單自旋翻轉(zhuǎn)的一維吸引費米氣體

張瑞江,尹相國,陳立,張云波

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

近年來對費米子捕獲和冷原子的操縱取得了很大的實驗進展[1-3],其中在自旋向上的費米子組成的費米海中加入一個自旋向下雜質(zhì)粒子的系統(tǒng)受到學(xué)者們的青睞[4-5]。在弱吸引相互作用下,雜質(zhì)粒子與每一個自旋朝上的費米子都存在弱的耦合,形成了費米極化子。隨著吸引相互作用強度的增加,雜質(zhì)會經(jīng)歷一個從極化子到分子態(tài)的過渡過程。為了研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以及其他性質(zhì),我們引進關(guān)聯(lián)函數(shù),關(guān)聯(lián)函數(shù)可以用來刻畫量子系統(tǒng)的多體效應(yīng)[6]。2015 年,Patu 以及Klumper 等人研究了非均勻一維旋量玻色氣體的熱力學(xué)、密度分布和關(guān)聯(lián)函數(shù)[7],文獻[8]在有限溫度下精確求解了一維玻色氣體在簡諧勢阱中的密度關(guān)聯(lián)函數(shù)。一些實驗小組在一維和三維的玻色系統(tǒng)中測量了兩粒子和三粒子的關(guān)聯(lián)[9-12]。一維相互吸引費米氣體的單體和二階關(guān)聯(lián)也受到許多人的關(guān)注[13]。關(guān)聯(lián)函數(shù)主要包括相位關(guān)聯(lián)[14]、動量空間的關(guān)聯(lián)[13]和坐標(biāo)空間的關(guān)聯(lián)[15]。

本文主要研究一維吸引相互作用的費米氣體模型中的關(guān)聯(lián)函數(shù)。首先,我們給出了系統(tǒng)的哈密頓量,從Bethe-Ansatz(BA)方程出發(fā)寫出了一次量子化波函數(shù)的嚴(yán)格解。然后從二次量子化的波函數(shù)出發(fā),推導(dǎo)出系統(tǒng)的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)。我們數(shù)值求解BA方程,給出單體關(guān)聯(lián)函數(shù)和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的數(shù)值結(jié)果。

1 理論模型

一維Gaudin-Yang模型在自然單位制下(?=2，m=1)的哈密頓量可以寫為:

(1)

其中,第一項為動能,第二項是粒子間的相互作用能,相同自旋粒子之間沒有相互作用,不同自旋粒子之間才有相互作用。N是系統(tǒng)粒子總數(shù)目,i表示粒子的標(biāo)號,xi表示第i個粒子所處的位置,2c是相互作用常數(shù)。當(dāng)c>0時,粒子間存在排斥相互作用,當(dāng)c<0時,粒子間為吸引相互作用。在本文我們主要討論c小于0也即相互吸引的情況?？紤]特殊情況,系統(tǒng)中只有一個自旋向下的粒子,其余粒子都自旋向上,就可將該自旋向下的粒子視為雜質(zhì)[16]。文章考慮的是一維系統(tǒng),所以在弱吸引相互作用下只有極化子,不考慮庫伯對的情形。圖1給出了弱相互作用下的極化子到強吸引相互作用情況束縛分子的示意圖。

Fig.1 Schematic configuration of the polaron-molecule crossover of a single attractive impurity in the 1D Fermi gas.In the weak interaction, the impurity is dressed by the surrounding scattered particles in Fermi sea.In the strong interaction, the impurity binds with a particle in Fermi sea to become a molecule of two atoms.在弱相互作用下,雜質(zhì)粒子被費米海粒子所包圍,在強相互作用下,雜質(zhì)粒子和費米海中的某個粒子束縛成兩個粒子組成的分子態(tài)。圖1 一維費米氣體中雜質(zhì)從極化子到分子的示意圖

本文先介紹極限情況的一次量子化波函數(shù)。當(dāng)相互作用常數(shù)c為0時,系統(tǒng)可視作由N-1個粒子組成的費米海和獨立雜質(zhì)構(gòu)成。我們采用周期性邊界條件,并且粒子不受外勢,所以單個粒子的波函數(shù)就是平面波的形式。N-1個自旋相同的費米子的波函數(shù)就是平面波組成的行列式形式。所以第N個粒子自旋向下其余粒子自旋向上的波函數(shù)可以寫作N-1個粒子組成的行列式與第N個粒子平面波函數(shù)直積的形式:

(2)

其中求和號是對{1,2,…,N-1}所有排列的求和。當(dāng)系統(tǒng)處于基態(tài)時,k的值為2π/L的整數(shù)倍,當(dāng)粒子數(shù)為偶數(shù)時

(3)

L表示系統(tǒng)的總長度,此時(2)中的kN取值為0,即向下自旋粒子的動量為0.

當(dāng)相互作用不為0時,第N個粒子自旋向下其余粒子自旋向上的波函數(shù)可由BA方法得到:

(4)

此處求和號是對{1,2,…,N}所有排列的求和,而連乘號是對所有向上自旋態(tài)求積,其中c′=c/2,Λ表示自旋快度,kj表示準(zhǔn)動量,符號函數(shù)為

(5)

kj和Λ的值由下面BA方程組[17]決定

(6)

(7)

這里一次量子化波函數(shù)f↓j滿足粒子交換反對稱性,無論相同自旋還是不同自旋的兩個粒子交換,波函數(shù)都滿足粒子交換反對稱性,即

f↓j(x1,…,xj,…,xN)=-f↓j(x1,…,xN,…,xj),

(8)

f↓j(…,xm,…,xj,…,xn,…)=-f↓j(…,xn,…,xj,…,xm,…).

(9)

該模型的二次量子化的系統(tǒng)總波函數(shù)可以寫為

(10)

(11)

(12)

2 關(guān)聯(lián)函數(shù)

我們從二次量子化的波函數(shù)出發(fā),推導(dǎo)用一次量子化波函數(shù)表示的單體關(guān)聯(lián)和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)。在計算系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)之前,我們首先需要計算波函數(shù)的歸一化因子。

2.1 歸一化因子

歸一化因子是通過對二次量子化波函數(shù)求內(nèi)積得到的

(13)

計算的核心是求內(nèi)積〈↓j′|↓j〉,將基矢寫成算符作用到真空態(tài)上之后,為了計算方便,我們將自旋向下的產(chǎn)生算符移動到兩端,剩余自旋向上的算符中自變量由于缺少了一項,將之用一套新的符號表示,令

(14)

{x1,…,xj-1,xj+1,…,xN}={y1,…,yN-1}.

(15)

此時基矢內(nèi)積可以寫作

(16)

通過將湮滅算符逐個移至產(chǎn)生算符的最右端,得到該內(nèi)積計算結(jié)果為

(17)

式中的P表示對所有自旋向上的N-1個粒子全排列。同樣的道理,將所有產(chǎn)生算符左移到湮滅算符的最左端,該內(nèi)積結(jié)果可表示為

(18)

在(18)式代入(13)式之前,先把系數(shù)中自旋向下坐標(biāo)都移到兩端,然后利用δ函數(shù)的性質(zhì),計算整理得

(19)

令〈ftot|ftot〉=1,容易得到歸一化因子為

(20)

2.2 自旋向上費米子的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)

單體關(guān)聯(lián)函數(shù)表明了在x′位置湮滅一個粒子的同時在x位置產(chǎn)生該粒子的概率,是研究一個系統(tǒng)的重要物理量。自旋向上費米子的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為

(21)

(22)

(23)

將上式中的坐標(biāo){yk}換回到{xk′},再將歸一化系數(shù)代入該式,容易得到

(24)

利用波函數(shù)的交換反對稱性,上式可以化簡為

(25)

該式即為單體關(guān)聯(lián)函數(shù)的表達式。

2.3 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)

二階關(guān)聯(lián)函數(shù)是我們研究的另一個興趣,在x′位置發(fā)現(xiàn)一個粒子的同時在x位置發(fā)現(xiàn)另一個粒子的概率。向上自旋的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)為

(26)

(27)

上式中p1是由于第一個湮滅算符作用到基矢真空態(tài)的過程中使得基矢中產(chǎn)生算符減少一項,第二個湮滅算符作用時出現(xiàn)δ函數(shù)正負號發(fā)生紊亂,為了調(diào)節(jié)正負號,此處引入因子(-1)p1,使正負號恢復(fù)原來的規(guī)律,其取值如下:

(28)

(27)式中,

(29)

將(27)代入(26)式,利用(29)式將zn還原成yn表示的形式,然后再利用(15)將自變量還原成xn的形式,最后將歸一化因子代入得到

(30)

利用波函數(shù)的交換反對稱性,上式可以化簡為

(31)

利用相同的推導(dǎo)辦法得到上下粒子之間的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)表達式為

(32)

3 數(shù)值求解BA方程

單自旋翻轉(zhuǎn)費米系統(tǒng)中,假定雜質(zhì)和其中一個自旋向上的費米子動量的解為弦解,即準(zhǔn)動量用p±iβ來表示,p是準(zhǔn)動量的實部,β是準(zhǔn)動量的虛部,將之代入BA方程組(6),兩式同時化簡整理得:

(33)

(34)

再將(6)中剩余的N-2個實數(shù)準(zhǔn)動量方程兩邊同時取對數(shù)得

(35)

將所有準(zhǔn)動量代入方程(7),兩邊同時取對數(shù)得

(36)

把方程組(33)到(36)利用數(shù)值求解得到所有動量和自旋快度的值。

但是對于強吸引的情況下,以上方程數(shù)值解并不精確,因為(36)式中β+c′趨向于0,同時分子也趨于0,所以無法數(shù)值精確解。此時我們發(fā)現(xiàn)(33)式給出p=Λ=0,從(34)式可以得到

(37)

同時,方程(35)變成

(38)

據(jù)(37)和(38)即可解得強吸引相互作用下的準(zhǔn)動量值。將這些值代入波函數(shù),進而利用(25)、(31)和(32)計算關(guān)聯(lián)函數(shù)。

4 結(jié)果分析

選取系統(tǒng)的粒子數(shù)為N=8,將x′固定在0.5處,利用蒙特卡羅方法計算多重積分,我們給出相互作用強度從0到-1 000的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像(見圖2)。當(dāng)吸引相互強度非常小時,從BA方法得到的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)和無相互作用下的費米波函數(shù)得到的曲線符合得非常好,印證了兩個波函數(shù)的一致性。當(dāng)相互作用比較弱時,單體關(guān)聯(lián)函數(shù)沒有明顯變化。原因是自旋朝上的費米子之間受泡利不相容原理的限制彼此之間無相互作用,只與自旋朝下的單雜質(zhì)之間存在相互作用,因而相互作用對自旋朝上費米子的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)影響非常有限。當(dāng)相互作用非常強時,峰值部位變得越來越窄,即短程關(guān)聯(lián)以更快的速率衰減,說明強吸引會使單個粒子被觀察到高概率的范圍變小。

Fig.2 One body correlation function of the up spins in the ground state Here we chooseL=1 andN=8這里選取L=1和N=8圖2 基態(tài)向上自旋單體關(guān)聯(lián)函數(shù)

Fig.3 Second order correlation function between up spins in the ground state Here we chooseL=1 andN=8圖3 基態(tài)向上粒子間二階關(guān)聯(lián)函數(shù)這里選取L=1和N=8

同樣利用蒙特卡洛方法計算多重積分,我們給出了自旋向上的兩個粒子間二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(圖3)。x=0.5的值為零,表明兩個相同自旋的費米子不能占據(jù)同一個位置。對于無相互作用的系統(tǒng),關(guān)聯(lián)函數(shù)出現(xiàn)周期性振動,并呈現(xiàn)6個峰值,表示在這些峰值處觀察到粒子的概率最大。因為一個自旋朝上的粒子固定時,剩下的只有6個自旋朝上的粒子,所以有6個峰值。隨著相互作用強度的增加, 關(guān)聯(lián)函數(shù)中在x′位置附近圖像變的越來越窄,但總體趨勢保持不變。

相同的數(shù)值方法得到上下自旋粒子之間的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)圖像,如圖4所示。令x′=0.5,即在0.5處固定一個自旋向下的粒子,通過圖中可以看到,隨著相互作用強度的增加,在x=0.5的位置慢慢開始突起,且越來越高,其余地方幾乎是一條直線,意味著系統(tǒng)形成了極化子并向緊束縛分子態(tài)的轉(zhuǎn)化。

5 結(jié)論

我們討論了含單個費米雜質(zhì)的費米氣體的單體和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)。通過極化弱相互作用和無相互作用情況的比較,證實了BA方程得到的波函數(shù)和理想費米氣體波函數(shù)的一致性。弱相互作用下,單體關(guān)聯(lián)函數(shù)和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)都沒有明顯的變化,與理想費米氣體的性質(zhì)一致。當(dāng)相互作用很強時,單體關(guān)聯(lián)函數(shù)和向上自旋之間的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的尖端變得越來越窄,但整體趨勢保持不變;而對于上下自旋粒子間的二階關(guān)聯(lián)函數(shù),隨著相互作用的增強,關(guān)聯(lián)性更強,系統(tǒng)在相互作用增強的情況下,形成了極化子,并向緊束縛分子態(tài)轉(zhuǎn)化。