以依賴記憶，而解決CUN問(wèn)題（complex，unfamiliar，non-routine problem）需要的是直覺(jué)、數(shù)感和邏輯推理。[60]也有研究建議考察兒童早期的問(wèn)題解決可以同時(shí)使用常規(guī)問(wèn)題和非常規(guī)問(wèn)題。[61][62]由于本研究構(gòu)建的認(rèn)知模型既包括對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，也包括對(duì)數(shù)量關(guān)系理解和推理的考查，因此，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，采用算術(shù)表達(dá)式或口頭算術(shù)題這類常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題，兒童通過(guò)從長(zhǎng)時(shí)記憶中回憶數(shù)學(xué)事實(shí)就可以解決問(wèn)題。而對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解和推理的考查則采用非常規(guī)問(wèn)題，雖然正確答案是唯一的，但解決這類問(wèn)題的策略是多樣的，兒童無(wú)法通過(guò)回憶數(shù)學(xué)事實(shí)來(lái)解決問(wèn)題，需要通過(guò)調(diào)動(dòng)已有的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和推理來(lái)解決問(wèn)題。本研究開(kāi)發(fā)的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)中，僅8道題為常規(guī)問(wèn)題，如“3加上5是多少”，或“你有5個(gè)蘋(píng)果，媽媽又給了你3個(gè)蘋(píng)果，你現(xiàn)在的蘋(píng)果是變多了還是變少了呢？”，用于考查單一數(shù)學(xué)知識(shí)成分或語(yǔ)義理解成分;其他均為非常規(guī)問(wèn)題，如“公交車上有6個(gè)人，到站之后下去了2個(gè)人，又上來(lái)了3個(gè)人，現(xiàn)在公交車上有幾個(gè)人呢？”，[63]用于考查綜合使用運(yùn)算、語(yǔ)義理解和數(shù)量推理成分來(lái)解決問(wèn)題。當(dāng)然，相同的題目，對(duì)于不同數(shù)學(xué)能力水平的幼兒來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型并不是固定的。比如，對(duì)于達(dá)到心算水平的幼兒來(lái)說(shuō)，在回答加減口頭算術(shù)題時(shí)，可直接從記憶中提取現(xiàn)成答案，算是解決常規(guī)問(wèn)題，但對(duì)于尚未達(dá)到心算水平幼兒來(lái)說(shuō)，頭腦中并不存在現(xiàn)成的答案，他們會(huì)借助積木或手指探索出問(wèn)題的答案，對(duì)他們而言，又是非常規(guī)問(wèn)題。

（二）多種方法檢驗(yàn)認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)的質(zhì)量

首先，采用相對(duì)擬合檢驗(yàn)有利于選擇最優(yōu)模型。認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)要得到準(zhǔn)確的診斷結(jié)果，必須確保用于測(cè)驗(yàn)質(zhì)量分析的認(rèn)知診斷模型能夠精確地反映被試作答反應(yīng)與認(rèn)知成分之間的各種關(guān)系，如，多個(gè)屬性在被試作答時(shí)是如何發(fā)揮作用的，題目作答是否有多種策略等。本研究在兒童口語(yǔ)報(bào)告過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，由于認(rèn)知屬性較多，關(guān)系較為復(fù)雜，兒童在解決考察多屬性題目時(shí)，多個(gè)屬性之間有可能是補(bǔ)償關(guān)系，也有可能是非補(bǔ)償關(guān)系，因題而異。因此，本研究采用5種認(rèn)知診斷模型比較的方法，確定最合適的模型，保證所選模型能夠更好適用于作答數(shù)據(jù)，從而更科學(xué)有效地驗(yàn)證測(cè)驗(yàn)的質(zhì)量。

第二，通過(guò)區(qū)分度、題目擬合度、信度和被試屬性掌握概率與作答分?jǐn)?shù)的關(guān)系等多種指標(biāo)和方法檢驗(yàn)認(rèn)知測(cè)驗(yàn)的測(cè)量學(xué)指標(biāo)。從區(qū)分度指標(biāo)來(lái)看，測(cè)驗(yàn)整體的區(qū)分度較高（平均區(qū)分度為0.707），質(zhì)量較好。雖然題目1、2、7和10的區(qū)分度低于0.20，但這四個(gè)題目均為R矩陣測(cè)量模式，考慮保留。其中，題目1和2的測(cè)量模式相同（10000000000），分別是5以內(nèi)基數(shù)和10以內(nèi)基數(shù)概念，相對(duì)于大班兒童難度較低，也許是導(dǎo)致區(qū)分度較低的原因，可以考慮刪去題目1。從題目擬合度S-X2指標(biāo)的P值來(lái)看，題目23和28的題目擬合度不太好?？赡芘c題目的情境、兒童的經(jīng)驗(yàn)及評(píng)分有關(guān)，可以考慮刪除。另外，屬性及測(cè)驗(yàn)整體信度較高;測(cè)驗(yàn)總分與屬性掌握概率之間呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，說(shuō)明測(cè)驗(yàn)的結(jié)果是有效的。以上結(jié)果均顯示本研究所建構(gòu)的兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型和編制的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)具有良好的測(cè)量學(xué)指標(biāo)，可以刪除題目1、23和28后形成正式的測(cè)驗(yàn)。

第三，從認(rèn)知診斷評(píng)估的結(jié)果檢驗(yàn)認(rèn)知診斷效果。從研究結(jié)果可發(fā)現(xiàn)：（1）診斷的三種成分中，被試對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握最好，而且只掌握數(shù)學(xué)知識(shí)成分人數(shù)占被試總數(shù)25.8%。這與以往數(shù)學(xué)教育重知識(shí)輕能力的現(xiàn)狀也比較吻合。（2）在語(yǔ)義理解成分中，被試對(duì)變化未知和非一致型比較的語(yǔ)義理解掌握較弱，也得到以往研究文獻(xiàn)支撐。兒童在解決變化未知應(yīng)用題和不一致型比較應(yīng)用題時(shí)更加困難。[64][65][66][67]（3）在數(shù)量推理成分中，被試對(duì)加減逆反推理的掌握最弱。雖然有研究認(rèn)為5～6歲是兒童掌握和運(yùn)用加減反演律快速發(fā)展時(shí)期，[68]但僅有32.8%的5歲兒童在加減逆反問(wèn)題上獲得成功。[69]數(shù)量推理的三種類型中，兒童對(duì)一多對(duì)應(yīng)的關(guān)系理解建立在對(duì)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系理解之上，后者的發(fā)展始于數(shù)數(shù)技能，因此兒童可借鑒數(shù)數(shù)策略而非運(yùn)算策略來(lái)解決一多對(duì)應(yīng)問(wèn)題，降低問(wèn)題解決的難度。兒童對(duì)加法組合的理解主要建立在對(duì)量詞的理解上，對(duì)邏輯思維的要求較小。相比較而言，對(duì)加減逆反推理的理解最為抽象，特別是對(duì)加減逆反變式的理解更為困難，兒童傾向于直接采用運(yùn)算策略，而非邏輯推理，甚至越為熟練的運(yùn)算技能反而會(huì)阻礙兒童去思考數(shù)量加減變化時(shí)的逆反邏輯關(guān)系。

（三）研究局限

本研究應(yīng)用認(rèn)知診斷方法，嘗試探索和開(kāi)發(fā)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知診斷評(píng)估工具，研究中存在一些局限。首先，本研究的認(rèn)知屬性較多，但樣本偏小，可能不足以反映出更多的被試掌握模式。因此，還需增加樣本量，提高參數(shù)估計(jì)精度。其次，雖然本研究選擇了五個(gè)認(rèn)知診斷模型，但有可能還有其他在假設(shè)上更貼近本測(cè)驗(yàn)的模型，有待測(cè)量專家進(jìn)一步驗(yàn)證。第三，由于編制測(cè)驗(yàn)題目的難度較大，導(dǎo)致測(cè)驗(yàn)Q矩陣并沒(méi)有完全包括R矩陣，可能會(huì)影響模型—數(shù)據(jù)擬合。第四，由于測(cè)查方式采用一對(duì)一測(cè)查口頭應(yīng)用題，難免受到兒童執(zhí)行功能和學(xué)習(xí)品質(zhì)水平的影響，可能會(huì)影響測(cè)量的精度。

六、結(jié)語(yǔ)

本研究構(gòu)建了5～6歲兒童“數(shù)與運(yùn)算”問(wèn)題解決的認(rèn)知模型，并在此基礎(chǔ)上編制5～6歲兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)。該測(cè)驗(yàn)具有良好的區(qū)分度和信效度，可以作為評(píng)估兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的有效工具。對(duì)教育實(shí)踐來(lái)說(shuō)，教育評(píng)估既是指揮棒也是顯示器。本研究通過(guò)開(kāi)發(fā)學(xué)前兒童數(shù)學(xué)發(fā)展的評(píng)估工具，一方面旨在引導(dǎo)幼兒園的數(shù)學(xué)教育兩手都要抓兩手都要硬，不僅要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的啟蒙與教育，也要探索如何激發(fā)兒童的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力;激發(fā)幼兒園教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，創(chuàng)設(shè)多種問(wèn)題情境及語(yǔ)言表述方式，激發(fā)兒童應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，達(dá)成數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)教育時(shí)機(jī)保持敏感，捕捉各種教育機(jī)會(huì)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)滲透在日常問(wèn)題解決中，通過(guò)解決問(wèn)題深化知識(shí)的學(xué)習(xí)，加深數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和交流。另一方面旨在為幼兒園教師提供科學(xué)的工具，幫助其更好地了解兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，了解兒童對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的語(yǔ)義理解和數(shù)量推理方面的優(yōu)勢(shì)和不足。比如，通過(guò)測(cè)試教師可以發(fā)現(xiàn)，有些孩子算術(shù)題已經(jīng)達(dá)到心算水平，但問(wèn)其“有10個(gè)小朋友參加拍皮球活動(dòng)，老師拿來(lái)了4個(gè)皮球，還需要幾個(gè)皮球呢”，兒童一臉茫然，不知道是用加法還是減法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。而有些孩子非常明白如何解決一個(gè)問(wèn)題，但總也算不對(duì)。這個(gè)評(píng)估工具可以讓教師從微觀層面看到兒童的個(gè)體差異，為后續(xù)的因材施教提供診斷性信息，從而真正促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)發(fā)展。

致謝：感謝參與認(rèn)知模型建構(gòu)的所有專家和教師，感謝支持調(diào)研的所有園長(zhǎng)和大班教師以及參與調(diào)研的所有大班兒童，感謝參與收集數(shù)據(jù)的各位同學(xué)。

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