學(xué)生統(tǒng)計(jì)認(rèn)知錯(cuò)誤分析*

□孫 露

一、問題提出

隨著“統(tǒng)計(jì)與概率”成為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程四大內(nèi)容之一，基于概率背景的學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知研究也陸續(xù)展開，但有關(guān)統(tǒng)計(jì)方面的研究卻相對(duì)較少。統(tǒng)計(jì)作為“一種獨(dú)立且基本的思考方法”[1]，在內(nèi)容與特點(diǎn)上均與數(shù)學(xué)存在較大的差異。國(guó)外早在20世紀(jì)70年代，“心理學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都將對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)的錯(cuò)誤認(rèn)知和推理作為研究的焦點(diǎn)”。[2]現(xiàn)在我國(guó)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)怎樣？在數(shù)據(jù)分析過程中是否存在錯(cuò)誤認(rèn)知？這些都是統(tǒng)計(jì)教學(xué)中亟待思考與探索的問題。因而，有必要對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤認(rèn)知及其原因進(jìn)行了解與探源，尋求有效的預(yù)防與糾正策略，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的形成與發(fā)展具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

二、研究方法

參考并使用Jones等人[3]構(gòu)建兒童統(tǒng)計(jì)思維框架以及Nisbet等人[4]對(duì)于兒童數(shù)據(jù)表示和組織研究的部分測(cè)試方法，對(duì)江蘇、安徽兩省9所小學(xué)的1541名一至六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查（具體測(cè)試題見文末）。通過設(shè)計(jì)相關(guān)的測(cè)試題了解學(xué)生在數(shù)據(jù)分析過程中對(duì)數(shù)據(jù)描述、組織、簡(jiǎn)化、表示以及分析與解釋時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤認(rèn)知的原因。同時(shí)在問卷調(diào)查的基礎(chǔ)上通過交談了解學(xué)生的真實(shí)想法。

三、研究結(jié)果

（一）讀取顯示時(shí)表現(xiàn)出標(biāo)題意識(shí)的不足與缺乏

問卷中題1（1）考查學(xué)生有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖字面信息讀取的能力。分析學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生在讀取顯示（例如表格、圖表等）時(shí)更多地聚焦于坐標(biāo)軸的標(biāo)簽約定與具體數(shù)值，而對(duì)于標(biāo)題約定則存在忽視或讀取不全等問題。具體表現(xiàn)為讀取信息時(shí)僅對(duì)坐標(biāo)軸的標(biāo)簽信息——星期幾，以及所對(duì)應(yīng)的具體數(shù)值、標(biāo)題中有關(guān)人數(shù)等“是什么”的部分信息——有所關(guān)注，而對(duì)于標(biāo)題中其他信息，如人物、時(shí)間、事件等均未引起注意。這反映出學(xué)生在讀取統(tǒng)計(jì)圖信息時(shí)對(duì)標(biāo)題約定中所提供的多種信息存在忽視或認(rèn)識(shí)不足的現(xiàn)象。

表1中統(tǒng)計(jì)了各年級(jí)具有這一錯(cuò)誤認(rèn)知的學(xué)生人數(shù)及其百分比。數(shù)據(jù)表明，讀取顯示時(shí)對(duì)于標(biāo)題約定意識(shí)的缺乏是小學(xué)階段最為常見的錯(cuò)誤認(rèn)知。雖然隨著年級(jí)的升高，這一錯(cuò)誤認(rèn)知的出現(xiàn)率呈下降的趨勢(shì)，但各年級(jí)均有超過90%的學(xué)生對(duì)標(biāo)題信息沒有關(guān)注或關(guān)注較少，且在本研究所調(diào)查的一、二年級(jí)被測(cè)試學(xué)生中，無一位學(xué)生在讀取信息時(shí)具有完整的標(biāo)題意識(shí)。

表1各年級(jí)讀取顯示時(shí)缺乏標(biāo)題意識(shí)的學(xué)生數(shù)

通過對(duì)學(xué)生的訪談進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，具有此種錯(cuò)誤認(rèn)知的學(xué)生常表現(xiàn)出兩種觀點(diǎn)：一是在讀取信息時(shí)完全沒有認(rèn)識(shí)到標(biāo)題的重要性；二是在讀取信息時(shí)會(huì)對(duì)標(biāo)題有所關(guān)注，但認(rèn)為其并不太重要，且持第二種觀點(diǎn)的人數(shù)較多。

（二）分類和表示數(shù)據(jù)時(shí)存在信息遺失

問卷題2（1）主要考查學(xué)生對(duì)分類數(shù)據(jù)進(jìn)行分組和表示的能力。分析學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生能夠找到正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，并以此標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組與整理，但從其整理后的表示來看，學(xué)生僅是概括出了每個(gè)類別的具體數(shù)量，而將具體的信息（諸如學(xué)生的姓名）或是分類標(biāo)準(zhǔn)信息遺失了，具體見表2。

表2 各年級(jí)分類和表示數(shù)據(jù)過程中遺漏信息的學(xué)生數(shù)

經(jīng)過交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并沒有意識(shí)到自己在分類和表示數(shù)據(jù)時(shí)遺失掉了某些信息。詢問為什么沒有給出具體學(xué)生名字時(shí)，他們均表示名字信息不重要，因?yàn)樽罱K的目標(biāo)是要知道使用每一種交通工具的人數(shù)?？梢?，存在遺漏信息錯(cuò)誤認(rèn)知類型的學(xué)生在對(duì)數(shù)據(jù)分類和表示時(shí)更多聚焦于分類后各類別的數(shù)目總和，而忽視了數(shù)字背后的其他信息。這反映出學(xué)生對(duì)于數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)的不全面，沒有清晰地理解數(shù)據(jù)與數(shù)字之間的關(guān)系——“數(shù)據(jù)是由數(shù)字組成，但它不僅是單純的數(shù)字而已。數(shù)據(jù)是有內(nèi)容的數(shù)字”[5]。

（三）數(shù)據(jù)比較時(shí)對(duì)于0數(shù)值的忽視

問卷題1（3）主要考查學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖中多個(gè)數(shù)據(jù)的比較能力。教師梳理學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生能夠給出正確的最大值，但在對(duì)最小值比較時(shí)卻出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即給出“周六來的人最多，周日來的人最少”這一回答，忽略了周二只有0個(gè)到訪者的事實(shí)。

表3表明，在數(shù)據(jù)比較過程中忽視0數(shù)值的錯(cuò)誤認(rèn)知是小學(xué)階段普遍存在的問題之一。

表3各年級(jí)數(shù)據(jù)比較時(shí)忽視0數(shù)值的學(xué)生數(shù)

通過訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)此種錯(cuò)誤認(rèn)知有兩個(gè)主要原因：一是由于統(tǒng)計(jì)圖字面信息讀取能力的不足導(dǎo)致；二是由于缺乏一定的數(shù)學(xué)表達(dá)轉(zhuǎn)換能力所引起。通過下面研究者對(duì)學(xué)生A和學(xué)生B的訪談，可以較為清楚地展現(xiàn)出引發(fā)學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)知產(chǎn)生的這兩種原因。

I（研究者）：第（3）題中，你們?yōu)槭裁凑f周日來的人最少啊？

A（學(xué)生）：因?yàn)槲沂峭ㄟ^比大小來看的，但是我不知道周二到底是沒有來人，還是她忘記寫了。

B（學(xué)生）：因?yàn)橹芏]有人來，所以周日來的人是最少的。

由此可知，讀取顯示能力的不足是導(dǎo)致學(xué)生A形成錯(cuò)誤認(rèn)知的重要原因。學(xué)生B則給出了第二種錯(cuò)誤原因的典型回答?？梢?，持有此種錯(cuò)誤認(rèn)知的學(xué)生能夠清楚地認(rèn)識(shí)到周二沒有一個(gè)小朋友來小明家這一事實(shí)，但是在比較大小時(shí)則認(rèn)為沒有人來是不屬于所排序的范圍之內(nèi)的。這可能是學(xué)生對(duì)題中“來”字的含義認(rèn)識(shí)不清，也可能是學(xué)生在理解題意時(shí)對(duì)于文字與數(shù)學(xué)表達(dá)相互轉(zhuǎn)換能力不足。

（四）組織、推斷數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)出平均數(shù)統(tǒng)計(jì)方面概念性理解有誤

問卷題1（5）、1（6）和1（7）主要考查學(xué)生組織數(shù)據(jù)時(shí)對(duì)平均數(shù)概念的理解、計(jì)算以及基于平均數(shù)思想進(jìn)行數(shù)據(jù)推斷的能力。第一學(xué)段學(xué)生沒有正式接觸過平均數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量，因而在試題表述時(shí)使用了“大約”一詞進(jìn)行替換。學(xué)生的回答表明，較多的小學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)方面的概念性理解不當(dāng)，主要表現(xiàn)為錯(cuò)誤地將反映平均數(shù)概念含義的“大約”一詞與數(shù)學(xué)中的近似概念相混淆。例如，學(xué)生紛紛基于第一周的客人數(shù)目使用相近、約等于、四舍五入的算法對(duì)每周來玩的小朋友數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。由于學(xué)生所使用的人教版和蘇教版教材對(duì)平均數(shù)的教學(xué)均安排在四年級(jí)，對(duì)四至六年級(jí)學(xué)生的回答分析發(fā)現(xiàn)，有部分學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)平均數(shù)算法概念與統(tǒng)計(jì)意義兩方面理解上的不匹配特征。具體表現(xiàn)為在題1（5）中能夠使用平均數(shù)的計(jì)算公式或是算法概念給出正確解答，但在解決題1（6）時(shí)卻出現(xiàn)了將其與近似、估算概念相混淆的錯(cuò)誤認(rèn)知?？梢?，學(xué)生對(duì)于平均數(shù)概念的理解更多地處于算法的程序性和概念性理解，而對(duì)于統(tǒng)計(jì)方面的概念性理解仍表現(xiàn)出一定的不足。

表4各年級(jí)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)方面概念性理解有誤的學(xué)生數(shù)

表4表明，四年級(jí)樣本學(xué)生在測(cè)試時(shí)均已完成了平均數(shù)概念的學(xué)習(xí)，卻仍有四分之一左右的學(xué)生表現(xiàn)出將其與近似概念相混淆的錯(cuò)誤認(rèn)知反應(yīng)，但四年級(jí)之后這一錯(cuò)誤認(rèn)知百分比呈現(xiàn)出較快的下降趨勢(shì)?？梢姡瑢?duì)于已學(xué)過平均數(shù)概念的第二學(xué)段學(xué)生如何理解平均數(shù)及其理解趨勢(shì)等問題值得今后進(jìn)一步思考與探尋。

學(xué)生C的回答清晰地呈現(xiàn)出具有此錯(cuò)誤認(rèn)知學(xué)生的一些真實(shí)想法。

I（研究者）：在第（6）題中，你給出了每周大約有20個(gè)小朋友的答案，并且在理由中給出了“每周有19個(gè)人來，就比20少1人”，你是怎么想的呢？

C（學(xué)生）：嗯，因?yàn)榍懊嫠愠鰜硎?9人，所以我選了19邊上的20。

I（研究者）：那你為什么沒有預(yù)測(cè)是18個(gè)呢？

C（學(xué)生）：因?yàn)?8不是一個(gè)整（10的）數(shù)，20是一個(gè)整（10的）數(shù)。大約不就是取整嗎？

四、研究結(jié)論與建議

通過對(duì)學(xué)生書面回答的質(zhì)性分析，本研究觀察到學(xué)生在數(shù)據(jù)分析過程中所表現(xiàn)出的一些共性的錯(cuò)誤認(rèn)知。具體包括：（1）讀取顯示時(shí)表現(xiàn)出標(biāo)題意識(shí)的不足與缺乏；（2）數(shù)據(jù)比較時(shí)對(duì)于0數(shù)值的忽視；（3）數(shù)據(jù)推斷時(shí)聚焦于數(shù)據(jù)間的信息讀?。唬?）分類和表示數(shù)據(jù)時(shí)存在信息的遺失；（5）組織、推斷數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)出平均數(shù)統(tǒng)計(jì)方面的概念性理解有誤。其中前3個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知的平均出現(xiàn)率均超過了30%。

通過對(duì)5個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知分析發(fā)現(xiàn)，其中前3個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知都與讀取顯示這一要素相關(guān)。具體來說，第（1）個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知在小學(xué)階段出現(xiàn)率最高，超過95%的學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)統(tǒng)計(jì)圖中標(biāo)題信息的認(rèn)識(shí)不完整，而第（2）（3）兩個(gè)錯(cuò)誤認(rèn)知?jiǎng)t與含有0數(shù)量的統(tǒng)計(jì)圖信息讀取有關(guān)。這說明有關(guān)讀取顯示的知識(shí)是影響學(xué)生數(shù)據(jù)分析水平的一個(gè)重要因素，同時(shí)也體現(xiàn)出在含有0數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖的情境下，學(xué)生在“數(shù)據(jù)之間閱讀”和“超出數(shù)據(jù)閱讀”兩個(gè)層面均存在一定的困擾?？梢姡x取顯示水平的高低會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的比較和推斷等較為復(fù)雜的分析活動(dòng)具有一定的影響。因而在課程教學(xué)時(shí)需要充分對(duì)其基礎(chǔ)性進(jìn)行考慮，全方位地設(shè)計(jì)有關(guān)讀取顯示的系列活動(dòng)。

標(biāo)題作為統(tǒng)計(jì)圖的基本構(gòu)成要素，不僅“簡(jiǎn)明扼要地說明全圖的基本內(nèi)容”[8]，而且還包括了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的時(shí)間、地點(diǎn)以及具體的內(nèi)容，具有“協(xié)助讀者從記憶中獲取有關(guān)熟悉的信息以幫助對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的理解”[9]。然而本研究發(fā)現(xiàn)，讀取顯示時(shí)缺乏對(duì)標(biāo)題信息的完整讀取是小學(xué)階段最為常見的錯(cuò)誤，且學(xué)生和教師的訪談與觀察信息均體現(xiàn)出他們對(duì)于此內(nèi)容的不重視，同時(shí)對(duì)教材的梳理也發(fā)現(xiàn)教材在編寫上同樣也缺乏一定的標(biāo)題意識(shí)，例如人教版“條形統(tǒng)計(jì)圖”一章中就有一半以上的統(tǒng)計(jì)圖沒有呈現(xiàn)標(biāo)題。因此，為了促使師生能夠更好地認(rèn)識(shí)到標(biāo)題信息的重要性，可以在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)施建議中結(jié)合具體實(shí)例強(qiáng)調(diào)標(biāo)題中蘊(yùn)含重要的時(shí)間、地點(diǎn)以及事件的關(guān)鍵信息，同時(shí)在教材編寫時(shí)可以對(duì)原本沒有標(biāo)注標(biāo)題的統(tǒng)計(jì)圖設(shè)計(jì)諸如“你能給這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖加一個(gè)合適的標(biāo)題嗎”這樣的習(xí)題，幫助學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)到標(biāo)題的作用。另外，還應(yīng)加強(qiáng)對(duì)標(biāo)題等圖形約定規(guī)范的教學(xué)，通過追問、學(xué)生互評(píng)等多種方式促使學(xué)生在閱讀時(shí)能主動(dòng)地將數(shù)據(jù)與其中所包含的情境“綜合”起來，引導(dǎo)學(xué)生思考他人的描述是否完整，通過學(xué)生相互間的提示與補(bǔ)充，幫助學(xué)生在傾聽、評(píng)價(jià)與交流中加深對(duì)標(biāo)題等圖形約定規(guī)范的認(rèn)識(shí)與理解。

學(xué)生在數(shù)據(jù)讀取、比較與推斷中對(duì)于0數(shù)量的忽視是本研究以及Jones等人研究中所觀察到的一個(gè)共同的錯(cuò)誤認(rèn)知。通過對(duì)人教版和蘇教版教材的梳理發(fā)現(xiàn)，兩版教材中均沒有提供相應(yīng)的材料。因而，在課程設(shè)計(jì)時(shí)需要持續(xù)性地將其融入在統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)之中，為學(xué)生提供含有0數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖信息讀取的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。例如，可以設(shè)計(jì)含有0數(shù)量的象形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行信息讀取，也可以設(shè)計(jì)一些調(diào)查結(jié)果可能是0數(shù)量的統(tǒng)計(jì)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行表示與分析，更深入地體會(huì)到0數(shù)量的存在。

《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM，2000）中將根據(jù)數(shù)據(jù)發(fā)展和評(píng)估推理與預(yù)測(cè)作為幼兒園到高中“數(shù)據(jù)分析與概率”教學(xué)的主要目標(biāo)之一。[10]可見，作為數(shù)據(jù)分析過程中最為復(fù)雜的數(shù)據(jù)分析與解釋，不僅需要學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和整合，更需要他們能通過對(duì)數(shù)據(jù)的閱讀獲得對(duì)其整體模式的認(rèn)識(shí)，并基于此對(duì)數(shù)據(jù)做出推斷或預(yù)測(cè)。學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知反映出，低學(xué)段學(xué)生在數(shù)據(jù)推斷時(shí)更多地聚焦于數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)間信息的讀取，究其原因，這可能與學(xué)生所使用的人教版、蘇教版教材較少提供此類問題的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)有關(guān)。因而，在課程設(shè)計(jì)時(shí)可以考慮將對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)推斷內(nèi)容提前至二年級(jí)，并將其放置在有關(guān)數(shù)據(jù)描述問題“統(tǒng)計(jì)圖告訴了哪些信息”之后，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)數(shù)據(jù)字面信息讀取的基礎(chǔ)上，思考并討論“統(tǒng)計(jì)圖沒有告訴我們哪些信息”，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)依據(jù)所獲取的數(shù)據(jù)做出合理的推斷。