一種求解細(xì)線(xiàn)瞬態(tài)散射的穩(wěn)定算法

韋宇祥, 孫海濤, 馬躍華, 王舒申, 胡彥宇

(上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引言

電磁脈沖武器能夠產(chǎn)生爆發(fā)性瞬態(tài)電磁脈沖，在金屬導(dǎo)體上產(chǎn)生瞬態(tài)峰值很高的感應(yīng)電流，對(duì)精密的光電子系統(tǒng)產(chǎn)生干擾、損傷和破壞。美國(guó)和俄羅斯等軍事強(qiáng)國(guó)在電磁脈沖武器領(lǐng)域發(fā)展很快[1]，電磁脈沖彈藥在近年的局部戰(zhàn)爭(zhēng)中都有實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用。因此，針對(duì)電磁脈沖的作用機(jī)理及防護(hù)研究具有重大現(xiàn)實(shí)意義。

求解電磁脈沖在目標(biāo)上產(chǎn)生的寬帶時(shí)域響應(yīng)是分析電磁脈沖作用機(jī)理的重要手段。常見(jiàn)的時(shí)域方法有時(shí)域有限差分法(FDTD)、時(shí)域有限元法(TDFE)和時(shí)域積分方程方法(TDIE)等。其中TDIE方法求解問(wèn)題的邊界條件自動(dòng)滿(mǎn)足，沒(méi)有吸收邊界問(wèn)題，計(jì)算量相對(duì)較小，所以TDIE方法成為計(jì)算電磁學(xué)的重要研究方向。然而，求解TDIE普遍采用的時(shí)間步進(jìn)法(MOT)在計(jì)算后期會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的振蕩，后期不穩(wěn)定性問(wèn)題影響了其應(yīng)用。Tijhuisd等認(rèn)為[2]，時(shí)間和空間離散會(huì)帶來(lái)誤差，在面元上進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算時(shí)所作的各種近似也會(huì)產(chǎn)生誤差，這些誤差在時(shí)間步進(jìn)的過(guò)程中會(huì)逐步積累，最終導(dǎo)致發(fā)散。Rynne等認(rèn)為[3]，除了離散誤差積累以外，還可能有以下2種因素：1)目標(biāo)本身存在某些內(nèi)諧振頻率，MOT算法系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)頻率低通系統(tǒng)，這些諧振頻率如果在MOT系統(tǒng)的通頻帶以?xún)?nèi)，就可能會(huì)引起諧振，從而發(fā)散；2)空間網(wǎng)格和時(shí)間離散的不精確，會(huì)“誘導(dǎo)”某些本來(lái)不會(huì)產(chǎn)生諧振的高頻發(fā)生諧振。Rynne等提出，面元網(wǎng)格的最小尺度和時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)滿(mǎn)足Courant準(zhǔn)則，并采用三步或四步電流系數(shù)平均法抑制后期振蕩[4-5]。電流系數(shù)平均法、或新基函數(shù)方法[6-9]和時(shí)間外推方法[10]，在一定程度上改善了后期不穩(wěn)定性，但并不能完全解決問(wèn)題。

本文采用顯式MOT方法計(jì)算細(xì)導(dǎo)線(xiàn)在外加瞬變電場(chǎng)的輻射下的電流響應(yīng)，分析其后期振蕩問(wèn)題。提出一種新的電流系數(shù)平均法，不僅可以改善前面時(shí)間步的電流值，而且能對(duì)當(dāng)前時(shí)間步的電流值進(jìn)行判斷，并采取措施預(yù)防振蕩，有效消除迭代計(jì)算的累積誤差，改善后期不穩(wěn)定性問(wèn)題。

1 MOT方法

長(zhǎng)度為2l，半徑為a的細(xì)導(dǎo)線(xiàn)在入射脈沖電場(chǎng)的激發(fā)下將產(chǎn)生感應(yīng)電流分布I(z,t)，并激發(fā)散射場(chǎng)，利用導(dǎo)體表面的切向場(chǎng)為零的條件，可以得到時(shí)域電場(chǎng)積分方程：

(1)

(2)

式中，ε0和μ0分別為真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，c=1/(ε0μ0)1/2為光速。

假設(shè)細(xì)線(xiàn)上電流可以展開(kāi)為：

(3)

這里有：

(4)

式中，Im(t)表示第m子域的電流系數(shù)，為待求量，是時(shí)間t的函數(shù)。

將式(2)離散：

Am,n=Az(zm,tn)

(5)

式(5)中的積分項(xiàng)為幾何參數(shù)，稱(chēng)為阻抗系數(shù)。

(6)

將式(5)分離出k=m的自身單元項(xiàng)后可寫(xiě)為：

Am,n=Im(tn-|zm-zm|)Km,m+

(7)

(8)

將式(1)離散，用中心差分近似可得：

(Am+1,n-2Am,n+Am-1,n/(Δz)2-

(Am,n+1-2Am,n+Am,n-1)/(cΔt)2

項(xiàng)目位于黑龍江省哈爾濱市，建設(shè)于2014年。供熱面積為20萬(wàn)m2，主要為居民住宅樓冬季采暖供熱。供熱系統(tǒng)采用原生污水源熱泵系統(tǒng)，市政污水管網(wǎng)中的污水經(jīng)過(guò)污水換熱器換熱后，進(jìn)入熱泵機(jī)組，通過(guò)消耗少量電能，獲得熱能。污水量約為2000t/h，溫度為11℃。

(9)

Am,n=2Am,n-1-Am,n-2+(Δt)2Fm,n+

(10)

將式(10)代入式(7)可得：

(11)

式(11)表明，當(dāng)前時(shí)間步電流系數(shù)Im ,n可以由前面時(shí)間步的結(jié)果進(jìn)行求解，可交替應(yīng)用式(7)、式(8)和式(11)式隨時(shí)間逐步推進(jìn)(MOT)進(jìn)行計(jì)算，稱(chēng)為顯式解(explicit solution)。MOT方法優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需進(jìn)行矩陣求逆計(jì)算，缺點(diǎn)是后期出現(xiàn)振蕩。

(12)

三步平均法在一定程度上抑制了振蕩，延緩了振蕩出現(xiàn)的時(shí)間。文獻(xiàn)[11～12]提出了先五步平均后三步平均的方法，進(jìn)一步提高了算法的穩(wěn)定性，可以獲得比三步平均法更好的結(jié)果：

(13)

(14)

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

假設(shè)電磁脈沖武器發(fā)射的電磁脈沖可以用雙指數(shù)脈沖模型描述[13]：

(15)

式中，E0=50 kV/m，k0=1.05為修正系數(shù)，α、β是表征脈沖前后沿的參數(shù)，α=4.0×107，β=4.76×108。

電磁脈沖直接照射到電路的細(xì)導(dǎo)線(xiàn)，細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的半長(zhǎng)度為l=0.2 m，半徑為a=1.0 mm，分為26段，利用MOT方法求解。細(xì)導(dǎo)線(xiàn)上的電流響應(yīng)如圖1所示。

圖1 電流響應(yīng)

從圖1可以看出，未經(jīng)平均(MOT)的電流響應(yīng)在0.1μs的時(shí)候就出現(xiàn)了明顯的振蕩，經(jīng)過(guò)先五步平均后三步平均(Five steps MOT)的電流響應(yīng)在0.4 μs后出現(xiàn)明顯的振蕩；在頻域上，如圖2所示，盡管經(jīng)過(guò)平均的電流響應(yīng)頻譜在7 GHz附近的高頻分量幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原值，然而并不能完全消除振蕩，所以在時(shí)域上反映為延緩了振蕩出現(xiàn)的時(shí)間。

圖2 電流響應(yīng)的頻譜

3 新的電流系數(shù)修正方法

下面分析電流振蕩的曲線(xiàn)，研究如何采取措施修正電流系數(shù)，達(dá)到改善甚至消除后期振蕩的目的。

在沒(méi)有振蕩的理想的平滑電流響應(yīng)曲線(xiàn)中，如圖3(a)所示，相鄰的3個(gè)時(shí)間步的電流值Im,n-1、Im,n和Im,n+1可以近似認(rèn)為在同一直線(xiàn)上；當(dāng)出現(xiàn)振蕩的時(shí)候，如圖3(b)所示，這幾個(gè)值將不在同一直線(xiàn)上。電流值Im,n和Im,n+1的中心為p，近似認(rèn)為電流曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)Im,n-1和p，以此重新計(jì)算Im,n和Im,n+1。中心p的坐標(biāo)為：

t0=(tn+tn+1)/2

I0=(Im,n+Im,n+1)/2

(16)

圖3 電流響應(yīng)曲線(xiàn)

電流I關(guān)于時(shí)間t直線(xiàn)方程為：

I=(I0-Im,n-1)/(t0-tn-1)t+Im,n-1-

(I0-Im,n-1)/(t0-tn-1)tn-1

(17)

特別地，需要對(duì)振蕩情況進(jìn)行判斷：

(18)

應(yīng)用新方法對(duì)細(xì)線(xiàn)的電流響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。很明顯，新方法得到的電流響應(yīng)曲線(xiàn)與先五步后三步平均法得到的曲線(xiàn)幾乎完全重合，但是，如前所述，在0.4 μs后期，先五步后三步平均法的結(jié)果開(kāi)始出現(xiàn)明顯的振蕩，而新方法得到結(jié)果趨于穩(wěn)定；在頻域上，兩者的低頻段幾乎完全重合，在時(shí)域上反映為2種方法獲得的初始響應(yīng)幾乎完全一致；在10 GHz附近的高頻段，與先五步后三步平均法不同，新方法的結(jié)果幾乎完全消除了高頻分量，也就是說(shuō)，獲得了穩(wěn)定的后期響應(yīng)曲線(xiàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了求解TDIE的普通MOT方法和電流系數(shù)先五步后三步平均法的后期穩(wěn)定性。先五步后三步平均法相對(duì)而言改善了穩(wěn)定性，但只是延緩了后期振蕩出現(xiàn)的時(shí)間。通過(guò)對(duì)電流曲線(xiàn)的振蕩進(jìn)行分析，提出的新方法不僅改善了前面時(shí)間步的電流值，而且對(duì)當(dāng)前時(shí)間步的電流值進(jìn)行判斷，并采取措施預(yù)防振蕩，計(jì)算結(jié)果優(yōu)于先五步后兩步平均法的結(jié)果，消除高頻分量，有效改善后期穩(wěn)定性。■

圖4 電流響應(yīng)