三種途徑探求直線上的不動(dòng)點(diǎn)

南京市第九中學(xué) 張榮彬

在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)遇到證明某動(dòng)直線恒過定點(diǎn)的問題，這類題目解題方向明確，解法相對(duì)固定可控.下面以“一題多解＋多題一解＋解法綜述”的形式加以展示.

一、一題三解

例1在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)，A，B分別為橢圓的右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，已知OF＝FA，，過點(diǎn)P（0，2）作直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，過M作平行于x軸的直線交橢圓于另外一點(diǎn)Q，連結(jié)NQ，求證：直線NQ經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

思路1：追蹤探源求方程

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），且，直線NQ的方程為，令x＝0得，所以直線NQ經(jīng)過定點(diǎn).

思路2：極化位置猜定點(diǎn)

在上面的方法中，為什么在求出NQ的方程后令x＝0？即如何發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)位于y軸上呢？如圖當(dāng)直線l′過Q時(shí)，所得的直線N′Q與原來位置上的NQ關(guān)于y軸對(duì)稱，借助圖形容易發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)必在y軸上.

圖1

不僅如此，我們還可以更進(jìn)一步：特別地，當(dāng)l過橢圓的右頂點(diǎn)N（2，0）時(shí)，l的方程是y＝-x＋2，代入橢圓方程求得，所以，NQ與y軸的交點(diǎn)就是所求的定點(diǎn).

至此，你記下這個(gè)定點(diǎn)T，假裝忘記之前所有的探索過程，答題時(shí)，你只要完成以下的步驟即可：

（1）將y＝kx＋2代入橢圓方程得（3＋4k2）x2＋16kx＋4＝0，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），且；

思路3：鎖定目標(biāo)設(shè)直線

暫不考慮直線NQ的來路，直接設(shè)其方程為y＝kx＋m，代入橢圓方程得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2-12＝0，設(shè)Q（x1，y1），N（x2，y2），則，.因P（0，2），M（-x，1y1），N（x2，y2）共線，所以x2（kx1＋m-2）＋x1（kx2＋m-2）＝0，2kx1x2＋（m-2）（x1＋x2）＝0，代入解得.所以直線NQ的方程是，直線NQ經(jīng)過定點(diǎn).

按上面三個(gè)解法的思路基本上可以完成直線過定點(diǎn)的相關(guān)問題.三種解法展示了解決此類問題的通用方法.

二、學(xué)以致用

例2已知橢圓b＞0）過點(diǎn)P（-1，-1），c為橢圓的半焦距，且.過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N.

（1）設(shè)直線l1的斜率為k（k＞0），若線段MN的中點(diǎn)在y軸上，求k的值；

（2）求證：直線MN過一定點(diǎn).

同學(xué)們可以按例1的三個(gè)思路分別嘗試求解，再對(duì)照題后的簡(jiǎn)析進(jìn)行對(duì)比反思.

解析（1）求出橢圓C的方程為.設(shè)直線l1：y＋1＝k（x＋1）（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立得M的坐標(biāo)為.用替換k可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為.因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在y軸上，所以xM＋xN＝0，因?yàn)閗＞0，解得.

（2）思路1：能根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出MN的方程嗎？

追蹤M，N的產(chǎn)生過程，利用（1）可先算出斜率，再接著求MN的方程？已經(jīng)沒有勇氣寫下去了！

思路2：能預(yù)先猜出定點(diǎn)位置嗎？

考慮特殊情形，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直線l1和l2的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可得直線MN的方程為y＝-x.又由（1）知，當(dāng)k＝時(shí)，直線MN的方程為，故定點(diǎn)應(yīng)為.成功地找出定點(diǎn)，以下只須證明M，N，H三點(diǎn)共線，運(yùn)算量瞬間減少了！

思路3：能直接設(shè)出MN的方程嗎？

設(shè)MN的方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立得（1＋3k2）x2＋6kmx＋3m2-4＝0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＋x2＝，因?yàn)镻M⊥PN，所以，（x1＋1）（x2＋1）＋（y1＋1）（y2＋1）＝0，（1＋k2）x1x2＋（km＋k＋1）（x1＋x2）＋m2＋2m＋2＝0，代入得k2-3mk＋（m＋1）（2m-1）＝0（*）.

所以（k-m-1）（k-2m＋1）＝0，所以m＝k-1或2m＝k＋1.

當(dāng)m＝k-1時(shí)，直線MN的方程為y＋1＝k（x＋1），直線過定點(diǎn)（-1，-1），不合題意；

當(dāng)2m＝k＋1時(shí)，直線MN的方程為2y-1＝k（2x＋1），直線過定點(diǎn).

三、解法綜述

1.方法提煉

通過對(duì)例1、例2的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，相信同學(xué)對(duì)證明直線過定點(diǎn)問題會(huì)有更為深入的理解，思路1是根據(jù)直線具備的條件求出其方程，旨在用方程的代數(shù)特征揭示定點(diǎn)的位置；思路3是先設(shè)出動(dòng)直線的方程為y＝kx＋m，然后利用直線滿足的條件來確定k與m的關(guān)系，這兩個(gè)思路有較大的相關(guān)性；而思路2的“功夫在題外”，它是利用特殊化的思想將定點(diǎn)的位置找出來，然后證明三點(diǎn)共線.

2.細(xì)節(jié)反思

運(yùn)算是解析幾何中無法回避的一個(gè)話題，本文的兩個(gè)例題表面看似不難，實(shí)則處處有險(xiǎn)境，每一步的推進(jìn)都要求我們有扎實(shí)的功底.就例2來說，（1）中求k的值、思路2中將代入求的坐標(biāo)，之后證明M，N，H三點(diǎn)共線以及思路3中對(duì)（*）式的因式分解等過程都有較大的運(yùn)算量和思維量.可見，正確解題時(shí)不僅要有思路，而且要有實(shí)施及表達(dá)思路的能力.

3.學(xué)法優(yōu)化

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要重視對(duì)一題多解和多題一解的訓(xùn)練.一題多解可以拓展解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散度，讓我們能根據(jù)不同的題設(shè)在多種方法中擇佳選優(yōu).不固守某個(gè)單一方案，要有多個(gè)方法的儲(chǔ)備，這樣才能對(duì)解法做出預(yù)判，從而作出正確的進(jìn)退選擇（不是每個(gè)題目都可用多種方法解決，也沒有哪種方法能解決所有相關(guān)的問題，如例2中思路1就做不下去了）.多題一解是指用相同的方法解決不同的題目，例1與例2就是二題一解，其優(yōu)點(diǎn)就是幫助我們鞏固所學(xué)的技能技巧，形成解題模式.一題多解與多題一解相結(jié)合，能讓我們不斷地開拓疆土、固守領(lǐng)地，成為解題強(qiáng)人.