是概率出問題了嗎

趙秋雨

我曾遇到過這樣一題：

在半徑為1的圓內(nèi)任作一條弦，則弦的長度超過該圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？

這顯然是一個幾何概率問題.我的解法是這樣的：

分析與解

法一如圖1，△ABC為圓O的內(nèi)接等邊三角形.現(xiàn)在圓內(nèi)任意作弦.由于對稱性，不妨將弦的一端固定在△ABC的頂點(diǎn)A處，當(dāng)弦的另一端點(diǎn)P落在劣弧上時，PA＞AB.當(dāng)點(diǎn)P落在以外的圓周上時 ，PA＜AB.（不考慮弧的端點(diǎn)處）

假設(shè)事件E表示“任意所作的弦的長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”，ω表示事件總體，這時，于是

或者類似地，

法二如圖2，不妨將弦的一端固定在等邊三角形的頂點(diǎn)A處，另一端繞著圓O運(yùn)動，即令弦AP繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

若l為圓O在點(diǎn)A處的切線，則與此切線交角在和之間的弦才能超過△ABC的邊長.而所有弦與切線l的夾角在0到π之間，故

然而，本題的參考答案卻給出了完全不同的解法和結(jié)果：

法三如圖3，圓內(nèi)弦的位置被弦的中點(diǎn)唯一確定.在圓內(nèi)作一同心圓，其半徑為大圓的一半.則當(dāng)弦的中點(diǎn)落在小圓內(nèi)時，弦長才能大于圓內(nèi)接正三角形的邊長.

圖1

圖2

圖3

并且參考答案中說，這是一個貝特朗問題，答案并不唯一.

這令我疑惑不解！老師告訴我們，概率是隨機(jī)事件本身固有的屬性，不會隨著試驗(yàn)次數(shù)、計(jì)算方法等因素而有所改變.在這個問題中，同一事件的概率，為何會因?yàn)橛?jì)算的角度不同而得到不同的答案呢？難道是概率本身出了問題？

通過認(rèn)真思考和查閱資料，我終于發(fā)現(xiàn)不是概率出了問題，而是“人”出了問題.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，問題的求解方法可以有多種，但結(jié)果應(yīng)該一致.貝特朗問題之所以會出現(xiàn)不同的答案，是因?yàn)槿藗冇^察隨機(jī)試驗(yàn)的基本結(jié)果的角度不同，同時對結(jié)果的等可能性假設(shè)也有不同的理解.

例如我的解法1中，當(dāng)弦的一端A固定后，我所認(rèn)為的等可能結(jié)果是：弦的另一端點(diǎn)P在圓弧上是等可能出現(xiàn)的.問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P落在圓周的某段弧上的概率問題.結(jié)合解法3，如果也以弧的中點(diǎn)來考慮問題：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿圓周運(yùn)動一周時，弦PA的中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是一個以O(shè)A的中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓（如圖4，此處證明略）.當(dāng)點(diǎn)P落入劣弧內(nèi)時，對應(yīng)的中點(diǎn)M的軌跡為.而的度數(shù)為，所以所求的事件概率為

圖4

也就是說，同樣以弦的中點(diǎn)來考慮問題，當(dāng)假定弦的一端固定時，本題中隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何量為一維的曲線長度；而若不固定弦的端點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)作弦時，事件所對應(yīng)的幾何量則為二維的圖形面積.并且所得的結(jié)果不同.看來并不是概率出了問題，而是我們思考問題的角度發(fā)生了變化，是我們的“假設(shè)”出了問題.