一類非線性分數(shù)階q-導數(shù)方程的正解

郭福日,王振芳,羅芳

(山西大同大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,山西 大同 037009)

0 引言

近年來,越來越多的研究者專注于分數(shù)階邊值問題的研究[1-4],特別是分數(shù)階q-導數(shù)邊值問題正解存在性的研究[5-10],已經(jīng)成為一個熱點。上述文獻研究正解存在性時,利用的方法主要是錐拉伸錐壓縮不動點理論、Schauder不動點理論、Leggect-williams不動點理論。文獻[11]利用不動點指數(shù)理論,討論了下面非線性分數(shù)階q-導數(shù)積分邊值問題，

(1)

至少有兩個,有三個正解的存在性。就我們所知,研究非線性項帶參數(shù)的分數(shù)階q-導數(shù)積分邊值問題,特別是討論正解依賴于參數(shù)的性質的文獻不多。受文獻[12-15]啟發(fā),本文討論了一類非線性分數(shù)階q-導數(shù)積分邊值問題

(2)

正解的存在唯一性,并且給出了正解依賴與參數(shù)λ的一些性質,其中2<α≤3,0<μ<[α]q,參數(shù)λ>0.我們的結果不僅保證對任意參數(shù)λ(λ>0)邊值問題(2)正解的存在唯一性,而且可以通過構造迭代序列來逼近方程的正解。

注 當λ=1時,方程(2)就退化成方程(1)。

1 準備知識

為了讀者方便,下面給出一些必要的定義和引理,定義見文獻[5,16]。

定義1 設E是實Banach空間,如果P是E中某非空凸閉集,并且滿足下列兩個條件:

(1)x∈P,λ≥0?λx∈P;

(2)x∈P,-x∈P?x=θ,θ表示E中的零元素;則稱P是E中的一個錐。

定義2 設P是E中的一個錐,則可在E中的元素間引入半序:x≤y(x,y∈E),如果x-y∈P.

引理1[16]設E是實Banach空間,P是E中的錐,錐P正規(guī)的充要條件是:如果存在常數(shù)N>0,對任意的x,y∈E,使得當θ≤x≤y時,恒有‖x‖≤N‖y‖(滿足此式的最小N稱為P的正規(guī)常數(shù))。

定義3 設E是實Banach空間,對所有x,y∈E,如果存在λ>0,μ>0使得λx≤y≤μx,則稱x,y等價,并用符號x～y表示。 若給定h>θ,定義集合Ph={x∈E|x～h}.

定義4 函數(shù)f:[0,1]→R的α階q-積分(Riemann-Liouville型)為

(3)

函數(shù)f的α階q-導數(shù)為

(4)

其中k是大于或等于α的最小整數(shù)。

引理2[12]設E為實的Banach空間,P是一個正規(guī)錐且P?E,h>θ,設A:P→P的增算子,且滿足下列條件:(a) 存在h0∈Ph使得Ah0∈Ph;(b) 對任意x∈P,t∈(0,1),存在φ(t)∈(t,1)使得A(tx)≥φ(t)Ax,則有以下結論:

(1)算子方程Ax=x有唯一的解x*∈Ph;

引理3[12]在滿足引理2的條件下,假設xλ(λ>0)是算子方程Ax=λx唯一的解,則有以下結論:

(1)xλ關于λ嚴格遞減,即當0<λ1<λ2時,有xλ1>xλ2;

(2)如果存在γ∈(0,1)使得φ(t)≥tγ,t∈(0,1),則xλ關于λ連續(xù),即當λ→λ0(λ0>0)時,有‖xλ-xλ0‖→0;

引理4[11]設2<α≤3,0<μ<[α]q,x∈C1[0,1],則下列邊值問題

(5)

(6)

引理5[11]由(6)所定義的格林函數(shù)G(t,qs)有下面的性質:

(1)G(t,qs)是連續(xù)函數(shù),并且G(t,qs)≥0,t,s∈[0,1];

(2)

(7)

其中M0=max{[α-1]q([α]q-μ)+μqα,qα-1[α]q}.

2 主要結果及證明

令E=C[0,1],定義范數(shù)‖x‖=max{|x(t)|:t∈[0,1]}.取錐

P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,t∈[0,1]} .

(8)

顯然錐P為正規(guī)錐,正規(guī)常數(shù)為1。

定理1 假設:

(H1)函數(shù)f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)的連續(xù)函數(shù),并且f(t,0)?0;

(H2)對于每一個t∈[0,1],f(t,x)關于x單調遞增;

(H3)對任意r∈(0,1),存在φ(r)∈(r,1)使得

f(t,rx)≥φ(r)f(t,x),t∈[0,1],x∈[0,+∞),

那么有以下結論成立:

(9)

證明 對于任意u∈P,定義算子

(10)

由引理4可知,u(t)是邊值問題(2)的解當且僅當u(t)=λAu(t),因為f(t,x)≥0,G(t,qs)≥0,顯然A:P→P. 由(H1)-(H2)可知,算子A遞增。

下面證明A滿足引理2的所有條件。由(H3)可知

φ(r)Au(t),t∈[0,1].

(11)

因此對任意u∈P,r∈(0,1),有A(ru)≥φ(r)Au.

令h0=h,我們證明Ah∈Ph.由(H2)和格林函數(shù)的性質可知

由于f(t,0)?0,0

即a1h≤Ah≤a2h,則Ah∈Ph.

(12)

特別地,定理1中當λ=1時可以得到以下推論。

推論1 假設(H1)-(H3)成立,那么下列分數(shù)階q-導數(shù)邊值問題

(13)