中值定理在證明題中的應(yīng)用

上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院 上海 201306

中值定理是《微積分》教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。首先,中值定理本身內(nèi)容比較多,也比較抽象。包括連續(xù)函數(shù)的介值定理,零點(diǎn)定理;包括微分中值定理里面的羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理;還包括積分中值定理。這些定理各有不同的條件和結(jié)論,但是它們有一個(gè)共同的特征。其結(jié)論均有相似的表述方式:在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得某個(gè)等式成立。即涉及到“中值”的存在性。由此可見(jiàn),中值定理在含有中值的等式的證明題中有著廣泛的應(yīng)用。

運(yùn)用中值定理的證明題,是《微積分》解題中的一個(gè)難點(diǎn)。定理的選擇,思路的確定,都需要邏輯嚴(yán)密的思考。在具體的解題過(guò)程中,需要注意幾個(gè)方面,才能得出正確的解題思路。

一、關(guān)于函數(shù)的構(gòu)建

運(yùn)用中值定理,必然需要對(duì)某一個(gè)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)作,而最后結(jié)論中涉及的那個(gè)運(yùn)用了中值定理的函數(shù)不一定就是題設(shè)中給出的那個(gè)函數(shù),因此,函數(shù)的構(gòu)建是至關(guān)重要的一個(gè)步驟。比如,微分中值定理的結(jié)論,都是關(guān)于某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)等式。因此在運(yùn)用微分中值定理的題目中,我們可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式,去構(gòu)建函數(shù)。

例1:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,則對(duì)于任意常數(shù)k,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f'(ξ)=kf(ξ)。

分析:根據(jù)題設(shè)的條件涉及到端點(diǎn)值相等的信息,考慮羅爾定理。因此,把結(jié)論改寫(xiě)為f'(ξ)-kf(ξ)=0,等號(hào)左邊應(yīng)該與某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有關(guān)。根據(jù)此導(dǎo)函數(shù)的形式,構(gòu)建函數(shù)F(x)=e-kx f(x)。

證明:考慮輔助函數(shù)F(x)=e-kx f(x),其中k為任意常數(shù)。則因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0,所以F(x)在[a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件,所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得F'(ξ)=e-kξf'(ξ)-ke-kξf(ξ)=0。而e-kξ≠0,所以f'(ξ)=kf(ξ)。

例2:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)+ξf'(ξ)=

分析:根據(jù)題設(shè)的條件,考慮拉格朗日中值定理。又因?yàn)榻Y(jié)論中出現(xiàn)的端點(diǎn)函數(shù)值形式為bf(b)與af(a),導(dǎo)函數(shù)形式為f(ξ)+ξf'(ξ),構(gòu)建函數(shù)F(x)=xf(x)。

證明:考慮輔助函數(shù)F(x)=xf(x)。則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),所以F(x)在[a,b]上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件,所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得F'(ξ)=。即f(ξ)+

例3:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,若f(x)在[0,1]上不恒為零,則在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)f'(ξ)>0。

二、關(guān)于區(qū)間的選擇

運(yùn)用中值定理,必然需要在某一個(gè)滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的區(qū)間上進(jìn)行使用,因此,區(qū)間的選擇也至關(guān)重要。既要與題設(shè)相關(guān),又要滿(mǎn)足使用條件,有時(shí)還會(huì)在不同的區(qū)間上反復(fù)使用。

例4:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)除唯一的一點(diǎn)以外都可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)c,d,使得f(b)-f(a)=[kf'(c)+(1-k)f'(d)](b-a),其中k∈(0,1)。

分析:f(x)在[a,b]上不滿(mǎn)足中值定理的條件,因此可以分為兩個(gè)小區(qū)間,在滿(mǎn)足條件的區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理。

證明:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的不可導(dǎo)點(diǎn)為x0,在[a,x0]和[x0,b]上分別使用拉格朗日中值定理,則存在c∈(a,x0)和d∈(x0,b),使得f(x0)-f(a)=f'(c)(x0-a),f(b)-f(x0)=f'(d)(b-x0)。兩式相加,得到

例5:設(shè)函數(shù)在[a,b]上三階可導(dǎo),且f?(x)≠0,證明:f(x)在(a,b)內(nèi)至多有三個(gè)零點(diǎn)。

分析:題目涉及到函數(shù)的零點(diǎn),考慮羅爾定理。又由于涉及到不止兩個(gè)零點(diǎn),考慮在不同的區(qū)間上反復(fù)使用羅爾定理。

證明:用反證法。假設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,x4,。對(duì)f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上分別運(yùn)用羅爾定理,則存在ξ1∈[x1,x2],ξ2∈[x2,x3],ξ3∈[x3,x4],使得f'(ξ1)=0,f'(ξ2)=0,f'(ξ3)=0。再對(duì)f'(x)在[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3]上分別運(yùn)用羅爾定理,則存在η1∈[ξ1,ξ2],η2∈[ξ2,ξ3],使得f″(η1)=0,f″(η2)=0。接著對(duì)f″(x)在[η1,η2]上運(yùn)用羅爾定理,則存在ζ∈[η1,η2],使得f?(ζ)=0,與f?(x)≠0矛盾。所以f(x)在(a,b)內(nèi)至多有三個(gè)零點(diǎn)。

三、關(guān)于定理的選擇

中值定理有很多,雖然表達(dá)方式都有關(guān)于中值的等式,但是細(xì)究還是各有特點(diǎn)。比如介值定理,零點(diǎn)定理是關(guān)于函數(shù)本身的等式;微分中值定理是關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的等式;積分中值定理是關(guān)于積分表達(dá)式的等式。仔細(xì)分析題設(shè)中的等式,可以幫助我們正確選擇運(yùn)用的定理。

例6:設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(1)=0,。證明:(1)存在η∈(,1),使得f(η)=η。(2)對(duì)于任意常數(shù)k,存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

分析:題目(1)涉及到關(guān)于函數(shù)的等式f(η)-η=0,且有區(qū)間端點(diǎn)值的信息,考慮零點(diǎn)定理。題目(2)涉及到關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的等式[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0,且有區(qū)間端點(diǎn)值的信息,考慮羅爾定理。

證明(2):考慮輔助函數(shù)G(x)=e-kx[f(x)-x]。則G(x)在[0,η]上連續(xù),在(0,η)內(nèi)可導(dǎo),且G(0)=e0[f(0)-0]=0,G(η)=e-kη[f(η)-η]=0。由羅爾定理,存在ξ∈(0,η),使得G'(ξ)=e-kξ{[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]}=0。而e-kξ≠0,所以[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0。即f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

總之,運(yùn)用中值定理進(jìn)行證明,首先要熟練掌握各個(gè)定理的條件、結(jié)論。再根據(jù)題設(shè)的條件細(xì)加分析,注意以上提及的一些問(wèn)題,這樣才能舉一反三,正確解題。