“ABBABB……”和“AABAAB……”的規(guī)律是一樣的嗎*
——小學(xué)數(shù)學(xué)“找規(guī)律”的教育價值是什么

□ 章勤瓊

圖1選自一本數(shù)學(xué)繪本，是“找規(guī)律”的相關(guān)內(nèi)容，圖中有幾種不同的物體，這些物體都有一定的規(guī)律，比如花是“ABBABB……”型規(guī)律，石頭是“AABAAB……”型規(guī)律，而下面左邊房子中的冰淇淋和中間的糖果是“ABAB……”型規(guī)律，右邊房子中則是“ABC”型規(guī)律。但有一個問題讓老師們感到疑惑，“圖中花和石頭的規(guī)律是一樣的嗎？”

圖1

有教師認(rèn)為這里都是每三個一周期，每個周期中都有兩種元素，但元素的個數(shù)不一樣，所以規(guī)律不一樣。而且，其中元素的順序不一樣，也就是前面提到的“ABB”型和“AAB”型。也有老師認(rèn)為兩者是一樣的規(guī)律，只不過是從哪個元素開始而已，如果把“ABB”型的周期多寫一寫，就是“ABBABBABBABB……”從第二個開始看，那么就是“BBABBABBA……”很顯然，這里的A和B只是用來區(qū)別元素不同，所以與“AAB”型是完全一樣的。而從哪一個元素看并不是規(guī)律的本質(zhì)，所以，其實是一樣的。

那么，這兩種不同型的規(guī)律能不能看成一樣的？“找規(guī)律”的教育價值究竟是什么？我們應(yīng)該對與此相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行一些梳理，進(jìn)而可以對教學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的思考。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)中研究的是“規(guī)律”還是“模式”？

“規(guī)律”并不只是一個數(shù)學(xué)詞匯，其一般的釋義為：“事物之間的內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系。這種聯(lián)系不斷重復(fù)出現(xiàn)，在一定條件下經(jīng)常起作用，并且決定著事物必然向著某種趨向發(fā)展。規(guī)律是客觀存在的，是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的，但人們能夠通過實踐認(rèn)識它、利用它。也叫法則。”[1]從中可以看出，“本質(zhì)”“客觀”“不以人們的意志為轉(zhuǎn)移”是“規(guī)律”的基本屬性。此外，“經(jīng)常起作用”“決定著某種趨向發(fā)展”而且“通過實踐認(rèn)識它、利用它”，應(yīng)當(dāng)是“規(guī)律”的重要特征。如果以這樣的標(biāo)準(zhǔn)來看圖1，不論是花、石頭，還是房間中的布置，都不能真正稱為“規(guī)律”，因為很顯然，這些擺法都有很強(qiáng)的隨意性，并不是“客觀”的，而且?guī)в泻軓?qiáng)的“人為性”的成分，絕非“不以人們的意志為轉(zhuǎn)移”。[2]那從另外一個角度來看，如果我們認(rèn)為圖中的這些物體都已按照一定的“順序”擺放完畢，而且不再改變，這不就已轉(zhuǎn)化成“客觀事實”了嗎？從規(guī)律的基本屬性來看的確如此，但如果從規(guī)律的重要特征這一點來看，如果圖1中的這些真的成了客觀規(guī)律，這些“規(guī)律”是否有助于我們更有效地去從事實踐活動，并預(yù)測某種趨向發(fā)展呢？很顯然，并不具備這樣的價值和意義。[3]

正如張奠宙提到的，在小學(xué)數(shù)學(xué)“找規(guī)律”的情境中，像“后面一個應(yīng)是什么”這樣的問題中的“應(yīng)”字是不妥當(dāng)?shù)?，這意味著找的規(guī)律只有一種，但事實上，我們還可以找到許多其他的規(guī)律，也完全可以說得通?！皩嶋H上，找規(guī)律問題是一個開放的問題。任何一個有限序列，都可以生成無限多種規(guī)律，認(rèn)為只有一個規(guī)律，推斷出‘必須是什么’和‘應(yīng)該是什么’，把開放題封閉成只有唯一答案的題目，在數(shù)學(xué)上是不對的?！盵4]因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“規(guī)律”并不是真正科學(xué)意義上的“規(guī)律”，而“找規(guī)律”的教育價值也不應(yīng)該是給出一個統(tǒng)一的答案。

有研究者認(rèn)為，與“規(guī)律”相比，“模式”①模式對應(yīng)的英語單詞是pattern，在國外的數(shù)學(xué)教育研究中是一個非常重要的內(nèi)容。應(yīng)該是一個更為合適的詞語。模式是指“某種事物的標(biāo)準(zhǔn)形式或使人可以照著做的標(biāo)準(zhǔn)樣式”[5]，與“規(guī)律”相比，同樣都是指一定的樣式，但并不是客觀的，因此也就有了更多的可能形式。那么，相比必須或者應(yīng)該是什么，像“你覺得下面一個會是什么”這樣的問題可能更合適。當(dāng)然，在用詞上是用“規(guī)律”或是“模式”并不重要。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一學(xué)段和第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中都有“探索規(guī)律”這一內(nèi)容，既然是“探索”，就說明這里的“規(guī)律”并不唯一，可以是體現(xiàn)某些特征的可能“模式”，而這些“模式”可以進(jìn)行一定程度上的抽象。

因此，再回到文章開頭提到的那個問題，相比要回答“ABB”型和“AAB”型的規(guī)律是否一樣，學(xué)生能否從一個排列中找出“ABB”型和“AAB”型的模式更有價值。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)中“找規(guī)律”的教育價值

一般來說，“找規(guī)律”的教學(xué)中都要強(qiáng)調(diào)“一組”“不斷”“重復(fù)”這幾個關(guān)鍵點，并要求在找規(guī)律時將其中重復(fù)的每一組圈出來，突出“循環(huán)單位”或“循環(huán)組”，并指出“要讓學(xué)生體會到這是規(guī)律的‘核心’，是認(rèn)識規(guī)律的根本”，而且在教學(xué)時要通過“把什么作為一組？”“一組中的第一個數(shù)（或圖形）是什么？”等問題反復(fù)讓學(xué)生進(jìn)行體會，形成深刻印象，進(jìn)而把握規(guī)律。[6]

然而，如果僅僅是要讓學(xué)生能找到某種類型的規(guī)律，或是能根據(jù)這些規(guī)律說出下一個元素是什么，是否需要在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課中專門開設(shè)這樣一節(jié)課？事實上，這樣的一種能力似乎可以看成是人的一種直覺甚至本能。美國西北大學(xué)的研究人員在最新的一項研究中發(fā)現(xiàn)，三四個月大的嬰兒就已經(jīng)有看圖找規(guī)律的能力。[7]由于生活經(jīng)驗的積累，一年級學(xué)生已經(jīng)具備初步找簡單圖形和最簡單數(shù)字排列規(guī)律的能力。而在教學(xué)之前的調(diào)查也表明，絕大部分學(xué)生都能正確填出（按照一定規(guī)律排列的圖形）后面的圖形。[8]那么，對于一、二年級學(xué)生而言，“找規(guī)律”這一內(nèi)容的教育價值是什么？一般而言，都認(rèn)為至少需要達(dá)成以下兩點：首先，要讓學(xué)生認(rèn)識到規(guī)律性重復(fù)出現(xiàn)的事物無處不在，這是一種模式；其次，只有把握了變化中的規(guī)律，才能用“有限的、看得見的”事物預(yù)測“無限的、看不見的”事物，即只有把握規(guī)律，才能更好地做預(yù)測、做判斷。[9]

除此之外，是否還有其他的內(nèi)容呢？如圖2，北師大版教材二年級下冊中采用了以下處理方法，將主題由“找規(guī)律”變成了“‘重復(fù)’的奧妙”，并將教學(xué)的重點由所謂的“尋找規(guī)律”轉(zhuǎn)移到了這樣兩個問題：（1）生活中有哪些重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象？（2）我們又應(yīng)如何去表達(dá)所說的重復(fù)現(xiàn)象？[10]我們可以看出，在第一個問題中，很明顯地將重心由尋找“客觀規(guī)律”轉(zhuǎn)移到了探索發(fā)現(xiàn)“重復(fù)模式”上，這種變化體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”。在第二個問題中，對重復(fù)現(xiàn)象的表達(dá)即對模式的抽象與提煉，這里體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。

圖2

在筆者所聽的一節(jié)課上，在學(xué)生說出圖2的燈籠是按一大一小重復(fù)擺放，一共擺了四組之后，教師讓學(xué)生用自己喜歡的方式將燈籠表示出來，也就是教材中的“表示規(guī)律”，如何表達(dá)重復(fù)現(xiàn)象。由圖3的學(xué)生作品可以看到，至少出現(xiàn)了畫圖、文字、圖形、字母、數(shù)字這樣五種不同的表示方法。

圖3

在畫圖的表示方法中，學(xué)生嘗試先畫出了第一組中一大一小兩個燈籠，而在后面的三組中，以大圓和小圓分別代替大燈籠和小燈籠。說明學(xué)生理解了這是兩個一組重復(fù)出現(xiàn)，而且在后面的表示中進(jìn)行了適當(dāng)?shù)某橄?。文字、字母、?shù)字，雖然表示的方法不同，但學(xué)生都能看出是兩個一組重復(fù)，而且在一組中都是一大一小這樣的順序。特別值得指出的是用圖形表示的這位學(xué)生，看起來似乎沒有表示出燈籠一大一小這個特征，但這種表示方法的抽象程度更高，更加體現(xiàn)出了“AB”型規(guī)律的本質(zhì)。這里的大小燈籠只是作為重復(fù)的一組中不同元素的區(qū)別，大小并不是本質(zhì)特征，因此用五角形和圓形進(jìn)行表示，從本質(zhì)上來看是完全一樣的。雖然教師在課堂上并沒有讓學(xué)生將重復(fù)的一組圈出來，但從所有的表示方法都可看出學(xué)生是可以識別出怎樣的一組是重復(fù)的。此外，還有一個值得注意的地方是，在字母和數(shù)字這兩種表示方法中，學(xué)生分別表示出了五組和六組的重復(fù)，而事實上，圖2中的燈籠只有四組的重復(fù)。學(xué)生能進(jìn)行這樣的表示，說明在對規(guī)律的理解上，完全可以看出這樣的一組在后面是“不斷重復(fù)”出現(xiàn)的。

所以，從這個環(huán)節(jié)的教學(xué)中可以看出，學(xué)生對于“找規(guī)律”需要特別強(qiáng)調(diào)的“一組”“重復(fù)”“不斷”這樣的三個關(guān)鍵點是完全可以理解的，而且能以適當(dāng)?shù)某橄蠓绞竭M(jìn)行表達(dá)。在這節(jié)課上比較遺憾的一點是，教師沒有讓學(xué)生進(jìn)一步討論，在圖形的表示方法中沒有體現(xiàn)出燈籠的大小這個特點，這樣的表達(dá)是否可以？而在用字母和數(shù)字表示的方法中并不是四組，這樣的表達(dá)是否可以？通過這樣的討論，可以讓學(xué)生更加深入地理解重復(fù)規(guī)律的本質(zhì)。

在這之后的教學(xué)活動中，教師讓學(xué)生從圖2中找到一個自己喜歡的重復(fù)現(xiàn)象，并表示出來，再讓其他同學(xué)猜表示的可能是什么。如圖4（圖中的圈是教師在后面講解的時候加上的），上面采用了兩大兩小的表示方法，但學(xué)生都能理解這里只是表示在一組中區(qū)別元素的方法，表示前兩個和后兩個不一樣，并不一定真的要前面兩個大，后面兩個小。而在下面這個表示方法中，學(xué)生在圖中找到了多種不同的現(xiàn)象，如旗幟、氣球等。更為難得的是，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)在花圃中，如果從第二欄花開始，雖然花的顏色不一樣，但都是兩欄花、一欄草，可以用這種方式表示。但如果從草開始，就是不一樣的表示方法。事實上，這也在一定程度上回答了文章開頭的問題，選擇了不同的起點，同時看到了“AAB”型和“ABB”型這兩種規(guī)律，這比直接判斷兩種規(guī)律是否一樣要有價值得多。

圖4

三、兩點教學(xué)建議

第一，將教學(xué)重心從尋找既定的“客觀規(guī)律”轉(zhuǎn)移到探索可能的“重復(fù)模式”。小學(xué)數(shù)學(xué)中的“找規(guī)律”找的并不是“不以人們意志轉(zhuǎn)移的客觀存在的規(guī)律”。事實上，尋找客觀存在的規(guī)律也不是“找規(guī)律”這一內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)所在。既然目標(biāo)不能指向唯一形式的客觀規(guī)律的尋找，那么在教學(xué)中就要讓學(xué)生認(rèn)識到需要去探索重復(fù)模式，而這種重復(fù)模式只是可能的形式，并不唯一，可以有不同的形式，從不同的角度看到不同的模式是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)化的重要內(nèi)容。

第二，在教學(xué)中可以有以下幾個重點內(nèi)容：首先是發(fā)現(xiàn)重復(fù)的模式；其次是表達(dá)重復(fù)的模式；之后還需要從經(jīng)由抽象之后表達(dá)出的模式中找到現(xiàn)實的模型。當(dāng)然，在教學(xué)中還可以讓學(xué)生進(jìn)行模式的創(chuàng)造，感受有秩序的重復(fù)現(xiàn)象帶來的數(shù)學(xué)美感。從創(chuàng)造這個角度來講，創(chuàng)造“模式”也比創(chuàng)造“規(guī)律”更加合適。因為談到規(guī)律，更有客觀的意思，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，我們能做的只有發(fā)現(xiàn)并運用到實踐中，而模式是指符合一定特征的樣式，可以根據(jù)自己的需求和喜好進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭?chuàng)造。