一個(gè)數(shù)列問題的源與流

胡衛(wèi)祖

(新疆博樂第五師高級(jí)中學(xué) 833400)

學(xué)生已有的基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)了等差、等比數(shù)列及其性質(zhì)，對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)主要會(huì)以下幾類：根據(jù)等差、等比數(shù)列定義直接用公式求an；累加法求通項(xiàng)an；累積法求通項(xiàng)an；已知Sn根據(jù)an=Sn-Sn-1(n≥2)求an.但對(duì)上面提出來的問題用上面提到的方法都難奏效.如何能有效地求出an，使得教學(xué)自然合理，需要進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、回到基本概念中去尋找問題的答案

二、求實(shí)數(shù)k構(gòu)造等比數(shù)列

三、總結(jié)提升，舉一反三

推廣：若已知數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，滿足an=pan-1+q(n≥2),p,q∈R,p≠1，p,q為常數(shù)，求通項(xiàng)an

分析同上面的例題分析，我們希望構(gòu)造出等比數(shù)列，即an=pan-1+q可化為an+k=p(an-1+k)，展開得an=pan-1+(p-1)k.

其基本原理是利用了待定系數(shù)法，構(gòu)造出了等比數(shù)列.

四、鞏固練習(xí)

練習(xí)題在于進(jìn)一步理解問題，掌握該類型問題的轉(zhuǎn)化與解答.課堂上應(yīng)給予學(xué)生比較充分的時(shí)間練習(xí)，可以讓學(xué)生上黑板板演.當(dāng)然還可以多出幾個(gè)練習(xí)題進(jìn)行課堂練習(xí).

五、延伸拓展

3.(高中數(shù)學(xué)人教A版必修5 P69第6題)已知數(shù)列{an}中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，對(duì)于這一數(shù)列的通項(xiàng)公式做一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

分析同上面方法，我們嘗試去構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)an+α·an-1=β(an-1+α·an-2)，即an=(β-α)an-1+αβ·an-2，又an=2an-1+3an-2(n≥3)，故(β-α)=2,αβ=3，解得：α=1,β=3或α=-3,β=-1.

另解同上，取α=1,β=3，可得

an+an-1=7×3n-2①.

再取α=-3,β=-1,則有

an-3an-1=-(an-1-3an-2).

用上述方法可求得

an-3an-1=-13×(-1)n-2②.

將①與②聯(lián)立，消去an-1,得

注：此題兩次構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)an，但都是利用了等比數(shù)列的定義.

設(shè)計(jì)一個(gè)問題要善于回到基本概念中去，回到學(xué)生已有的知識(shí)體系中去，把看似高、大、上的問題化成很自然的學(xué)生能接受的知識(shí).適當(dāng)?shù)臍w納能夠深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，適當(dāng)?shù)囊陝t是創(chuàng)新能力創(chuàng)新精神的體現(xiàn).善于將知識(shí)的源與流進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，是教師上好課的努力的方向，也是教師價(jià)值的一種體現(xiàn).