小學(xué)數(shù)學(xué)“直覺性錯誤”現(xiàn)象及教學(xué)策略研究
——以“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習內(nèi)容為例

□ 吳麗明

有幸拜讀了《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2018年第11期鄭倩和郜舒竹兩位老師的文章《數(shù)學(xué)學(xué)習中的直覺和誤解》，頗受啟發(fā)。筆者在教學(xué)實踐中也經(jīng)常遇到這類錯誤。下面試圖用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中某些典型的直覺性錯誤案例，展開對學(xué)生心理思維的診斷分析，并提出防止這類錯誤發(fā)生的教學(xué)策略。

一、“數(shù)字湊整去尾”導(dǎo)致直覺性計算錯誤分析及建議

【案例分析】

“數(shù)字湊整去尾”指的是在計算整數(shù)、小數(shù)加減法時，數(shù)據(jù)的尾數(shù)相加正好能湊成“10”，相減正好得“0”。我們來看學(xué)生的一個錯例（如圖1）。此題來自于五上年級小數(shù)四則計算，出錯率為20%（全班30名學(xué)生）。為了弄清原委，筆者對出錯的學(xué)生進行了訪談，回答出奇地一致：“我沒仔細看，一看到兩個5剛好湊10一起相加，就加了?！?/p>

圖1

學(xué)生的說法給了這類直覺性錯誤“合理性”，當學(xué)生面對能夠“湊整或去尾”的計算題時，數(shù)字起到了誘導(dǎo)作用，在學(xué)生的大腦中會調(diào)度出“湊整”或“去尾”的表象，進而用這些表象進行思維，做出破壞計算規(guī)則的判斷。“湊整去尾”比規(guī)則刺激強烈，從而導(dǎo)致學(xué)生對“規(guī)則”的熟視無睹，“直覺”就告知錯誤答案。

【教學(xué)策略】引導(dǎo)反思，從認知到元認知

從案例中可以看出，“數(shù)字特征”誘導(dǎo)及心理準備不足是此類錯誤產(chǎn)生的主要原因，為糾正與防止這類錯誤的發(fā)生，筆者采用了以下三種教學(xué)策略：題組訓(xùn)練—對比反思—舉一反三。

1.題組訓(xùn)練。這類“數(shù)字誘導(dǎo)”性直覺錯誤往往在題量少或者單獨出現(xiàn)的時候不容易錯，所以，事先鋪設(shè)“題組”，將“湊整去尾”計算題型放置在題組中出現(xiàn)，讓學(xué)生從集體的高頻出錯率中主動發(fā)現(xiàn)差異，引起心理注意。比如案例中的（2.5+5）×4，看似很簡單的題目錯誤率卻很高，當筆者把錯題投影出現(xiàn)的時候，學(xué)生自己都很“驚訝”。

2.對比反思。對比反思是指讓學(xué)生通過對比，反思計算過程的正確與錯誤。比如針對上面案例中的錯誤，筆者設(shè)計了如下導(dǎo)語，讓學(xué)生明白根源。

師：2.5+5有六位同學(xué)算成了3，但在3+0.3這題上卻沒有出現(xiàn)同樣的錯誤。為什么同樣的題型，偏偏就這題錯了呢？你是怎么想的呢？

生：（恍然大悟）5和5正好湊整，自然而然就加了，上當了，而另外一道3和3不湊整，就不會這樣去想了。

這樣的對比反思過程，有利于學(xué)生對不同類型的計算題運用正確的計算策略。

3.舉一反三。讓學(xué)生通過這個錯例，去思考分析哪些題目也可能會犯同樣的錯誤，以起到舉一反三的防止作用。針對上面的案例，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，平時還有哪些計算也是數(shù)字干擾你出錯呢？通過回顧，學(xué)生舉出了不少錯例，如：3.2-2=3,0.11-0.1=0.1，0.16÷4=0.4，等等。這說明此時學(xué)生已經(jīng)有了主動監(jiān)控思維的準備，當再次面對數(shù)字誘導(dǎo)時，自然就能避免直覺產(chǎn)生的錯誤。

二、“整數(shù)固有觀念”導(dǎo)致直覺性認識錯誤分析及建議

【案例分析】

圖2

四則運算中整數(shù)固有觀念“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，‘每份數(shù)’肯定小于‘總數(shù)’”就是較為典型的“整數(shù)觀念”直覺認識，下題（如圖2）是一個直覺錯例（浙教版五年級上冊）：用面積除以總噸數(shù)，出錯率為13.3%（全班30名學(xué)生）。訪談中筆者問學(xué)生：“你本來列的數(shù)量關(guān)系是對的，怎么又劃去了呢？”學(xué)生回答：“算了以后發(fā)現(xiàn)結(jié)果比9.9噸還大了，覺得‘每份數(shù)’肯定要比‘總數(shù)’小，所以我就想是不是要反過來除?！?/p>

學(xué)生的說法揭示了錯誤的“合理性”，“整數(shù)固有觀念”除法里“每份數(shù)”一定比“總數(shù)”要小，當出現(xiàn)“每公頃的數(shù)量”比“總噸數(shù)”還大的時候就認為數(shù)量關(guān)系錯了。

【教學(xué)策略】預(yù)見“錯誤”，從直覺到“自覺”

從案例中可以看出，對“整數(shù)固有觀念”的錯誤認知是產(chǎn)生此類錯誤的根本原因。為了糾正觀念，防止錯誤，教師要有充分預(yù)見，教學(xué)時可采用“條件互逆—辯論說理—類比尋源”的策略。

1.條件互逆。對于給定的兩個條件A和B，經(jīng)常同時提出兩個互為“被除數(shù)和除數(shù)”的問題。筆者對教材中的練習進行加工，如“在占地0.025公頃的果園里，有125棵蘋果樹，平均每棵樹占地多少平方米”這一題，可以增加一個條件互逆問題“平均每平方米種蘋果樹多少棵”。雖然都是除法，但通過條件互逆，學(xué)生就會去想每一個除法結(jié)果的意義所在，弱化整數(shù)除法里“每份數(shù)比總數(shù)小”的觀念。

2.辯論說理?！罢麛?shù)固有觀念”被學(xué)生沖動地錯誤使用，還在于學(xué)生對算理和數(shù)量關(guān)系不明晰，缺少從意義上的深入思考，對此，筆者針對此案例中的錯誤進行了辯論說理的“補救”措施，通過爭鳴，把“理”給越辯越明。

師：M同學(xué)將對改錯，認為總噸數(shù)除以公頃數(shù)后的“每份數(shù)”一定小于總噸數(shù)。這種觀點錯在哪里？請你結(jié)合題意來說一說。

生：（從意義理解）因為被除數(shù)9.9噸是0.81（正確應(yīng)為0.825）公頃土地的產(chǎn)量，也就是說1公頃不到就產(chǎn)了9.9噸，那么1公頃產(chǎn)多少，肯定要比9.9噸多。

生：地多了，產(chǎn)量肯定也大了，求出來多才對，少了肯定不對，不應(yīng)該改。

通過辯論和理性思考，在一定程度上可以抑制固有觀念的直覺沖動。

3.類比尋源。錯例辨析后，繼續(xù)讓學(xué)生對“整數(shù)固有觀念”進行尋思。教師提問：“還有哪些整數(shù)范圍里的規(guī)律，在小數(shù)中運用好像不對了？”學(xué)生從錯題本上陸續(xù)找出了“例證”。比如整數(shù)“乘法總是越乘越大，除法總是越除越小”，但是小數(shù)就不是這樣，并舉例0.8÷0.95和0.8的大小比較時，很容易認為除了就小了。通過小組討論，最后學(xué)生用計算驗證、畫圖示意等各種方法逐漸明了這個規(guī)律只有在除數(shù)是大于1時才會成立。

三、“計算及結(jié)果可能性”引起的直覺性判斷錯誤分析及建議

【案例分析】

用所列算式“能否進行四則運算”“結(jié)果是否整除、除盡”等直覺來判斷數(shù)量關(guān)系的對與錯。此類錯誤年級越低越突出，新知學(xué)習之初更明顯。請看以下一題。此題來自二上年級的題組測試對比。

第（一）組學(xué)校有兩排房子，東邊排有8個教室，比西邊排教室少4個，西邊排教室有幾個？第（二）組學(xué)校有兩排房子，東邊排有8個教室，比西邊排教室少10個，西邊排教室有幾個？

結(jié)果顯示，數(shù)量關(guān)系相同的情況下，“數(shù)字能夠進行四則運算”比不能任意進行計算的錯誤率高20%以上。

訪談時，筆者問學(xué)生：“右邊這題也有‘少’字，怎么就發(fā)現(xiàn)是用‘加’呢？”學(xué)生回答：“一開始，我也是用減的，但是8-10不能減，所以想肯定不是減，再看了一下，是加?！?/p>

【教學(xué)策略】回歸“原點”，化直覺為推理

此案例說明學(xué)生面對問題，不是根據(jù)數(shù)量關(guān)系來推理出算式，而是憑數(shù)字計算直覺做出推論，因此學(xué)會分析推理是關(guān)鍵。筆者在教學(xué)中據(jù)此實施“符號化—回歸‘原點’分析—問題出發(fā)‘推理’”三大策略，收到一定成效。

2.回歸“原點”分析。當學(xué)生出現(xiàn)錯誤后，每次都帶領(lǐng)學(xué)生回歸“概念”“關(guān)系”這一“原點”，不是簡單地就錯論錯。針對案例中的題目，引導(dǎo)學(xué)生回歸關(guān)鍵句“誰多誰少”這一“原點”上來。

師：求的是哪邊的教室？

師：西邊教室和誰比呢？是多還是少？

師：題目中不是有“少”字嗎？怎么是“多”了？你怎么發(fā)現(xiàn)的？

師：你可以畫個圖給大家看看嗎？到底哪邊教室多，才符合題目意思？

……

如果每次分析錯誤，教師都能帶領(lǐng)學(xué)生找到“原點”，從“原點”出發(fā)進行思考，久而久之，學(xué)生就會養(yǎng)成清晰的分析思路，從而避免用直覺解決問題。

與正規(guī)金融相比，非正規(guī)金融土生土長，具有地緣、親緣和血緣等優(yōu)勢，收集和處理借款人的信息成本很低，能夠通過多種途徑及時地了解借款方的生產(chǎn)經(jīng)營狀況與還貸能力。尤其非正規(guī)金融手續(xù)簡便，借貸要求低，通常不需要提供擔保，融資靈活快捷，使得中小企業(yè)容易借得資金。因此，非正規(guī)金融能夠最大限度地滿足農(nóng)村中小企業(yè)的融資需求。

3.問題出發(fā)“推理”。在高年級，培養(yǎng)從問題出發(fā)的推理能力，是解決直覺性錯誤的有效手段。我們再來看一個學(xué)生解決平均速度中常見的直覺錯例（浙教版五年級上冊）。

對此，筆者帶著學(xué)生展開一次“問題出發(fā)的推理”，破解直覺性理解錯誤。

師：要解決什么問題？根據(jù)速度、路程和時間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是什么？

師：回到題中尋找我們需要的路程和時間，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：缺少路程、時間，怎么辦？

師：兩個都要假設(shè)嗎？路程和時間，假設(shè)哪一個更好？

生：假設(shè)路程更好，因為上下坡的路程是一樣的。

經(jīng)過推理分析后，筆者把情境變換成“單價”“工效”，在后續(xù)測評時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題正確率大大提高了，這說明學(xué)生已經(jīng)從直覺判斷回歸到分析推理這一正確的軌道上來，不再憑直覺用“速度和除以2”計算。

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的直覺錯誤現(xiàn)象存在于小學(xué)各個年級和各個知識學(xué)習階段，如果我們能夠不斷地從學(xué)生的錯誤中進行反思，不斷尋求解決問題的對策，那么學(xué)生的這種錯誤率一定會降低，也一定會促進他們更好地發(fā)展。