非線性影響下懸置系統(tǒng)模態(tài)分析及解耦度計算方法研究*

胡金芳，高東陽，朱冬東

（合肥工業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，合肥 230009）

前言

液壓懸置作為先進的隔振元件，因其具有良好的幅頻特性，廣泛應(yīng)用于汽車的隔振系統(tǒng)中。在發(fā)動機怠速或車輛行駛過程中，當(dāng)懸置系統(tǒng)受到低頻、大振幅激勵時，液壓懸置的慣性通道部分會產(chǎn)生較大的阻尼效應(yīng)，以衰減由低頻、大振幅激勵所引起的車身振動；當(dāng)懸置系統(tǒng)受到高頻、低幅激勵時，液壓懸置所具有的低剛度、小阻尼特性可有效降低車內(nèi)噪聲，提高車輛的舒適性。

目前，對于液壓懸置，現(xiàn)有文獻大多是關(guān)于單個懸置元件的工作原理（結(jié)構(gòu)設(shè)計和性能研究）［1-3］，而結(jié)合實際的動力裝置振動來研究液壓懸置系統(tǒng)的特性，尤其是模態(tài)類型和解耦優(yōu)化僅有少量報道。文獻［4］中分別從傳遞函數(shù)法和機械模型法出發(fā)建立了動力總成液壓懸置系統(tǒng)的分析模型，研究了液壓懸置的頻變特性對動力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)和TRA解耦的影響。文獻［5］中通過增加振動系統(tǒng)的自由度，擴展了動力總成液壓懸置系統(tǒng)的模型，通過建立時域運動方程，對考慮頻變特性的懸置系統(tǒng)進行模態(tài)分析和解耦優(yōu)化研究。文獻［6］中考慮懸置系統(tǒng)的頻變特性建立了動力總成懸置系統(tǒng)的振動模型，提出一種拉普拉斯域分析方法來計算動力總成液壓懸置系統(tǒng)的固有特性。然而，液壓懸置具有很強的非線性，文獻［7］中建立了液壓懸置的非線性集中參數(shù)模型并提出了模型參數(shù)的識別方法。文獻［8］和文獻［9］中研究了激勵幅值對液壓懸置的影響，并通過實驗推導(dǎo)出了液壓懸置動剛度的非線性模型。文獻［10］中利用AMESim仿真軟件定性地對液壓懸置幅變特性進行研究，說明了液壓懸置內(nèi)部參數(shù)的不同，特別是等效泵壓面積和解耦盤面積的不同對其幅變特性的影響，文獻［11］中建立了橡膠懸置和液壓懸置的非線性模型，通過實驗比較了兩者在不同工況下的振動特性，以振動解耦率為優(yōu)化目標，對動力總成懸置系統(tǒng)進行了優(yōu)化設(shè)計。

由此可見，液壓懸置除了具有頻變特性，還具有很強的幅變特性。雖然應(yīng)用線性動力學(xué)對動力總成懸置系統(tǒng)的振動機理研究已十分成熟，但懸置系統(tǒng)的線性特性不能充分表達液壓懸置系統(tǒng)的非線性特性，不能滿足工程設(shè)計與開發(fā)的需求，且線性振動理論中的疊加原理、頻響函數(shù)和剛體動力學(xué)分析在非線性振動理論中已不再適用［12］。針對上述問題，并結(jié)合汽車在起動、制動減速和轉(zhuǎn)彎時，發(fā)動機會產(chǎn)生較大振幅的實際情況，本文中以慣性通道式液壓懸置為例，綜合考慮液壓懸置隨頻率和幅值變化的非線性特性，建立液壓懸置系統(tǒng)的非線性模型，提出液壓懸置系統(tǒng)模態(tài)和解耦度的計算方法，并利用該模型對不同激勵振幅下的系統(tǒng)模態(tài)和解耦度展開深入研究。

1 動力總成液壓懸置系統(tǒng)非線性模型的建立

1.1 液壓懸置非線性模型的建立

液壓懸置的集總參數(shù)模型如圖1所示。圖中：Kr和Br為橡膠主簧的剛度和阻尼，橡膠主簧在懸置工作時會產(chǎn)生形變，使液體在上、下液室間流動，用Ap（等效活塞面積）來表達其特性；p1（t）和 p2（t）分別為上液室和下液室的平均壓力，對應(yīng)的體積柔度為C1和C2；Ii和Ri分別為慣性通道中液體的質(zhì)量慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)；Id和Rd分別為解耦盤處液體的質(zhì)量慣性系數(shù)和流量阻尼系數(shù)；Qi（t）和Qd（t）分別為慣性通道和解耦盤處液體的流量；X（t）為液壓懸置主動端所受的激勵；F（t）為懸置的傳遞力。

圖1 慣性通道式液壓懸置集總參數(shù)模型

懸置內(nèi)部一般采用不可壓縮乙二醇溶液作為工作介質(zhì)，在標況下，假設(shè)上液室中存在氣體體積Va和液體體積Vl，在整個振動過程溫度保持不變，隨著動力總成激勵振幅x和頻率的變化，上液室內(nèi)部分氣體會融入到混合溶液中，在系統(tǒng)受到激勵時，上液室總體積變?yōu)?/p>

根據(jù)式（1）和 C1（x）=ΔV／Δp，得上液室體積柔度為

隨振幅變化的函數(shù)。當(dāng)懸置處于拉伸或壓縮狀態(tài)時，上液室內(nèi)的液體體積減少或增加而出現(xiàn)的真空效應(yīng)致使上液室剛度發(fā)生明顯變化，假設(shè)在振動過程中除上液室體積柔度外其他參數(shù)均認為是常數(shù)。由于 k1（x）?k2，忽略 k2的影響，在低頻時，根據(jù)流體的動力學(xué)方程［6］并行拉氏變換得到具有隨激勵頻率和激勵振幅變化的非線性特性的液壓懸置的動剛度：

式（2）的推導(dǎo)方法也同樣適用于高頻段［5］，上液室剛度k（s，x）可根據(jù)實驗數(shù)據(jù)或經(jīng)驗參數(shù)擬合得出。

1.2 懸置系統(tǒng)非線性模型的建立

由于動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率遠低于其最低彈性模態(tài)的頻率，可把動力總成系統(tǒng)和車架視為剛體，把懸置簡化為3個方向正交的彈簧和阻尼器，每個方向包括剛度和阻尼參數(shù)，并將整個系統(tǒng)簡化為空間6自由度系統(tǒng)，如圖2所示，其中GO-XYZ為曲軸坐標系，原點GO位于動力總成靜平衡的質(zhì)心點，在每個懸置i處設(shè)置局部坐標系為ei-UiViWi。

圖2 動力總成懸置系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)式（2）將一般的動力學(xué)方程可改寫為）

式中：M為廣義質(zhì)量矩陣；C為剛度矩陣；K（s，x）為廣義復(fù)剛度矩陣。

2 非線性影響下的懸置系統(tǒng)模態(tài)和解耦度計算方法

2.1 模態(tài)計算方法

根據(jù)橡膠懸置的Kelvin-Voigt模型，其復(fù)剛度可表示為

對于液壓懸置，其慣性通道內(nèi)流體部分只在垂直方向表現(xiàn)出動特性，對應(yīng)動剛度見式（2），則每個懸置在其局部坐標系中的動剛度可表示為

式中：ki，t（s，x）為懸置的平移動剛度；ki，r（s，xθ）為懸置繞3根主軸的轉(zhuǎn)動的動剛度；xθ為動態(tài)轉(zhuǎn)角，在動力總成系統(tǒng)中，懸置的轉(zhuǎn)動動剛度對整個系統(tǒng)的特性影響較小，可以忽略。局部坐標系中懸置的平移動剛度 ki，t（s，x）可表示為

假設(shè)系統(tǒng)中有n個懸置，其中N個液壓懸置，滿足 N＋β=n（1≤β＜n），由旋量理論得其動剛度矩陣為

式中xi，N為慣性通道內(nèi)流體的位移，可由式（13）確定。

2.2 解耦度計算方法

在一定的振幅下，雖然模態(tài)空間中具有不同的模態(tài)向量，但各階模態(tài)基向量，即模態(tài)振型是不變的，根據(jù)模態(tài)振型的局部性［12］，取剛體部分的6階模態(tài)，則系統(tǒng)在第ε個振幅下第j階主振動時，對應(yīng)的最大動能為

式中：I為單位矩陣；Di為懸置的坐標矩陣。對式（3）進行拉普拉斯變換得

則傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的極點，即系統(tǒng)在不同振幅下特征方程的根，由式（10）特征方程確定：

進一步，可根據(jù)式（10）求得 2（6＋N）個共軛的特征復(fù)根 λr和對應(yīng)的特征向量｛ψ（x）｝r：

則對于采用了N個液壓懸置的動力總成懸置系統(tǒng)，完整的系統(tǒng)特征向量Ur（x）為

式中：φε，j為在第 ε個振幅下系統(tǒng)的 j階主振型；（φε，j）k為 φε，j的第 k個元素；mkl為廣義質(zhì)量矩陣的第k行第l列元素。則第k個廣義坐標的能量為

則剛體部分的模態(tài)對應(yīng)的能量百分比為

T0值越大，系統(tǒng)的解耦度越高，但在式（16）中并未考慮慣性通道內(nèi)流體分量所占的能量，這將導(dǎo)致計算結(jié)果比實際偏大。

根據(jù)液壓懸置的特性，在振動過程中，可將慣性通道內(nèi)等效流體質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量近似為0，且在系統(tǒng)垂向跳動時最大，則系統(tǒng)在第j階振動時，液壓懸置內(nèi)流體分量所占的能量可表示為

式中（mi）q為第q個液壓懸置慣性通道內(nèi)的等效流體質(zhì)量。結(jié)合式（16），進一步整理得到考慮慣性通道內(nèi)流體分量的情況下各階模態(tài)的能量解耦度：

式中：TR為考慮慣性通道內(nèi)流體時剛體部分模態(tài)能量所占的百分比；TL為慣性通道內(nèi)流體所占的能量百分比。0.999 9）得

表1 不同振幅下液壓懸置各參數(shù)的測試值

結(jié)合式（2）與式（19）并參考表1的液壓懸置相關(guān)參數(shù)，可擬合出液壓懸置動剛度和滯后角曲線，并與實驗數(shù)據(jù)進行對比，如圖3所示?？芍疚闹兴⒌姆蔷€性模型能較好地反映液壓懸置動剛度和滯后角特性。

圖3 動剛度和滯后角擬合曲線與試驗值對比

3 實例分析

3.1 上液室剛度k1（x）的非線性擬合

由表1的試驗數(shù)據(jù)［9］可知，液壓懸置各參數(shù)隨振幅的變化程度不同，其中上液室剛度k1變化最大，橡膠主簧阻尼Br次之，但在對懸置系統(tǒng)進行模態(tài)分析時，橡膠主簧剛度與阻尼在大小方面基本相差3個數(shù)量級，此時，上液室剛度占主要因素，因而可忽略阻尼變化的影響，這與本文1.1節(jié)中的假設(shè)一致。

根據(jù)以上分析，將液壓懸置的幅變特性集中表現(xiàn)在上液室剛度中，采用指數(shù)擬合（相關(guān)系數(shù)為

進一步，擬合出液壓懸置的動剛度隨頻率和振幅的變化規(guī)律，如圖4（a）所示。可知在不同的激勵振幅下液壓懸置的動剛度曲線不同，動剛度的極大值隨振幅遞減且最大動剛度之間相差1 656.5 N·mm-1，其中在振幅為3 mm時的動剛度極小值僅為949.5 N·mm-1。并分析動剛度曲面在YOZ面的投影，可知激勵頻率在13 Hz以上，激勵幅值對液壓懸置的動剛度影響較大。

把動剛度曲面投影到XOY平面上并對極值加亮處理，如圖4（b）所示，可知液壓懸置動剛度的極大值對應(yīng)頻率隨振幅的不同而不同，其變化范圍在8 Hz左右。因此，上液室剛度的幅變特性不僅會影響到液壓懸置動剛度的值，造成動剛度的極大值所對應(yīng)頻率偏移，還會進一步影響到系統(tǒng)模態(tài)。

圖4 不同投影面下的液壓懸置動剛度曲面

3.2 模態(tài)分析

動力總成懸置系統(tǒng)采用三點式布置，其中前左懸置和前右懸置為橡膠懸置，后懸置為液壓懸置，橡膠懸置的阻尼系數(shù)為100 N·s／m，動力總成的總質(zhì)量為 237.5 kg，轉(zhuǎn)動慣量 Ixx，Iyy，Izz，Ixy，Iyz和 Ixz的值分別為 10.46，32.15，32.12，0.54，0.27，4.13 kg·m2。懸置采用垂直安裝，其位置和各向剛度見表2。

表2 對應(yīng)懸置的安裝位置和剛度

根據(jù)式（10）算出的系統(tǒng)阻尼比和固有頻率分別如表3和表4所示。由表可見：系統(tǒng)的第3階、第4階、第5階和第7階模態(tài)對應(yīng)的參數(shù)隨振幅變化較大，其他階基本不變；從橫向看不同振幅下第3階都具有較大的阻尼比，可判定第3階模態(tài)為液壓懸置慣性通道內(nèi)流體的運動模態(tài)；從縱向看第3階阻尼比隨振幅遞增，這一現(xiàn)象與液壓懸置在低頻高幅振動時會產(chǎn)生較大阻尼的性質(zhì)吻合，從這個角度亦可判斷第3階模態(tài)為液壓懸置內(nèi)流體的運動模態(tài)。

表3 不同振幅下的各階阻尼比 %

表4 不同振幅下各階系統(tǒng)固有頻率 Hz

根據(jù)液壓懸置的安裝位置，在系統(tǒng)振動時，慣性通道內(nèi)流體部分會與系統(tǒng)的垂向跳動和側(cè)傾方向產(chǎn)生較強的耦合，隨著激勵振幅的變化，垂向跳動和側(cè)傾方向上的模態(tài)特性隨之改變。為了確定第5階和第7階的模態(tài)類型，提出以下2條參考依據(jù)。

（1）阻尼比的變化率 由于液壓懸置的流體對垂直影響較大，則系統(tǒng)垂向的阻尼比隨振幅的變化程度較大。由表3的結(jié)果可知，第5階和第7階的阻尼比變化率分別為49.01%和23.14%，參照這一標準可判定第5階模態(tài)對應(yīng)垂向跳動模態(tài)，第7階模態(tài)對應(yīng)側(cè)傾模態(tài)。

（2）固有頻率之間的相關(guān)度 隨著動力總成激勵振幅和頻率的改變，慣性通道內(nèi)流體的流速和流量發(fā)生變化，這會導(dǎo)致系統(tǒng)固有頻率不同程度的變化，并與慣性通道內(nèi)流體部分對應(yīng)的固有頻率相關(guān)性不同。根據(jù)這一標準對表4中第5階和第7階固有頻率分別與第3階固有頻率做相關(guān)性分析（分別為0.983 095和0.960 654），可知第5階固有頻率與第3階固有頻率的相關(guān)度較大，由此亦可判定第5階為垂向跳動模態(tài)，第7階為側(cè)傾模態(tài)。

為了判斷其他階的模態(tài)類型和具體形狀，以振幅為0.3 mm為例（經(jīng)計算，其他幅值下的系統(tǒng)模態(tài)類型與振幅為0.3 mm時基本一致），系統(tǒng)的模態(tài)幅值如表5所示。由表可見，第4階和第6階模態(tài)向量中各存在一個較大的幅值比分量，據(jù)此判定第4階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的θX（扭轉(zhuǎn)），第6階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)的θZ（橫擺），在此基礎(chǔ)上，亦可判定第1階和第2階模態(tài)分別對應(yīng)系統(tǒng)的Y（縱向平動）和X（橫向平動）。

表5 振幅為0.3 mm時系統(tǒng)復(fù)模態(tài)幅值

雖然根據(jù)表5中的幅值信息可對模態(tài)的類型作出判斷，但還須根據(jù)相位信息確定模態(tài)的具體形狀。分別對系統(tǒng)在第3階和第5階振動時各分量的相位信息進行分析，如圖5所示，圖中，模態(tài)向量的實部為橫軸，虛部為縱軸，線段的長度為向量的模，線段與實軸的正向夾角為相位。由圖可見：系統(tǒng)第3階振動時，動力總成系統(tǒng)的垂向分量、側(cè)傾分量和慣性通道內(nèi)的流體分量都在第4象限內(nèi)，三者趨于同相運動，而扭轉(zhuǎn)分量在第1象限內(nèi)；第5階振動時，動力總成系統(tǒng)的垂向分量和流體分量位于第1象限，而系統(tǒng)的側(cè)傾分量和扭轉(zhuǎn)分量分別位于第2和第3象限，前兩者趨于同相運動，并與扭轉(zhuǎn)分量運動相反。經(jīng)式（10）計算，在所討論的其他振幅下，系統(tǒng)第3階主振動時的垂向分量和慣性通道內(nèi)的流體分量的相位差在3.1°～4.2°之間，基本屬于同相運動；而第5階的垂向分量和慣性通道內(nèi)的流體分量的相位差較大，在3.23°～95.94°之間。因此，液壓懸置對系統(tǒng)的垂向才會產(chǎn)生較大的影響。

圖5 第3階和第5階振動時各分量相位信息

3.3 解耦度分析與優(yōu)化設(shè)計

為了與模態(tài)分析方法進行對比，同樣以振幅0.3 mm為例，根據(jù)式（18）對液壓懸置系統(tǒng)的模態(tài)進行解耦度計算（不考慮液壓懸置的第3階模態(tài)），如表6所示。由表可見，各階的模態(tài)類型與3.2節(jié)中的模態(tài)類型判斷一致。

表6 振幅為0.3 mm時系統(tǒng)各階能量分布矩陣%

將表6的計算結(jié)果（考慮液壓懸置慣性通道內(nèi)流體所占的能量）與表7的結(jié)果（僅對剛體的6階模態(tài)進行解耦度計算）進行對比可知，剛體在第5階振動時，表7計算的垂向解耦度偏大，其他階的解耦度基本不變。進一步，按式（18）得出第5階主振動時，3種情況下（流體、考慮流體時垂向、不考慮流體時垂向）的能量解耦度隨振幅的變化曲線如圖6所示。由圖可見，第5階主振動時，流體部分的解耦度（即能量占比）在19.22%～48.83%之間，且不考慮流體時的垂向解耦度偏大量為12%～35%。

表7 振幅為0.3 mm時剛體各階能量分布矩陣%

圖6 第5階主振動時不同情況下的能量解耦度

從動力總成的角度，可知液壓懸置內(nèi)的流體相當(dāng)于“吸收”了部分振動，使剛體部分垂向所占的能量減小，其振動得到衰減，反映了液壓懸置在減振方面的優(yōu)勢。因此，對動力總成液壓懸置系統(tǒng)進行優(yōu)化時，可把垂向模態(tài)下剛體部分所占能量TRZ與慣性通道內(nèi)流體所占的能量TLZ之和作為系統(tǒng)垂向解耦度的優(yōu)化目標，即

Ttotal值越大，系統(tǒng)的垂向解耦度越高。

為進一步研究幅值變化對系統(tǒng)解耦度的影響，在考慮液壓懸置慣性通道流體的情況下，計算不同振幅下各階能量占優(yōu)方向上的解耦度，如圖7所示。由圖可見，振幅對系統(tǒng)的第4階、第5階和第7階能量占優(yōu)方向上的解耦度影響較大，其他階基本不變，這也與模態(tài)分析得出的結(jié)論基本一致。由此可知，動力總成液壓懸置系統(tǒng)和橡膠懸置系統(tǒng)在固有屬性方面有本質(zhì)不同，因此，在對動力總成懸置系統(tǒng)進行模態(tài)分析時不能一概而論［11］。

圖7 不同振幅下的解耦度

根據(jù)圖7各階能量解耦度隨振幅的變化規(guī)律并結(jié)合式（20）可知，在激勵振幅為3 mm時，系統(tǒng)的第4階扭轉(zhuǎn)和第5階垂向模態(tài)的解耦度最小且分別為68.78%和74.95%。因此，在綜合考慮各階解耦度對振幅靈敏度的情況下，為保證在振幅3 mm下，系統(tǒng)的垂直、扭轉(zhuǎn)、縱向平動和橫向平動方向上的解耦度均在90%左右，設(shè)定目標函數(shù)為

式中：li為權(quán)重系數(shù)，取 l1=0.4，l2=l3=l4=0.2；κi分別為對應(yīng)系統(tǒng)垂直、扭轉(zhuǎn)、縱向平動和橫向平動的解耦度。結(jié)合Isight軟件對懸置各向剛度和液壓懸置橡膠主簧的剛度進行確定性優(yōu)化，相應(yīng)的目標函數(shù)和約束條件為

式中：j=1，2，3，分別代表左懸置、右懸置和后懸置；根據(jù)表 2，l分別取 Ui，Vi，Wi；Kr為液壓懸置的橡膠主簧剛度，優(yōu)化后由507變?yōu)?61.4 N·mm-1。其他參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表8和表9所示。

表8 振幅為3 mm時各階解耦度優(yōu)化前后結(jié)果對比 %

由表8可知，動力總成液壓懸置系統(tǒng)的第4階扭轉(zhuǎn)和第5階垂向模態(tài)的解耦度有明顯提高。值得說明的是，系統(tǒng)在所討論的其他振幅激勵下，通過采用表9優(yōu)化后的懸置剛度進行解耦度計算，對應(yīng)結(jié)果亦滿足隔振要求。

表9 優(yōu)化前后懸置各向剛度對比N·mm-1

4 結(jié)論

（1）本文中提出了非線性影響下懸置系統(tǒng)的模態(tài)分析和解耦度計算方法，針對動力總成液壓懸置系統(tǒng)，該方法可直接求解幅頻特性影響下系統(tǒng)的固有屬性、判別各階的模態(tài)類型和進行解耦度的計算。

（2）通過實例分析不同振幅下的系統(tǒng)模態(tài)，厘清了各階阻尼比、固有頻率和解耦度隨振幅的變化規(guī)律，其中除垂向跳動、扭轉(zhuǎn)和側(cè)傾模態(tài)對應(yīng)的參數(shù)隨振幅變化外，其他方向的模態(tài)參數(shù)基本不變。

（3）提出的動力總成液壓懸置系統(tǒng)的垂向解耦度計算方法和優(yōu)化目標可為懸置配置和液壓懸置參數(shù)的優(yōu)化提供參考。

（4）本文中所提方法是基于動力總成液壓懸置系統(tǒng)的振幅在0.3～3 mm之間，經(jīng)對比驗證［6］，該方法同樣適用于小振幅振動，同時系統(tǒng)模態(tài)表現(xiàn)出類似的變化規(guī)律。