極大似然估計概念的微課程教學設計

陳永娟

(莆田學院 數學與金融學院，福建 莆田 351100)

0 引言

概率論與數理統計是一門基礎課程，在高校中不僅是理工科各專業(yè)要學習它，管理類各專業(yè)、農、林、醫(yī)、人文等專業(yè)也要學習它。但是由于它特有的一些思想方法，使得不少學生掌握起來比較困難。近年來很多概率統計教師，將微課應用于該課程的教學改革中，通常會通過一節(jié)十到二十分鐘的微課講清一個概念。如何進行教學設計把一個概念講清講透呢？本文給出一節(jié)極大似然估計的微課程教學設計，為概率統計微課程的教學設計起到一個拋磚引玉的作用。

1 教學背景

概率論與數理統計中，極大似然估計法的概念方法是在學生已經學習了點估計、矩法估計等概念之后學習的知識點。它是概率論與數理統計的重要概念之一。極大似然估計法應用非常廣泛，在以往的教學中發(fā)現學生往往只會套模式做相關練習，而對極大似然估計的基本思想和估計參數的原則理解不透徹。一個很重要的原因是教師對這個方法的統計思想闡述得不夠透徹。下面通過一節(jié)十多分鐘的微課程教學設計，讓學生能進一步理解極大似然估計的基本思想和概念。

2 教學方法和過程

根據思維習慣由直觀到抽象的特點，首先給出一個簡單的例子先讓學生從直觀上去估計參數，這樣對于接下來較抽象的理論有較好的引導作用。

例1 一個盒子中裝有若干個白色和黃色的乒乓球，不同顏色球的數量比為3:1，但不知哪種顏色的球比較多?，F從中有放回地抽取兩球,發(fā)現都是白球，試估計白球所占的比例。

通過上面的簡單例子，引入極大似然估計的基本思想：在一次隨機試驗中，如果有若干個可能的結果A，B，C，…。若在一次試驗中，結果A發(fā)生了，則一般認為試驗條件對A發(fā)生有利，基于此所做出的估計要使得A發(fā)生的概率最大[1]。

接著介紹極大似然估計法的來歷，調動學生的學習興趣。極大似然估計法，最早由高斯(C.F.Gauss)提出。后來由費歇(R.A.Fisher)1912年在《統計估計理論》一文中重新提出，并證明了此方法的一些性質。極大似然估計法這一名稱也是他給出的[2]。

現在在前面直觀理解的基礎上嚴格闡述極大似然估計法。

對抽象的極大似然估計法的幾點說明：

(1)這里的θ有可能是一個參數，比如說泊松分布θ=λ；也有可能是向量，比如說正態(tài)分布θ=(μ,σ2)

(2)這里講的似然函數就是聯合概率函數，我們這里是以離散型隨機變量為例，f(x,θ)就是X的分布律；若X是連續(xù)型隨機變量的話，f(x,θ)就是X的密度函數。選擇的參數要使得似然函數最大，也就是使得樣本觀測值出現的概率最大。由此得出極大似然估計法的原則：對每一組樣本觀測值，估計出的參數要使得出現樣本觀測值的概率最大。這是對極大似然估計最樸素和直觀的闡述。

(3)極大似然估計法是從觀測值出發(fā)的，因此直接求出的是極大似然估計值，要求估計量的話，注意把xi改為Xi。

(4)極大似然估計簡記為MLE(Maximum Likelihood Estimation)，似然是對Likelihood的一種較為貼近的翻譯，可以理解為可能性、看起來像的意思[4]。

下面，再通過一道跟上面的例題有密切聯系的例題進行練習，讓學生進一步理解極大似然估計法估計參數的原則以及解題步驟。

例2 一個盒子中裝有若干個白色和黃色的乒乓球，不同顏色球的數量比為3:1，但不知哪種顏色的球比較多?，F從中有放回地抽取3個球,發(fā)現取到的第一個球是白球，后面兩個球是黃球，試用極大似然估計法估計白球所占的比例。

分析：在例1中學生只要通過直觀就可以給出估計，這道題目難度稍微加深，考查如何根據極大似然估計的方法給出嚴格的估計。

解：根據極大似然估計法的定義，首先寫出總體的分布：

X={1,取到白球

0，取到黃球

則概率函數

f(x,p)=px(1-p)1-x,x=0,1

寫出似然函數,并帶入樣本觀測值得：

這個例題的設計非常關鍵，由例1學生能夠直觀理解的例題進行拓展，由淺入深地闡述極大似然估計的概念同時給出解題的步驟，同時融入了極大似然估計的基本統計思想。通過兩個簡單的例題就可以講清極大似然估計的概念。

下面舉一個比較貼近生活的應用例子。

例3[5]設電話總機在一天內接到的呼叫次數X服從參數為λ泊松分布P(λ)，現有42個數據如下：

呼叫次數012345>5出現的頻數710128320

求參數λ的極大似然估計。

解：x1,x2,…,xn是來自總體X的一組樣本觀測值，則似然函數為：

兩邊關于λ取對數求導得似然方程為：

解得λ的極大似然估計值為：

根據題目給的樣本數據求得

求得λ的極大似然估計值為1.905。

在傳統的教學設計中通常只要求泊松分布參數的極大似然估計量，而沒結合實際例子的具體數據，學生往往都只會依葫蘆畫瓢去進行計算。

通過這道例題既可以總結出極大似然估計解題的基本步驟：(1)根據樣本構造似然函數；(2)對似然函數取對數求導得到似然方程；(3)解似然方程，求出參數的極大似然估計值；(4)寫出參數的極大似然估計量。我們根據具體實例可以討論具體的極大似然估計值怎么求。在選擇案例的時候要看是否能說明問題，而不是越復雜越好?？梢栽趥鹘y的教學設計的例子中，根據學生的思維特點和學習中存在的困難進行適當的改編以得到合適的例子。

3 結束語

學生在應用概率統計方法的時候，常常都是生搬硬套，并不能真正理解它們的基本思想和原理，因此也就不能靈活應用。教師在教學過程中要講透那些學生不易理解的概念。教師自己先要吃透相關的概念和思想。在微課程教學設計過程中，就一個點展開，要注意由淺入深，注重學生統計思想的建立，這樣才能讓學生真正掌握相關的概念。