《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

徐建新

[摘? ?要] “方程的根”是一個(gè)靜態(tài)的點(diǎn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)的零點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)過程，體現(xiàn)了“動(dòng)”“靜”轉(zhuǎn)化的思想，為利用二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ) .函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是判斷函數(shù)零點(diǎn)的重要依據(jù)，教學(xué)的難點(diǎn)在于將“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”. 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重分析圖像特征，歸納代數(shù)表示，提煉定理，為構(gòu)建靈動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂做準(zhǔn)備.

[關(guān)鍵詞]方程的根;函數(shù)零點(diǎn);圖像特征;教學(xué)設(shè)計(jì)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）14-00013-03

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 能結(jié)合具體函數(shù)的圖像，理解方程的根、相應(yīng)函數(shù)圖像與[x]軸的交點(diǎn)以及函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念;

2. 能借助具體函數(shù)的圖像，掌握“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”;

3. 能利用函數(shù)圖像和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

4. 能將一個(gè)方程求根問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問題，會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間;

5. 能體會(huì)從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的概念;函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.

教學(xué)難點(diǎn)：用函數(shù)與方程的思想將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;零點(diǎn)存在性定理探究過程中“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”.

三、 教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：下列方程有幾個(gè)實(shí)根？你是如何判斷的？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于方程（1），學(xué)生可用十字相乘法、公式法、判別式法等判斷方程根的個(gè)數(shù).但對(duì)于方程（2）的“大數(shù)據(jù)”，若運(yùn)用方程（1）所涉及的方法會(huì)很煩瑣. 因此，可引導(dǎo)學(xué)生考慮二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，思考能否利用二次函數(shù)[f（x）=628x2+529x+107]的圖像來(lái)判斷根的個(gè)數(shù).從學(xué)生熟悉的二次方程入手，降低起點(diǎn). 問題導(dǎo)向從簡(jiǎn)到繁，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生探究未知問題的積極性，開門見山，直接引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.

2.回顧舊知，探索新法

問題2：（1）結(jié)合圖1，請(qǐng)觀察并說(shuō)明二次方程[x2-2x-3=0]的根和二次函數(shù)[y=x2-2x-3]的圖像與[x]軸的交點(diǎn)的關(guān)系;（2）復(fù)習(xí)二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的根和二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖像與[x]軸的交點(diǎn)的關(guān)系;（3）請(qǐng)歸納方程[f（x）=0]的根與函數(shù)[y=f（x）]的圖像與[x]軸的交點(diǎn)的關(guān)系.

（方程[f（x）=0]的根就是函數(shù)[y=f（x）]的圖像與[x]軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生已了解二次函數(shù)圖像與方程根的關(guān)系，通過表格幫助學(xué)生梳理“三者”之間的關(guān)系，再提出一般問題. 三個(gè)問題從特殊到一般，從具體到抽象，滲透“從最簡(jiǎn)單、最熟悉的問題入手解決較復(fù)雜的問題”的研究思路， 有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.抽象概括，形成概念

根據(jù)概念“對(duì)于函數(shù)[y=f（x）]，把使[f（x）=0]的實(shí)數(shù)[x]叫作函數(shù)[y=f（x）]的零點(diǎn).”向?qū)W生闡明函數(shù)[y=f（x）]的零點(diǎn)問題就是方程 [f（x）=0]的根問題，零點(diǎn)的幾何意義就是函數(shù)圖像與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).在建立方程與函數(shù)聯(lián)系的過程中，“方程的根”是一個(gè)靜態(tài)的點(diǎn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)的零點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)過程，體現(xiàn)了“動(dòng)”“靜”轉(zhuǎn)化的思想.

問題3：（1）觀察圖2，請(qǐng)寫出函數(shù)圖像與[x]軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及函數(shù)的零點(diǎn);（2）函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從具體的二次函數(shù)到抽象函數(shù)的圖像，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，明確“零點(diǎn)是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)點(diǎn)，不能用交點(diǎn)的坐標(biāo)表示”.

思考：在這些區(qū)間上，函數(shù)圖像有什么共同的特點(diǎn)？函數(shù)值的變化有什么共同點(diǎn)？

（3）已知函數(shù)[g（x）=x，-3≤x≤-1，-x2+2x+4，-1

引導(dǎo)學(xué)生概括：題（1）（2）的函數(shù)圖像是連續(xù)不斷的，圖像經(jīng)過[x]軸，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，函數(shù)有零點(diǎn) .

題（3）在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，但函數(shù)圖像（如圖5）是間斷的，從[-1]的左側(cè)到右側(cè)，函數(shù)值由負(fù)值直接跳到正值，即函數(shù)圖像沒有經(jīng)過[x]軸，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

師生共同提煉函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[[a，b]]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有[f（a）·f（b）<0]，那么函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[（a，b）]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在[c∈（a，b）]，使得[f（c）=0]，這個(gè)c也就是方程[f（x）=0]的根.

設(shè)計(jì)意圖：探究函數(shù)在區(qū)間[[a，b]]的端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)與零點(diǎn)存在性的關(guān)系，并通過題（3）強(qiáng)調(diào)圖像應(yīng)是“連續(xù)不斷的一條曲線”，幫助學(xué)生將“圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”，歸納出函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.這個(gè)結(jié)論直觀簡(jiǎn)潔，沒有證明，可作為定理直接運(yùn)用.

5.定理辨析，深化理解

問題5：你能改變定理的條件或結(jié)論，得到新的命題嗎？請(qǐng)對(duì)你給出的命題判斷正誤，并畫草圖說(shuō)明.

探究1（對(duì)換條件與結(jié)論）：如果函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[[a，b]]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[（a，b）] 內(nèi)有零點(diǎn)，則[f（a）·f（b）<0] .