基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃及其在群決策中的應(yīng)用

朱敦贛

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

1965年，Zadeh[1]首次提出模糊集理論。以此為基礎(chǔ)，相關(guān)學(xué)者對(duì)模糊集進(jìn)行了一步步優(yōu)化，其中最具代表性的是直覺(jué)模糊集[2]和Pythagorean模糊集[3]。在現(xiàn)有的多屬性決策問(wèn)題中，決策者對(duì)備選方案在各屬性下評(píng)價(jià)越來(lái)越模糊，使得多屬性決策問(wèn)題的難度也隨之加大。而直覺(jué)模糊集和Pythagorean模糊集的出現(xiàn)，恰恰可以解決很多類(lèi)似的決策問(wèn)題。

Yager[2]于2014年提出Pythagorean模糊集。與直覺(jué)模糊集不同的是，Pythagorean模糊集將其隸屬度和非隸屬的取值范圍從隸屬度與非隸屬度之和小于等于1拓展至隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1，隸屬度和非隸屬度取值范圍的擴(kuò)大，給決策者評(píng)價(jià)的精確性提供更多保障。Pythagorean模糊集現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估[4]、投資[5]、模式識(shí)別以及醫(yī)療診斷[6]等方面。

目前，基于Pythagorean模糊集的決策方法相關(guān)研究已經(jīng)取得了一些研究成果：劉衛(wèi)峰等[7]定義了Pythagorean模糊數(shù)的交叉影響運(yùn)算法則，并提出幾種Pythagorean模糊信息集成算子和基于Pythagorean模糊交叉影響集成算子的決策方法；丁恒等[8]針對(duì)Pythagorean模糊環(huán)境下的多屬性群決策問(wèn)題，提出 Pythagorean模糊冪加權(quán)平均算子，研究所提出算子的基本性質(zhì)，并提出基于PFPWA算子的群決策方法。但是以上研究多是基于集成算子的研究方法，由于集成算子公式構(gòu)造的多樣性，容易給評(píng)價(jià)結(jié)果造成誤差，致使最終獲得的最優(yōu)方案存在爭(zhēng)議。所以，本文將Pythagorean模糊集與最優(yōu)化理論相結(jié)合，減少人為主觀方面的影響，以使最終的評(píng)價(jià)結(jié)果更加精確。

在多屬性群決策過(guò)程中，因?yàn)樾枰紤]多個(gè)決策的評(píng)價(jià)信息，首先需要確定決策者的相關(guān)權(quán)重，然后再將這些決策個(gè)體給出的評(píng)價(jià)信息通過(guò)信息集成的方式得到綜合決策信息，所以在群決策過(guò)程中，確定決策者的權(quán)重就顯得尤為重要。文獻(xiàn)[9-11]從決策者的主觀權(quán)重和客觀權(quán)重出發(fā)，給出了確定決策者權(quán)重的幾種方法。文獻(xiàn)[12]給出將決策者主觀權(quán)重和客觀權(quán)重組合為決策者的最終權(quán)重的方法。解決多屬性群決策問(wèn)題的另一個(gè)重要的影響因素是屬性權(quán)重的確定。在屬性權(quán)重信息完全未知且屬性值為實(shí)數(shù)的情況下，可采用加權(quán)平均法[13]、方差最大化法[14]、信息熵法[15]等。由于其評(píng)價(jià)的客觀性以及專(zhuān)家在某些未知領(lǐng)域知識(shí)的局限性，多數(shù)評(píng)價(jià)值現(xiàn)被以模糊數(shù)的形式給出，所以以上針對(duì)實(shí)數(shù)的屬性權(quán)重值的確定方法已經(jīng)不足以解決該類(lèi)問(wèn)題，使得基于模糊評(píng)價(jià)值的多屬性群決策問(wèn)題成為了現(xiàn)階段研究的熱點(diǎn)方向。

本文主要研究在Pythagorean模糊環(huán)境下的多屬性群決策問(wèn)題，提出了一種基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性群決策方法。首先,引入關(guān)于模糊集的一系列基本概念;其次,針對(duì)Pythagorean模糊非線性規(guī)劃多屬性決策問(wèn)題,給出兩種思路下決策者和屬性客觀權(quán)重的確定方法,同時(shí)給出Pythagorean模糊非線性規(guī)劃模型;最后,以航空公司機(jī)型的選取為背景,實(shí)例論證了模型的可行性和有效性。

1 基本概念

定義1[1]設(shè)X為一論域,X上形如A={〈x,μA(x)〉|x∈X}的二元組被稱(chēng)為X上的一個(gè)模糊集,其中μA(x)∈[0,1],它代表x隸屬于A的程度,簡(jiǎn)稱(chēng)隸屬度,記a=μa為一個(gè)模糊數(shù)(FN)。

定義2[2]設(shè)X為一論域,X上形如A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X}的三元組被稱(chēng)為X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集,其中μA(x)∈[0,1],νA(x)∈[0,1],且μA(x)+νA(x)≤1。μA(x)為隸屬度，νA(x)為非隸屬度。令πA(x)=1-μA(x)-νA(x),稱(chēng)πA(x)為猶豫度,故πA(x)∈[0,1]。記a=(μa,νa)為一個(gè)直覺(jué)模糊數(shù)(IFN)。

定理1[3]設(shè)a1,a2為兩個(gè)Pythagorean模糊數(shù),若：1)s(a1)>s(a2),則a1>a2；2)s(a1)=s(a2),有：若h(a1)>h(a2),則a1>a2;若h(a1)=h(a2),則a1=a2。

2 基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的群決策權(quán)重確定模型

假設(shè)決策者用Pythagorean模糊數(shù)做決策評(píng)價(jià),記決策者ek的評(píng)價(jià)矩陣Sk=(sij(k))m×n(k=1,2,…,l),其中sij(k)代表決策者ek對(duì)方案pi在屬性qj下的評(píng)價(jià),現(xiàn)假設(shè)屬性權(quán)重ω和決策者權(quán)重W完全未知,試通過(guò)確定方案優(yōu)先排序。

將決策者ek的評(píng)價(jià)矩陣Sk=(sij(k))m×n(k=1,2,…,l)規(guī)范化為Rk=(rij(k))m×n(k=1,2,…,l),對(duì)于效益型屬性對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)值不需作任何變動(dòng),對(duì)于成本型屬性對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)值,取其補(bǔ)來(lái)替代,即

(1)

2.1 基于非線性規(guī)劃的群決策專(zhuān)家權(quán)重確定模型

對(duì)于決策者ek,es,其決策者權(quán)重分別為wk,ws,先計(jì)算兩個(gè)矩陣加權(quán)之后對(duì)應(yīng)元素的距離之和,簡(jiǎn)稱(chēng)加權(quán)決策矩陣距離,記為：

(2)

再計(jì)算兩兩決策者之間的加權(quán)決策矩陣距離之和,記為：

(3)

最后求解目標(biāo)規(guī)劃：

(4)

得：W={w1,w2,…,wl}。

另一種確定決策者客觀權(quán)重的方法如下。

對(duì)于決策者e1,e2,…,el,其決策者權(quán)重對(duì)應(yīng)為w1,w2,…,wl,將決策矩陣R1,R2,…,Rl加權(quán)求和,得綜合決策矩陣R=(rij)m×n,其中：

(5)

再計(jì)算每個(gè)決策矩陣與綜合決策矩陣的矩陣對(duì)應(yīng)元素距離之和,記為：

(6)

最后求解目標(biāo)規(guī)劃：

(7)

得：W={w1,w2,…,wl}。

2.2 基于非線性規(guī)劃的群決策屬性權(quán)重確定模型

在決策者的決策權(quán)重W={w1,w2,…,wn}已知的情況下,根據(jù)式(3)求得綜合決策矩陣R,將綜合決策矩陣的屬性列加權(quán)平均,計(jì)算出綜合屬性列T={t1,t2,…,tm},其中

ti=ω1ri1⊕ω2ri2⊕…⊕ωnrin。

(8)

再計(jì)算綜合決策矩陣的每一屬性列與綜合屬性列的對(duì)應(yīng)元素距離之和,記為：

⊕ω2ri2⊕…⊕ωnrin,rij)。

(9)

最后求解目標(biāo)規(guī)劃：

(10)

得：ω={ω1,ω2,…,ωn}。

3 基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的群決策方法

步驟2：利用式(2)～式(4)求解決策者的客觀權(quán)重向量W={w1,w2,…,wn}。

步驟3：通過(guò)式(5),求得綜合決策矩陣R。

步驟4：利用式(8)～式(10)求解方案屬性的客觀權(quán)重向量ω={ω1,ω2,…,ωn}。

步驟5：通過(guò)式(8)計(jì)算綜合屬性列T={t1,t2,…,tm},并根據(jù)定義6及定理1求得各方案對(duì)應(yīng)的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

步驟6：排序和擇優(yōu)。

4 實(shí)例分析

4.1 問(wèn)題背景

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的高速運(yùn)轉(zhuǎn),我國(guó)的民航事業(yè)也得到了持續(xù)和穩(wěn)定的發(fā)展,尤其自國(guó)家允許民營(yíng)資本進(jìn)入市場(chǎng)以來(lái),多家民營(yíng)航空公司相繼問(wèn)世,并迅速擴(kuò)張市場(chǎng)。在多家航空公司激烈競(jìng)爭(zhēng)的背景下,航空公司成立和發(fā)展過(guò)程中不可避免存在的問(wèn)題就是飛機(jī)的機(jī)型選擇問(wèn)題。機(jī)型選擇作為航空公司重要的戰(zhàn)略規(guī)劃之一,直接決定了航空公司的長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)效益,而且還在一定程度上影響公司的技術(shù)、管理水平及其市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。

德國(guó)戴姆勒-克萊斯勒宇航公司(DASA)對(duì)全世界航空公司選購(gòu)飛機(jī)的關(guān)鍵因素進(jìn)行了分析研究,為航空公司提供相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)和運(yùn)營(yíng)指標(biāo),主要包括：經(jīng)濟(jì)性,飛機(jī)性能,通用性,環(huán)保性以及舒適性。隨著旅客出行次數(shù)增加,對(duì)航空出行的深入了解,旅客出行行為逐漸改變,在航空出行時(shí)對(duì)機(jī)型、航空公司等方面有更多的要求。航空公司在進(jìn)行機(jī)型選擇時(shí),不僅需要考慮旅客對(duì)機(jī)型的選擇的偏好,還需要從旅客的安全、舒適性等角度考慮。因此,對(duì)航空公司機(jī)型選擇的研究可以有效地分析旅客對(duì)機(jī)型的舒適性和品牌的要求,并能夠給航空公司帶來(lái)更多的收益。

4.2 實(shí)例分析

現(xiàn)考慮一個(gè)航空公司機(jī)型選擇問(wèn)題。假設(shè)現(xiàn)在有3個(gè)機(jī)型P1,P2,P3可以選擇,針對(duì)這些機(jī)型選擇需要考慮5個(gè)方面的內(nèi)容：1)舒適度(Q1);2)飛機(jī)性能(Q2);3)環(huán)保性(Q3);4)通用性(Q4);5)價(jià)格(Q5)。其中Q1,Q2,Q3,Q4均為效益型屬性,只有Q5屬于成本型屬性?，F(xiàn)航空公司聘請(qǐng)了3位專(zhuān)家e1,e2,e3來(lái)對(duì)3種機(jī)型在5個(gè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià),3位專(zhuān)家給出的初始評(píng)價(jià)矩陣如表1。

表1 專(zhuān)家e1,e2,e3給出的Pythagorean模糊評(píng)價(jià)矩陣S1

步驟1 根據(jù)式(1)將3位專(zhuān)家的初始評(píng)價(jià)矩陣規(guī)范化并計(jì)算其猶豫度,得規(guī)范化后的評(píng)價(jià)矩陣如表2。

表2 專(zhuān)家e1,e2,e3的規(guī)范化評(píng)價(jià)矩陣R1

步驟2 根據(jù)式(2)～式(4),解得專(zhuān)家客觀權(quán)重向量為：W=(0.333 6,0.333 3,0.333 1)。

步驟3 已知專(zhuān)家客觀權(quán)重向量,再由式(5)計(jì)算出綜合的專(zhuān)家評(píng)價(jià)矩陣如表3。

表3 專(zhuān)家e1,e2,e3的綜合評(píng)價(jià)矩陣R

步驟4 根據(jù)式(8)～式(10),求解得方案屬性的客觀權(quán)重向量為：ω=(0.1886,0.1679,0.1461,0.1886,0.3088)。

步驟5 已知屬性客觀權(quán)重,再通過(guò)式(8)計(jì)算方案的綜合屬性列T,并根據(jù)定義4計(jì)算出3個(gè)方案綜合評(píng)分值的得分函數(shù)和精確函數(shù),如表4。

表4 3個(gè)方案的綜合屬性評(píng)價(jià)表

步驟6 排序和擇優(yōu)。根據(jù)定義6和定理1,比較3個(gè)方案綜合屬性評(píng)價(jià)值的大小,得出3個(gè)方案的優(yōu)先排序方案,結(jié)果為：P1>P2>P3。故綜合5個(gè)方面的考慮,航空公司應(yīng)選擇第一種機(jī)型。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性群決策方法。首先,針對(duì)Pythagorean模糊非線性規(guī)劃多屬性決策問(wèn)題,給出兩種思路下決策者和屬性客觀權(quán)重的確定方法,進(jìn)而提出此類(lèi)模糊群決策的詳細(xì)解決步驟;其次,以航空公司機(jī)型的選取實(shí)例，論證了本文提出的Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性決策模型的可行性和有效性。

本文運(yùn)用的矩陣間距離測(cè)度公式的定義僅基于Lance距離進(jìn)行的拓展，而且簡(jiǎn)單的平方差會(huì)增加評(píng)價(jià)誤差。同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的模型構(gòu)造也較為簡(jiǎn)潔。下一步的工作目標(biāo)就是在本文的基礎(chǔ)上改進(jìn)距離公式和目標(biāo)函數(shù)，以提高評(píng)價(jià)的精確度。