分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程的隨機(jī)平均法

郭蓉

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030024)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分最早可以追溯到Leibniz發(fā)明微積分的年代,和整數(shù)階微積分有著同樣悠久的研究歷史。由于在材料科學(xué)、力學(xué)、信號(hào)處理和系統(tǒng)辨識(shí)等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中表現(xiàn)出來的廣泛應(yīng)用,分?jǐn)?shù)階微分方程儼然已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究領(lǐng)域,越來越多的學(xué)者開始重視分?jǐn)?shù)階微分方程的研究。

眾所周知,滯后現(xiàn)象不可避免地出現(xiàn)在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中,也就是說事物的發(fā)展趨勢既依賴于當(dāng)前的狀態(tài),還依賴于過去的歷史。分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程是一類重要的微分方程,很多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行了研究[1-3]。 時(shí)滯的存在可能使系統(tǒng)變的性能更差甚至不穩(wěn)定,這種情況更貼合實(shí)際。文獻(xiàn)[4-10]表明,用具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階微分方程能更準(zhǔn)確地描述自然現(xiàn)象的變化規(guī)律。Bhalekar和Daftardar-Gejji討論了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯的Liu-系統(tǒng)混沌效應(yīng)[11],Wang等研究了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯金融系統(tǒng)[12],Yan和Kou給出了HIV病毒傳播的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分模型及其穩(wěn)定性[13]。

我們知道, 動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)研究是非線性系統(tǒng)研究的一個(gè)中心問題, 至今形成的研究方法有攝動(dòng)法、多尺度法、等效線性化法及隨機(jī)平均法等, 其中隨機(jī)平均法是一種較為常用并且很重要的近似分析方法。 Xu[14-15]和他的合作者依據(jù)隨機(jī)平均原理, 研究了列維噪聲、泊松過程、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì), 為之后的研究做了很好的理論基礎(chǔ)。

本文在Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的意義下,研究分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程的隨機(jī)平均原理,證明了原系統(tǒng)在一定條件下與平均后的系統(tǒng)是均方收斂和依概率收斂的, 并通過一個(gè)例子驗(yàn)證了定理的合理性。

1 分?jǐn)?shù)階微積分

關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分有很多種定義方式,常用的導(dǎo)數(shù)定義有Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分和積分、Caputo型分?jǐn)?shù)階微分。本文研究在Riemann-Liouville型下的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程。

定義1[16]對(duì)任意α∈(0,1),a

其中Γ(·)是Gamma函數(shù)。

由這個(gè)積分定義,我們把經(jīng)典的微分算子與分?jǐn)?shù)階積分算子復(fù)合就得到下面的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義。

定義2[16]對(duì)任意α∈(0,1),a

2 分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程的隨機(jī)平均法

開始研究之前,先給出一個(gè)引理,定義關(guān)于(dt)α的積分。

引理[17]g(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),那么當(dāng)0<α≤1時(shí),g(t)關(guān)于(dt)α的積分定義為:

考慮如下形式的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯隨機(jī)微分方程:

根據(jù)引理,我們研究的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯隨機(jī)微分方程可變形為:

(1)

現(xiàn)在,假設(shè)方程(1)的各個(gè)系數(shù)滿足以下條件:

(H1)σ1和σ2是可測函數(shù),σi(t,x)關(guān)于x是可微的(i=1,2), 存在某些常數(shù)0<γ,δ≤1,對(duì)每個(gè)N≥0,存在MN≥0有如下性質(zhì)成立:

(C1)對(duì)所有的x,y∈Rd,0≤t≤T,有

|σ1(t,x)-σ1(t,y)|2+|σ2(t,x)-σ2(t,y)|2≤L1|x-y|2.

(C2) ?|x|,|y|≤N,?t∈[0,T],對(duì)每個(gè)i=1,…,d,有

|?xiσj(t,x)-?yiσj(t,y)|≤MN|x-y|δ,j=1,2 .

(H2)b:[0,T]×C(-τ,T;Rd)→Rd是可測函數(shù),對(duì)每個(gè)t>0,h∈C(-τ,T;Rd),b(t,h)只依賴{h(s);-τ

此外,存在b0∈Lρ(0,T;Rd) (ρ≥2),?N≥0，LN>0成立:

(C3)?x,y,‖x‖∞(τ)≤N, ‖y‖∞(τ)≤N,其中‖f‖∞(τ)=sups∈[-τ,T]|f(s)|,

|b(t,x)-b(t,y)|2≤LNsup-τ≤s≤t|x(s)-y(s)|2,?t∈[0,T].

(C4) |b(t,x)|≤L0sup-τ≤s≤t|x(s)|+b0(t),?t∈[0,T].

(H3)線性增長條件:對(duì)所有x∈Rd,0≤t≤T,存在常數(shù)L2>0使得

|b(t,x)|2+|σ1(t,x)|2+|σ2(t,x)|2≤L2(1+|x|2) .

Benchohra和Yaghoub[18-19]已證明,假設(shè)(H1-H3)是分?jǐn)?shù)階時(shí)滯隨機(jī)微分方程解的存在唯一性需滿足的條件。

利用隨機(jī)平均法,我們得到方程(1)平均后的方程:

(2)

此外,我們假設(shè)系數(shù)滿足下面的附加不等式:

顯然,在類似方程(1)相同的條件下,方程(2)也有唯一解Zε(t).

定理1 假設(shè)原始方程(1)和平均后方程(2)都滿足條件(H1)-(H3)。給定任意小的數(shù)δ1>0,存在L>0,ε1∈(0,ε0]和β∈(0,1),對(duì)任意的ε∈(0,ε1],當(dāng)t∈[0,Lε-β(1-2ε)]時(shí),都有如下關(guān)系式成立:

證明 方程(1)與方程(2)作差,

(3)

其中[0,t]?[0,u]?[0,T],Ii,i=1,2,3,4.

現(xiàn)在分別討論I1,I2,I3,I4.

兩邊同時(shí)取期望,利用基本不等式,有

利用(C3),(C5)以及Young不等式,得到

(4)

關(guān)于I2,取期望,利用基本不等式,

根據(jù)假設(shè)條件(C6)得到,

于是,

(5)

對(duì)于I3,根據(jù)假設(shè)條件(C1),(C6)和基本不等式,我們有

那么有

(6)

對(duì)于I4,

利用基本不等式,(C1),(C7), 有

(7)

于是我們根據(jù)(4)-(7)可得,

根據(jù)Gronwall-Bellman不等式,

選擇β∈(0,1),L>0, 對(duì)于所有的t∈[0,Lε-β(1-2ε)]?[0,T],有

其中K5是個(gè)常數(shù),

K5=2(K1+2K2+64K3+2KαK4(Lε-β(1-2ε))2α-1)×

exp[2Lε1-β(2K+66L1+2KL1,α(Lε-β(1-2ε))2α-1+1)].

因此, 對(duì)任意的數(shù)δ1>0,選擇ε1∈(0,ε0],對(duì)每個(gè)ε∈(0,ε1],t∈[0,Lε-β(1-2ε)],有

證畢。

定理2 假設(shè)方程(1)和(2)滿足定理1的條件, 那么對(duì)任意的δ2>0, 存在L>0及β∈(0,1),成立

證明 在定理1的基礎(chǔ)上,運(yùn)用Chebyshev-Markov不等式,對(duì)任意給定的δ2>0,可以得到

令ε→0即得證。

注:定理1 表明原始方程與平均后方程的解在一定意義下是均方收斂的;定理2 表明在一定意義下它們的解是依概率收斂的。

3 例子

考慮如下分?jǐn)?shù)階時(shí)滯隨機(jī)微分方程:

(8)

初始值為Xε(t)=t+1,t∈[-1,0],其中a,b是常數(shù),B(t)是布朗運(yùn)動(dòng)。顯然,

b(t,Xε(t))=asin2tXε(t),σ1(t,Xε(t-1))=bXε(t-1),σ2(t,Xε(t-1))=Xε(t-1),

令

定義新的平均方程

(9)

我們可以看到方程(8)和(9)中的各個(gè)系數(shù)都滿足條件(H1)-(H3),所以定理1和定理2都成立,即當(dāng)ε→0,成立

及Xε(t)→Zε(t)依概率收斂。