基于正態(tài)近似法的《周易本義·筮儀》概率分析

王曉剛, 宗序平

(1. 揚(yáng)州職業(yè)大學(xué), 江蘇 揚(yáng)州 225009; 2. 揚(yáng)州大學(xué), 江蘇 揚(yáng)州 225002)

董光璧先生的《易學(xué)科學(xué)史綱》(簡稱董著)中,利用古典概率模型,給出了《周易本義·筮儀》 “三變成一爻”的概率分布律:筮得“六”“七”“八”“九”的概率依次為1/16、5/16、7/16、3/16[1]。美國學(xué)者孫滌也曾作過類似推導(dǎo)[2]。

本文擬利用正態(tài)近似法對《周易本義·筮儀》(簡稱《筮儀》)作概率分析。

1 概率分析

引入如下記號:在第i變過程中,中分蓍策為二,左側(cè)蓍策數(shù)與右側(cè)蓍策數(shù)的差記為di,描述di離散程度的標(biāo)準(zhǔn)差記為σi,第i變后剩余蓍策數(shù)為ri(i=1,2,3)。

1.1 對隨機(jī)變量d1分布的初步判斷

首先對隨機(jī)變量d1分布進(jìn)行初步判斷[3]。第一變中,49根蓍策,雙手隨機(jī)中分為二摞,包括最極端的情況,共有諸如“1與48”“2與47”……“48與1”共48種可能,其中“1與48”和“48與1”應(yīng)剔除，以便后續(xù)的“掛一”及“歸奇于扐”。按左減去右計(jì)算的差值d1絕對值較小的可能性較大,d1絕對值較大的可能性則較小。事實(shí)上,占筮者雙手中分49根蓍策成左右兩摞時(shí),既不能刻意使左摞多于右摞,也不能刻意使右摞多于左摞。筮者在占筮時(shí)應(yīng)該不偏不倚地將49根蓍策迅速分成左右兩摞。這樣就沒有理由認(rèn)為左摞多于右摞的概率,大于或小于右摞多于左摞的概率。合理的看法是左摞與右摞之差d1的總體期望值應(yīng)該等于0。

各種偶然因素使得每一次操作的結(jié)果隨機(jī)變化。根據(jù)概率論中的中心極限定理，有理由認(rèn)為隨機(jī)變量d1應(yīng)該近似服從期望值為0的正態(tài)分布N(0,σ12)。

隨機(jī)變量d1的取值空間是{±1,±3,…,±45}。嚴(yán)格來說,d1是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,正態(tài)分布是一種連續(xù)型分布,但在樣本容量足夠大條件下,可以用連續(xù)型分布的概率分布規(guī)律估計(jì)離散型隨機(jī)變量取值的概率。這里具體做法是將d1所有取值按升序排序,用相鄰兩個(gè)值的中點(diǎn)將整個(gè)數(shù)軸分成若干個(gè)子區(qū)間,這樣d1落在每一個(gè)子區(qū)間的概率就相當(dāng)于d1取相應(yīng)的值的概率。

為驗(yàn)證d1值服從N(0,σ12),同時(shí)也為了估計(jì)σ1值,操作了這樣的隨機(jī)試驗(yàn):取49根籌策,雙手迅速中分為兩摞,記錄左右數(shù)目并計(jì)算出左右之差后合為一摞,分別請100個(gè)人獨(dú)立重復(fù)上述過程,得到含有100個(gè)差值的隨機(jī)樣本,詳見表1。因?yàn)闃颖局袥]有小于-15的值,也沒有大于15的值,所以-15對應(yīng)區(qū)間(-∞,-14),15對應(yīng)區(qū)間(14,+∞)。

表1 對d1總體的抽樣結(jié)果與分布擬合χ2檢驗(yàn)計(jì)算表

假設(shè)總體d1近似服從正態(tài)分布,計(jì)算樣本均值為-0.02,用以估計(jì)總體均值μ1,計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6.4479,用以估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ1,利用下式計(jì)算概率值:

(1)

如果總體d1確實(shí)近似為一個(gè)正態(tài)總體,那么表1中的實(shí)際頻數(shù)f與理論頻數(shù)np就不應(yīng)該相差太大,衡量這一差距的統(tǒng)計(jì)量是按下式計(jì)算的χ2統(tǒng)計(jì)量。

(2)

因?yàn)榉植甲宓摩?擬合檢驗(yàn)是用連續(xù)分布近似估計(jì)離散分布,要求每一個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù)np均大于5,所以表1中將d1的取值為-15、-13、-11三行，d1取值為-9、-7兩行，d1取值為7、9兩行，d1取值為11、13、15三行的頻數(shù)與理論頻數(shù)分別合并。這里n=100,公式(2)中的k是擬合項(xiàng),這里k=10,表1的求和項(xiàng)為103.7565,代入(2)式計(jì)算得χ2=3.7565,χ2分布的自由度ν按ν=k-r-1計(jì)算,其中r表示分布中未知總體參數(shù)的個(gè)數(shù),這里未知總體參數(shù)有2個(gè),一個(gè)是總體均值,另一個(gè)是總體標(biāo)準(zhǔn)差,代入計(jì)算ν=7,利用χ2分布的概率分布函數(shù)可得顯著性概率為0.8074,遠(yuǎn)大于一般情況下的顯著性標(biāo)準(zhǔn)0.05,所以接受一開始的假設(shè)“d1總體是一個(gè)正態(tài)總體”,存?zhèn)蔚目赡苄院苄?相反如果拒絕這一假設(shè),那么棄真的概率則會高達(dá)80.74%。

(3)

1.2 第一變后剩余蓍策數(shù)r1的概率分布律

d1的取值空間是{±1,±3,…,±45},剩余蓍策數(shù)r1的取值空間是{40,44},并且r1=40對應(yīng)d1∈{-41,-33,-25,-17,-9,-1,7,15,23,31,39},r1=44對應(yīng)d1∈{-45,-43,-39,-37,-35,-31,-29,-27,-23,-21,-19,-15,-13,-11,-7,-5,-3,1,3,5,9,11,13,17,19,21,25,27,29,33,35,37,41,43, 45}。于是

P{r1=40}=P{d1=-41}+P{d1=-33}+

P{d1=-25}+P{d1=-17}+P{d1=-9}+

P{d1=-1}+P{d1=7}+P{d1=15}+

P{d1=23}+P{d1=31}+P{d1=39}

使用正態(tài)近似法有

(4)

為了完整探求P{r1=40}隨σ1在其99.9%置信區(qū)間 (5.20, 8.34)中的變化規(guī)律,將公式(4)看成是以σ1為自變量，以P{r1=40}為函數(shù)值的函數(shù)。利用數(shù)學(xué)軟件[4]，作出該函數(shù)在一個(gè)比(5.44, 7.87)更加寬泛的范圍，比如(1,16)中的圖象,如圖1。圖象表明σ1在區(qū)間 (5.20, 8.34)中自由變化時(shí),P{r1=40}穩(wěn)定于0.25附近,分別將σ1的99.9%置信區(qū)間的上下限σ1=5.20與σ1=8.34代入,可得P{r1=40}的值分別是0.2500760176與0.2500000129,所以認(rèn)為P{r1=40}=1/4是合適的,從而P{r1=44}=3/4,其中的細(xì)微差異可以部分歸結(jié)于用連續(xù)分布規(guī)律估計(jì)離散型隨機(jī)變量概率所造成的誤差。

圖1 P{n=40}隨σ1變化規(guī)律

1.3 第二變的概率分析

對第二變的概率分析,首先在r1=40與r1=44兩種情況下,討論r2條件分布。

采用與第一變類似的分析過程可得

P{r2=32|r1=40}=P{r2=36|r1=40}=1/2

P{r2=36|r1=44}=P{r2=40|r1=44}=1/2

根據(jù)全概率公式可得隨機(jī)變量r2的概率分布律如下:

P{r2=32}=P{r1=40}×P{r2=32|r1=40}

=1/4×1/2=1/8

P{r2=36}=P{r1=40}×P{r2=36|r1=40}+

P{r1=44}×P{r2=36|r1=44}

=1/4×1/2+3/4×1/2=1/2

P{r2=40}=P{r1=44}×P{r2=40|r1=44}

=3/4×1/2=3/8

1.4 第三變的概率分析

第三變的概率分析應(yīng)在r2=32、r2=36與r2=40三種情況下,討論r3條件分布。與前類似有

P{r3=24|r2=32}=P{r3=28|r2=32}=1/2

P{r3=28|r2=36}=P{r3=32|r2=36}=1/2

P{r3=32|r2=40}=P{r3=36|r2=40}=1/2

從而

P{r3=24}=P{r2=32}×P{r3=24|r2=32}

=1/8×1/2=1/16,

P{r3=28}=P{r2=32}×P{r3=28|r2=32}+

P{r2=36}×P{r3=28|r2=36}

=1/8×1/2+1/2×1/2=5/16

P{r3=32}=P{r2=36}×P{r3=32|r2=36}+

P{r2=40}×P{r3=32|r2=40}

=1/2×1/2+3/8×1/2=7/16

P{r3=36}=P{r2=40}×P{r3=36|r2=40}

=3/8×1/2=3/16

于是三變而成一爻,占得老陰、少陽、少陰、老陽的概率分布律見表2。這一結(jié)論同于董著。

表2 《筮儀》三變成一爻的概率分布律

初步觀察可知,占得陽爻與占得陰爻的概率各占1/2,陰陽平衡。占得變爻(老陰或老陽)的概率為1/4,占得少陽或少陰的概率為3/4,占得變爻的概率較低。

2 關(guān)于《筮儀》筮法概率分析的兩點(diǎn)說明

第一,每一變之結(jié)果的概率分布所表現(xiàn)的穩(wěn)定性,反映出《筮儀》筮法設(shè)計(jì)之巧妙。古圣先賢僅憑手中的一把蓍策模擬天地四時(shí)人事的變化,究竟是如何完成這樣一個(gè)令人嘆為觀止的天才設(shè)計(jì),今人已不得而知。這種穩(wěn)定性表明,不管是什么樣的占筮者、不管在什么樣的條件下、不管使用的是什么樣的占筮工具,三變而成一爻的概率分布均相同,這其中蘊(yùn)含著非同尋常的哲學(xué)意義。著名的歷史學(xué)家、經(jīng)學(xué)家、儒學(xué)家金景芳先生早年強(qiáng)調(diào)《周易》的內(nèi)容首先是筮，然后是卦，最后才是辭。在筮法當(dāng)中有思想、有哲學(xué)、有所謂的“天之道”。研究《周易》必須先研究筮法,因?yàn)轶叻ū旧砭褪钦軐W(xué)。研究《周易》的哲學(xué)思想,筮比卦更重要,至少說筮與卦同樣重要。金景芳先生的論斷無疑是精當(dāng)?shù)腫5]。

第二,以上概率分析表明,每一變之結(jié)果的概率分布所表現(xiàn)的穩(wěn)定性存在一定條件,即左右之差的總體標(biāo)準(zhǔn)差不能太大,也不能太小,這就要求卜筮者在“中分為二”時(shí),要心無所系、操作迅速,既不能刻意使某一摞多于另一摞,也不能刻意追求左右平衡從而導(dǎo)致左右之差的離散度太小。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明,“中分為二”時(shí),運(yùn)作迅速,信手一分,一般均可滿足要求。從d總體的總體標(biāo)準(zhǔn)差的99.9%的置信區(qū)間中也可看出這一點(diǎn)。相反,如果“中分為二”時(shí)有選擇地使某一側(cè)的蓍策數(shù)較多而另一側(cè)的蓍策數(shù)較少、沒有做到不偏不倚,那么將會使得差值d的標(biāo)準(zhǔn)差較大;又或者如果“中分為二”時(shí)動作不夠迅速，摻雜進(jìn)人為因素，刻意使得左右蓍策數(shù)盡量平衡,那么將會使得差值d的標(biāo)準(zhǔn)差較小。圖1表明這兩種情況下占筮結(jié)果的概率分布將會與表2完全不同。古人強(qiáng)調(diào)“中分為二”時(shí)不偏不倚與動作迅速是有所根據(jù)的,并不是所謂的為了增加占筮過程神秘感。

3 《筮儀》筮法與《左傳》《國語》筮例的擬合分析

《左傳》《國語》兩書關(guān)于《周易》的記載共二十二條。其中有六條純以易經(jīng)卦爻辭作為箴言進(jìn)行說理,另有十六條筮例,占卦十七個(gè)[6],具體是觀之否，屯之比，大有之乾，歸妹之睽，蠱，大有之睽，復(fù)，艮之隨，困之大過，明夷之謙，屯，屯之比，坤之比，泰之需，乾之否，屯之豫，泰之八。其中,第17例的“泰之八”存在較大爭議,暫舍之不用[7]。這樣所得的樣本共16卦96爻,其中老陰少陽少陰老陽出現(xiàn)的頻數(shù)匯總見表3。

表3 老陰少陽少陰老陽統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)上作分布擬合檢驗(yàn)時(shí)一般選擇計(jì)算過程較為簡單的χ2檢驗(yàn),但在利用χ2檢驗(yàn)作分布擬合時(shí),因?yàn)槭褂昧诉B續(xù)型分布的概率分布規(guī)律計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率,所以最終求得的顯著性概率存在著一定的誤差,因此，下面在多項(xiàng)分布的概率分布律的框架下,精確計(jì)算《筮儀》概率分布律與《左傳》《國語》筮例擬合檢驗(yàn)顯著性概率,只是計(jì)算過程較為復(fù)雜,必須借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算。

假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)共有四種不同結(jié)果“六”“七”“八”“九”,在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率分別是1/16、5/16、7/16、3/16?，F(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行該試驗(yàn)96次,記“六”“七” “八”“九”出現(xiàn)的次數(shù)分別是X,Y,Z,(96-X-Y-Z),其中X=0,1,2,…,96,Y=0,1,2,…,(96-X),Z=0,1,2,…，(96-X-Y),則X,Y,Z的聯(lián)合概率分布律為

i=0,1,2,…,96;

j=0,1,2,…,(96-i);

k=0,1,2,…,(96-i-j)

(5)

因?yàn)?“六”“七”“八”“九”出現(xiàn)的概率分別是1/16、5/16、7/16、3/16,所以獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行96次該試驗(yàn)“六”“七”“八” “九”出現(xiàn)的理論頻數(shù)分別是6、30、42、18,記之為向量(6,30,42,18)。實(shí)際試驗(yàn)時(shí)所得樣本的實(shí)際頻數(shù)向量與理論頻數(shù)向量的距離較近的可能性較大,較遠(yuǎn)的可能性較小,這里的距離選擇常用的歐氏距離?，F(xiàn)在向量(10,32,43,11)與向量(6,30,42,18)的歐氏距離的平方等于70。在如公式(5)所示多項(xiàng)分布的樣本空間中,求出與理論頻數(shù)向量的距離的平方大于等于70的所有樣本點(diǎn)對應(yīng)的概率之和,就是《筮儀》概率分布律與《左傳》《國語》筮例分布擬合檢驗(yàn)的顯著性概率P,具體表達(dá)式是

(6)

其中l(wèi)ogical是指邏輯判別式(i-6)2+(j-30)2+(k-42)2+(96-i-j-k-19)2≥70。

利用數(shù)學(xué)軟件計(jì)算得擬合檢驗(yàn)顯著性概率P=0.3421,比通常的顯著性標(biāo)準(zhǔn)0.05大很多,接受假設(shè)“《筮儀》筮得‘六’‘七’‘八’‘九’的概率分布律與《左傳》《國語》筮例相合”是恰當(dāng)?shù)?。相反如果拒絕該假設(shè),則棄真的概率將達(dá)34.21%。

4 結(jié)論

按照《筮儀》這一隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,只要在操作 “中分為二”時(shí),既不刻意使左右數(shù)目懸殊,又不刻意追求左右數(shù)目平衡,那么占筮結(jié)果的概率分布相對于左右之差的離散度將表現(xiàn)出相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性。經(jīng)過假設(shè)檢驗(yàn),為易學(xué)主流學(xué)派所接受的《筮儀》筮法筮得“六”“七”“八”“九”的概率分布律與《左傳》《國語》中的實(shí)際筮例基本相合,也就是與東周時(shí)期的《周易》筮法基本相合,擬合度為34.21%,只是沒有達(dá)到令人完全信服的高度,關(guān)于這一問題今后將進(jìn)一步研究。