向量的應(yīng)用

趙飛入

摘 要：向量是近代數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念之一，就來源而言，向量的概念來自對物理學(xué)中的力、速度以及加速度這一類矢量的研究。

關(guān)鍵詞：向量 三角 立體幾何 解析幾何

由于向量具有大小和方向，而我們的學(xué)生對數(shù)及其運(yùn)算較為熟悉，而在學(xué)了向量后，思維得以開闊，可使學(xué)生增長知識，對數(shù)及其運(yùn)算的認(rèn)識加深了一步，更重要的是由于向量具有的幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介。向量的引入將使高中數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”理論得到新的解析，為在高中數(shù)學(xué)貫徹“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)理念提供一種嶄新的方法。是當(dāng)今世界中等教育的一種普遍趨勢，是教育順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的必然結(jié)果。為學(xué)習(xí)三角、復(fù)數(shù)、幾何等作了準(zhǔn)備。

一、向量在三角中的應(yīng)用

當(dāng)我們利用單位圓來研究三角函數(shù)的幾何意義時(shí)，表示三角函數(shù)就是平面向量。利用向量的有關(guān)知識可以導(dǎo)出部分誘導(dǎo)公式。由于用向量解決問題時(shí)常常是以三角形為載體的，這使它在三角里解決有關(guān)三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個(gè)最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在向量三角形得出的關(guān)系式的兩邊平方就可利用向量的運(yùn)算性質(zhì)得出要證的結(jié)論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。

二、向量在代數(shù)中的應(yīng)用

向量作為工具性知識已列入中學(xué)教材之中，其應(yīng)用價(jià)值已被廣大師生認(rèn)可。用向量知識解題，方法新穎、運(yùn)算簡捷，是啟迪學(xué)生思維的有效途徑之一。但向量是以幾何的形式出現(xiàn)的，給人的感覺是在幾何中應(yīng)用廣泛，其實(shí)用向量來解決代數(shù)中的一些問題也很方便。根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面上可以用向量來表示復(fù)數(shù)。這樣復(fù)數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減，復(fù)數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學(xué)了向量，復(fù)數(shù)事實(shí)上已沒有太多的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。因而變選學(xué)內(nèi)容也就不難理解了。另外我們在求一元函數(shù)的取值范圍時(shí)，往往利用重要不等式或一元二次函數(shù)的性質(zhì)，而當(dāng)函數(shù)中含有根式時(shí)，問題就要復(fù)雜得多，這時(shí)巧妙運(yùn)用“向量數(shù)量積小于等于向量的積”這一性質(zhì)，可得到求解的新方法。在不等式的證明、求解無理函數(shù)的最值中運(yùn)用向量性質(zhì)1、 若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立；性質(zhì)2、，當(dāng)且僅當(dāng)同向平行時(shí)右邊等式成立，反向平行時(shí)左邊等式成立。就可以較靈活地給出證題方法，求出函數(shù)的最值。

三、向量在立體幾何中的應(yīng)用

在解決幾何中的有關(guān)度量、角度、平行、垂直等到問題時(shí)用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內(nèi)容中，解決平行、相交、以及計(jì)算夾角、距離等問題用傳統(tǒng)的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積和向量積以后，一切都?xì)w結(jié)為數(shù)字式符號運(yùn)算。這些運(yùn)算都有法則可循，比傳統(tǒng)的方法要容易得多。如：在立體幾何中求二面角平面角的大小時(shí)若用傳統(tǒng)方法進(jìn)行求解的話，要求同學(xué)們有很強(qiáng)的空間想象能力，并且要求同學(xué)們能找到或根據(jù)三垂線定理作出該二面角的平面角，而這也是最難的地方。若用向量的話，只需建立空間直角坐標(biāo)系，找到各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積算出平面和的法向量的夾角從而求出二面角的平面角。大大降低了同學(xué)們的空間想象，使教學(xué)中的難點(diǎn)得到突破。

四、向量在平面解析幾何中的應(yīng)用

由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標(biāo)可以用起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關(guān)直線的部分保持著一種天然的聯(lián)系。平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，也就是平面內(nèi)相應(yīng)的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點(diǎn)坐標(biāo)，可根據(jù)相應(yīng)的兩個(gè)向量的坐標(biāo)直接求得；用直線的方向向量（a ， b ）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實(shí)際是方向量在 a = 1時(shí)的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動(dòng)圖形的變換來達(dá)到化簡二次曲線的目的，實(shí)際上與解析幾何中移軸孌換達(dá)到同樣的效果。

總之，平面向量已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)方法已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學(xué)生花費(fèi)時(shí)間、精力去掌握的一種新生方法，學(xué)好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學(xué)科。因此新教材中加入向量這一章的教學(xué)，為更好地學(xué)習(xí)其它知識做好必要的準(zhǔn)備工作就顯得尤為重要。但傳統(tǒng)教學(xué)思想對向量抵觸較大，許多教者認(rèn)為向量法削弱了學(xué)生的空間想象能力，且學(xué)生初學(xué)向量時(shí)接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學(xué)的方法，發(fā)揮向量的作用，使向量真正地面為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。