水稻與水竹葉競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究

張樂(lè)予,王崇奐

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

選取生長(zhǎng)在同一小生境(江西某水稻田)的水稻和水竹葉，由于它們的生長(zhǎng)環(huán)境基本相同，生長(zhǎng)需要同樣的資源，因此兩種群間必定會(huì)發(fā)生資源競(jìng)爭(zhēng).這樣的種間競(jìng)爭(zhēng)勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致某一種群數(shù)量下降，甚至?xí)?dǎo)致該種群滅絕，而另一種群也因?yàn)槿鄙俑?jìng)爭(zhēng)對(duì)象數(shù)量會(huì)急劇增長(zhǎng).為研究這類的種群競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象，著名人口學(xué)家Malthus建立有關(guān)時(shí)間和人口數(shù)量的Malthus模型；而后Verhulst在此基礎(chǔ)上又提出有關(guān)單種群的Logistic模型；但現(xiàn)實(shí)生活中，研究實(shí)際問(wèn)題更多是兩種群或雙種群間關(guān)系，即Lotka-Volterra模型.

為研究方便，給出如下相關(guān)定義和定理：

假設(shè)n維自治的微分方程是：

(1)

的解是x(t)=(x1(t),x2(t),...,xn(t))τ.

1 系統(tǒng)分析

選取江西某片水稻田中的一個(gè)理想小生境，研究此小生境里存在種間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩種農(nóng)作物水稻和水竹葉，現(xiàn)假設(shè)所研究的小生境中水稻和水竹葉均處于正常生長(zhǎng)狀態(tài)，不考慮意外災(zāi)害等突發(fā)原因.在這種理想條件下，建立有關(guān)水稻和水竹葉在t時(shí)刻的增長(zhǎng)情況,且滿足下列方程：

(2)

(3)

(4)

計(jì)算V(x1,x2)沿著(4)解軌線的全導(dǎo)數(shù),得

(5)

當(dāng)

Δ=(m1β1+m2α2)2-4m1m2α1β2<0.

(6)

Δ=(m1β1-m2α2)2-4m1m2(α1β2-β1α2)<0.

(7)

圖1 水稻和水竹葉兩種群數(shù)量變化圖

2 主要結(jié)果的生物學(xué)意義

隨著社會(huì)發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越追求綠色無(wú)污染的養(yǎng)生之道，野菜逐漸成為人們喜愛(ài)的食物之一，這樣一來(lái)本是作為雜草水竹葉一類植物卻可變廢為寶.水竹葉雖然為稻田中的主要雜草，但它又名雞舌草，可做中藥材，主治肺熱咳嗽具有清熱解毒等功效.不僅如此，和普通蔬菜相比，水竹葉這種野菜所含的豐富維生素、礦物質(zhì)和植物纖維等的含量更是高于人們?nèi)粘?shí)用的蔬菜.隨著人們生活水平的日漸提高，多食純天然野菜的養(yǎng)生理念廣為人們接受.因此水竹葉這類既具備營(yíng)養(yǎng)價(jià)值又有藥用價(jià)值的野菜在市場(chǎng)上會(huì)更暢銷.

進(jìn)行人為干預(yù)，使這兩種群可以保證在它們各自環(huán)境容納量的情況之下，又能實(shí)現(xiàn)兩種群共存的狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定共存，達(dá)到不浪費(fèi)資源，又能實(shí)現(xiàn)商業(yè)利益最大化[5].