探究實(shí)根分布問(wèn)題

江蘇省興化中學(xué) 何名慰

一元二次方程實(shí)根分布問(wèn)題的研究，是我們平時(shí)研究得比較透徹的一類(lèi)問(wèn)題.筆者在過(guò)去的一些資料中發(fā)現(xiàn)這類(lèi)問(wèn)題又被老師們分成了六七個(gè)小類(lèi)，比如有一解、有兩解；兩解都在某區(qū)間內(nèi)、都在某區(qū)間外；兩根都大于某個(gè)數(shù)、都小于某個(gè)數(shù)、一根大于某數(shù)另一根小于某數(shù)，等等.

很多同學(xué)覺(jué)得難以掌握.主要原因在于，不同“類(lèi)型”的問(wèn)題，其細(xì)節(jié)處理有很大不同.有的需要考慮“判別式Δ”，有的需要考慮二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的范圍，有的只需要考慮區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)，有的需要考慮的條件明顯更多……一些較為優(yōu)秀的同學(xué)都陷入了背題型的模式.

為什么明明說(shuō)好的“數(shù)形結(jié)合”最終演變成讓人萬(wàn)分頭痛的“背題型”呢？我們需要思考一個(gè)問(wèn)題：“函數(shù)的零點(diǎn)”這節(jié)課的核心是什么？

當(dāng)然是零點(diǎn)存在性定理（零點(diǎn)定理）.其核心內(nèi)容是“若一個(gè)函數(shù)在某閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在該區(qū)間的兩端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，則該函數(shù)在該閉區(qū)間去掉端點(diǎn)后的開(kāi)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)”.

運(yùn)用好這一定理，在此基礎(chǔ)上合理地運(yùn)用常規(guī)的數(shù)學(xué)思維方式，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)一元二次方程實(shí)根分布問(wèn)題根本不會(huì)有那么多種題型，其實(shí)大家都一樣，都是相同的思維方式.

為了更直接、更方便地研究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，我們約定，接下來(lái)的問(wèn)題都只研究一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根的情況，不必在重根問(wèn)題上自找麻煩.

例已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（7，8），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析由函數(shù)f（x）的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，且零點(diǎn)x1，x2滿足x1∈（0，1），x2∈（7，8），容易畫(huà)出草圖（如圖1）.

圖1

變式1已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，若x1＜4，x2＞4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，若x1＜1，x2＞4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

這兩個(gè)問(wèn)題可以類(lèi)似地解決掉，具體過(guò)程不再贅述.這三個(gè)問(wèn)題總結(jié)起來(lái)就是兩個(gè)不等的實(shí)根分布在兩個(gè)不同的具體的區(qū)間內(nèi).那么如果兩個(gè)不等的實(shí)根在同一個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？上面的方法依然有效嗎？

這才是真正值得研究的部分.

變式3已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，若x1∈（0，4），x2∈（0，4），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析應(yīng)該充分考慮這個(gè)問(wèn)題與前面問(wèn)題的關(guān)系，不妨設(shè)x1＜x2，那么x1應(yīng)該在開(kāi)區(qū)間0到某數(shù)，而x2則在開(kāi)區(qū)間某數(shù)到4.那么現(xiàn)在的問(wèn)題就是：這個(gè)“某數(shù)”該怎么取才合適？問(wèn)題到這里已經(jīng)很明朗了.

我班同學(xué)會(huì)異口同聲地答“對(duì)稱(chēng)軸x＝a”.結(jié)合函數(shù)草圖（如圖2），可得

（其中f（a）＜0可以用判別式Δ＞0等價(jià)代換）

圖2

變式4已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，若x1＜1，x2＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等的零點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（-∞，a）內(nèi)，而另一個(gè)在區(qū)間（a，1）內(nèi)（a＜1）.

變式5已知函數(shù)f（x）＝x2-2ax＋a＋3有兩個(gè)不等的零點(diǎn)x1，x2，若x1＞1，x2＞1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

與變式4類(lèi)似，該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等的零點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（a，＋∞）內(nèi)，而另一個(gè)在區(qū)間（1，a）內(nèi)（a＞1）.

評(píng)價(jià)“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)思想中最基礎(chǔ)也最重要的一部分，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，將不等的兩個(gè)實(shí)根在一個(gè)區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)化為由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸分割開(kāi)的兩個(gè)不同的具體區(qū)間內(nèi)，奇妙而又自然.就這么一點(diǎn)小小的轉(zhuǎn)變，我班同學(xué)再也不必因?yàn)橛洃洸煌念}型而感到痛苦，他們完全意識(shí)到所有的一元二次方程實(shí)根分布問(wèn)題是統(tǒng)一的.解決相關(guān)問(wèn)題必需的知識(shí)是零點(diǎn)存在性定理，具體操作的方法是數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合題中所給條件畫(huà)出恰當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)圖象，從而獲得特殊部位函數(shù)值的正負(fù)，建立相應(yīng)的不等式（組）.

最后回答開(kāi)始部分的兩個(gè)問(wèn)題.一、為什么有時(shí)候需要考慮對(duì)稱(chēng)軸的范圍？當(dāng)你遇到的問(wèn)題中需要用對(duì)稱(chēng)軸將兩個(gè)不等的零點(diǎn)“分割”到不同區(qū)間時(shí)，根據(jù)區(qū)間的概念（左端點(diǎn)數(shù)值小于右端點(diǎn)數(shù)值），自然地，對(duì)稱(chēng)軸就有了范圍.二、為什么有時(shí)候需要考慮“判別式Δ”的范圍呢？其實(shí)判別式Δ對(duì)應(yīng)的是二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸處的函數(shù)值，若二次函數(shù)的圖象開(kāi)口朝上，對(duì)稱(chēng)軸處的函數(shù)值為負(fù)值，對(duì)應(yīng)的Δ＞0，實(shí)質(zhì)上也是區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的一種正負(fù)變化形式.