加權(quán)距離下模糊數(shù)的區(qū)間逼近

毛青松

(集美大學(xué)教師教育學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

模糊數(shù)被廣泛用于表達(dá)和處理不確定性信息[1-3]。在實(shí)際應(yīng)用中，往往對(duì)執(zhí)行速度的要求較高，因而人們提出了很多方法用簡(jiǎn)明、易于計(jì)算的模糊數(shù)去替代原模糊數(shù)，這就是模糊數(shù)的逼近問題。近年來，模糊數(shù)逼近已成為一個(gè)非常重要的熱點(diǎn)問題，人們討論了模糊數(shù)的區(qū)間逼近[4]、條件加權(quán)L-R逼近[5]、光滑逼近[6-7]等問題。

模糊數(shù)上存在多種距離，其中L2型的距離被廣泛使用。L2型的距離包括L2距離和加權(quán)L2距離，L2距離是加權(quán)L2距離的特例，加權(quán)L2距離比L2距離適用范圍要廣[8-9]。在很多情形下，加權(quán)L2距離比L2距離能夠更為合理地描述模糊數(shù)之間的差異，這是因?yàn)獒槍?duì)具體的問題，可以選擇適合該問題的權(quán)函數(shù)。

區(qū)間數(shù)是一種特殊類型的模糊數(shù)，其形式非常簡(jiǎn)潔，執(zhí)行的速度很快。區(qū)間數(shù)在不確定信息處理中起到了重要作用[3]。Grzegorzewski[4]討論了L2距離意義下模糊數(shù)的最近區(qū)間逼近，引發(fā)了學(xué)界對(duì)模糊數(shù)逼近問題廣泛而持續(xù)的關(guān)注。

本文討論了基于加權(quán)L2距離的模糊數(shù)的最近區(qū)間數(shù)逼近問題。因?yàn)長(zhǎng)2距離是加權(quán)L2距離的特例，該結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[4]中的相關(guān)結(jié)果。

1 模糊數(shù)空間及其上的加權(quán)L2距離

本節(jié)介紹模糊數(shù)的基本概念，相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[1-3]。

設(shè)u∈F(R)，稱u是一個(gè)模糊數(shù)，如果u滿足：ⅰ) [u]1≠?；ⅱ) 對(duì)α∈[0,1]，[u]α是R中的有界閉區(qū)間。用E記全體模糊數(shù)。

若φ滿足φ:[0,1]→[0,+)則稱φ為權(quán)函數(shù)。在很多具體問題中，權(quán)函數(shù)φ被要求為嚴(yán)格遞增函數(shù)。

容易驗(yàn)證距離dq,φ滿足:ⅰ)非負(fù)性dq,φ(u,v)≥0；ⅱ)對(duì)稱性dq,φ(u,v)=dq,φ(v,u)；ⅲ)三角不等式dq,φ(u,v)≤dq,φ(u,w)+dq,φ(w,v)。但是dq,φ未必滿足正定性，因而dq,φ未必是度量。關(guān)于dq,φ何時(shí)成為度量的討論參見文獻(xiàn)[9]。

2 基于dq,φ的模糊數(shù)最近區(qū)間逼近

本節(jié)討論在dq,φ距離意義下任意模糊數(shù)的最近區(qū)間逼近。

(1)

3 最近區(qū)間逼近算子Ιφ的性質(zhì)

本節(jié)探討算子Ιφ的基本性質(zhì)，指出Ιφ為線性算子，并發(fā)現(xiàn)了Ιφ為dq,φ距離意義下的Lipschitz連續(xù)算子。這一重要性質(zhì)意味著dq,φ距離意義下的模糊數(shù)最近區(qū)間逼近具有穩(wěn)定性，即只要u的變化較小，則Ιφ(u)的變化也較小。

定理1 設(shè)u∈E，則[u]1?Ιφ(u)?[u]0。

證明 直接計(jì)算可得。

注1 從Ιφ(u)是u的最近區(qū)間逼近這個(gè)事實(shí)，也可以直接推出[u]1?Ιφ(u)?[u]0。

定理2 設(shè)u,v∈E，r∈R，則：ⅰ)Ιφ(u+v)=Ιφ(u)+Ιφ(v)；ⅱ)Ιφ(ru)=rΙφ(u)。

證明 從Ιφ(u)的定義可得結(jié)論。

定理3Ιφ是從(E,dq,φ)到(I(R),dq,φ)的Lipschitz連續(xù)函數(shù)，其Lipschitz常數(shù)為1。