落實(shí)建模方法培養(yǎng)多元思維

陳惠珍

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型思想日益凸顯著它的重要性。模型建立的過(guò)程既是教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析、抽象和概括的活動(dòng)過(guò)程，又是學(xué)生在自主探究中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、落實(shí)建構(gòu)模型方法的雙向過(guò)程。鑒于此，筆者認(rèn)為要重視數(shù)學(xué)模型方法的教學(xué)，讓學(xué)生掌握不同的數(shù)學(xué)模型。

一、在觀察對(duì)比中建模

觀察是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的“基石”。有了觀察才能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析比較，才會(huì)進(jìn)行知識(shí)的遷移概括，很多知識(shí)的教學(xué)往往是通過(guò)舊知模型引出新知的“生長(zhǎng)點(diǎn)”。例如，在引導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)法解答完工程問(wèn)題后，筆者設(shè)計(jì)如下對(duì)比練習(xí)。

（1）一批貨物，甲車運(yùn)3次能運(yùn)完;乙車運(yùn)6次能運(yùn)完。如果兩輛車一起運(yùn)，多少次能運(yùn)完這批貨物？

（2）修一條公路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要3天，乙隊(duì)單獨(dú)修需要6天，如果兩隊(duì)合修，多少天能修完這條公路？

學(xué)生通過(guò)獨(dú)立解答后得出：這兩道題都是用1÷

+=2這個(gè)算式解答。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比兩道題，學(xué)生概括出相同地方：這兩道題的工作總量都是未知，都是一起合作，要求的都是合作時(shí)間。筆者順勢(shì)提出：如果一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做a小時(shí)完成，乙單獨(dú)做b小時(shí)完成，兩人合作幾小時(shí)完成的問(wèn)題，可以這樣列式：1÷

+，從而自然地構(gòu)建解決工程問(wèn)題的模型。學(xué)生在運(yùn)貨、修路等情境對(duì)比練習(xí)中，疏通了前后知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，梳理出工程問(wèn)題的相同之處，凸顯了工程問(wèn)題的本質(zhì)特征，并抽象出符號(hào)化的模型。

二、在數(shù)形結(jié)合中建模

在進(jìn)行“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)時(shí)，中低年級(jí)常常借助小棒、點(diǎn)子圖、計(jì)數(shù)器或動(dòng)畫課件來(lái)輔助教學(xué)，而小學(xué)高年級(jí)是靠畫圖來(lái)突破教學(xué)中的重難點(diǎn)。例如，人教版六上“數(shù)與形”的教學(xué)，筆者先簡(jiǎn)單教學(xué)零散正方形的得數(shù)1+3、1+3+5、1+3+5+7，當(dāng)要計(jì)算1+3+5+7+9+…+199的得數(shù)時(shí)，學(xué)生不知所措了。

為便于解決問(wèn)題，筆者引導(dǎo)學(xué)生采用化繁為簡(jiǎn)的方法，利用直觀圖，從1+3開(kāi)始，通過(guò)倒“L”形層層疊加小正方形數(shù)，啟發(fā)學(xué)生從不同角度思考計(jì)算得數(shù)，即1+3=（2）2，1+3+5=（3）2……在繼續(xù)往外拼正方形的過(guò)程中，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的對(duì)照，清楚地看到從1開(kāi)始連續(xù)奇數(shù)相加的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方，也就是“正方形數(shù)”。這樣在“化數(shù)為形”與“以形解數(shù)”中來(lái)回剖析，讓學(xué)生感受數(shù)與形結(jié)合的奇妙之處，感悟出數(shù)與形之間的規(guī)律模型。

在計(jì)算教學(xué)中，畫圖法不僅可以幫助學(xué)生理解算理，掌握算法，而且能使運(yùn)算模型的呈現(xiàn)更具體、清晰。例如，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法的教學(xué)：李伯伯家有一塊公頃的地，種土豆的面積占這塊地的，種土豆是多少公頃？當(dāng)學(xué)生列出算式×后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用長(zhǎng)方形表示1公頃，讓他們通過(guò)折一折、畫一畫、寫一寫展示各自的思考過(guò)程。

方法一：

方法二：

通過(guò)畫圖可以看出，不管是先橫向平分，再豎向平分;還是先豎向平分，再橫向平分，求公頃的，其實(shí)就是求1公頃的，也就是把1公頃平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×=×1=。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，把算理和算法密切聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生既掌握了算法，又理解了算理，自然地由分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算模型遷移到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運(yùn)算模型。

三、在實(shí)踐操作中建模

在數(shù)學(xué)教學(xué)中有些概念尤為抽象，通過(guò)語(yǔ)言的描述學(xué)生不易建構(gòu)出相應(yīng)的模型。這就要求教師在教學(xué)中善于去架設(shè)解決問(wèn)題的階梯，幫助學(xué)生解疑去惑。例如，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”，根據(jù)三角形是由三條線段圍成的圖形，筆者提出問(wèn)題：是不是提供三條線段就一定能圍成一個(gè)三角形呢？學(xué)生有的肯定，有的否定，有的心存疑惑。此時(shí)，筆者讓學(xué)生從準(zhǔn)備的3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根小棒中，任意選擇三根小棒圍一圍，看是不是都能圍成三角形。學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、記錄和交流比較后，發(fā)現(xiàn)在所有任選三根小棒中，共有4種可能：（1）3厘米、4厘米、5厘米;（2）3厘米、4厘米、8厘米;（3）3厘米、5厘米、8厘米;（4）4厘米、5厘米、8厘米。其中（1）、（4）兩種能圍成三角形，而（2）、（3）兩種則不能。筆者趁勢(shì)進(jìn)行三角形三邊關(guān)系的教學(xué)。學(xué)生通過(guò)剛才的實(shí)踐操作，加上教師的引導(dǎo)教學(xué)，從而建構(gòu)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一概念模型。

四、在合作交流中建模

合作交流是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生通過(guò)觀察思考、動(dòng)手操作、模擬演示等自主探究后，逐漸形成自己的見(jiàn)解和想法，初步建構(gòu)出基本的數(shù)學(xué)模型;為進(jìn)一步鞏固模型或使模型得到擴(kuò)展延伸，需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生合作探究、歸納整理，建立清晰、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例如，在教學(xué)“圓錐的體積”后，學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作已建立等底等高的圓柱體積等于圓錐體積的3倍這一公式模型。為進(jìn)一步加強(qiáng)圓錐和圓柱體積之間的聯(lián)系，筆者提出：如果圓柱和圓錐的體積相等、底面積相等，它們的高之間存在什么關(guān)系？

學(xué)生小組合作，演算、交流后發(fā)現(xiàn)：等體積、等底面積的圓錐、圓柱，圓錐的高是圓柱的3倍。與此同時(shí)，一個(gè)學(xué)生迫不及待地站起來(lái)說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)等體積、等高的圓錐、圓柱，圓錐的底面積是圓柱的3倍?！庇谑?，筆者接著引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出：圓柱、圓錐之間體積、底面積和高三個(gè)量中每?jī)蓚€(gè)量相等，第三個(gè)量必成3倍關(guān)系的規(guī)律模型。

又如，“加法運(yùn)算定律”的教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課前，已經(jīng)具備較豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，已由看圖寫算式知道2+4=6也可寫成4+2=6，再到交換兩個(gè)加數(shù)的位置再算一遍的驗(yàn)算過(guò)程。這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的累積為學(xué)生運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。于是，筆者在執(zhí)教這節(jié)課時(shí)，組織學(xué)生小組合作，自主探究加法交換律的模型。學(xué)生在小組合作中充分發(fā)揮各個(gè)成員的主動(dòng)性，有的舉例子寫算式，有的驗(yàn)證算式的得數(shù)，還有的嘗試用自己喜歡的方式來(lái)表示加法交換律的模型。通過(guò)把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)共同體的方式，讓不同程度的學(xué)生在數(shù)學(xué)小組合作中得到不同程度的發(fā)展。

（作者單位：福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)區(qū)漳港中心小學(xué)）