基于供需平衡條件下的城市出租車模型分析

李春平

(山西大學商務學院 數(shù)學教學研究部，山西 太原 030031)

0 引言

出租車是城市居民出行的重要交通工具之一，但“打車難”問題也隨之而生.隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的快速到來，已有多家公司建立起打車軟件的服務平臺，達到乘客與出租車司機之間的信息互通，同時還推出了各種形式的出租車補貼方案，如文[1-3].在對出租車供求情況的詳細了解和全面合理分析的基礎上，建立一套實用范圍廣，可操作性強，消費者滿意，司機不跑空趟的方案是勢在必行.針對所要解決問題，假設自然條件不好時出租車的平均行進速度為28 km/h；而自然條件較好時出租車的平均行進速度為50 km/h.

1 出租車供需平衡的模型分析

1.1 數(shù)據(jù)的收集與分析

挑選出我國不同地區(qū)的6個城市的出租車情況進行數(shù)據(jù)收集，并統(tǒng)計成表1.

表1 不同城市出租車的數(shù)據(jù)統(tǒng)計

表2 不同城市出租車在一天內(nèi)各個時間點的租車需求量 續(xù)表

利用excel計算機軟件可以對表1和表2進行了相關(guān)分析，得到6個城市出租車的一天內(nèi)各個時間點的租車需求量數(shù)的散點圖和擬合曲線圖.見圖1，2.

圖1 不同城市出租車的一天內(nèi)各個時間點的租車需求量數(shù)的散點圖圖2 不同城市出租車的一天內(nèi)各個時間點的租車需求量的擬合曲線圖

1.2 出租車供給量的模型建立與求解

1.2.1 出租車可供承受的城市居民出行的數(shù)量

出租車可供承受的城市居民出行的數(shù)量，即指出租車可承受乘客行駛的路程與乘客數(shù)量之積，即：

Q=PBRD.

(1)

C=M0+(D-S)M.

(2)

(3)

上式中：Q為出租車承擔的居民出行周轉(zhuǎn)量(萬人/km)；S為出租車起步里程(km)；P為居民總量(萬人);B為居民出行率(次/日)；R表示出租車在人們選擇出行方式中可承擔的比率(%)；D為居民采用出租車出行的平均出行距離(km)；M0為出租車起步費用(元)；

C為居民單次乘坐出租車的平均花費(元)；m為出租車每公里運營費用(元/km).

1.2.2 出租車每日日總載客行駛里程

出租車在所載客人數(shù)量不定的情形下，我們通過計算出租車平均載客數(shù)量，來計算客人所行駛的路程.故，出租車全天總載客的行駛路程為：

G=Q/Z.

(4)

式中：G為出租車全日總載客行駛里程(km)；Z為出租車每車平均載客數(shù)(人/車).

1.2.3 空駛率的定義

出租車空駛率是指單位時間內(nèi)出租車空載行駛里程與總行駛里程之比[1].即

(5)

(5)式中：E為出租車空駛率(%)；h為全日出租車平均運營時間(h)；L為全日出租車載客行駛路程；V為出租車平均運營速度(kin/h)；n為城市出租車擁有量.

1.2.4 出租車擁有量的計算

出租車空載率=全天出租車載客行駛路程/全天行駛總路程之和.

并可得知出租車數(shù)量的計算方法，即：

(6)

但是由于居民的出行量受時間變化的影響，所以根據(jù)各大城市具體的出行特征，需要確定居民使用出租車出行方式所占比例較大的時段.因此，對公(6)修正，得出：

(7)

(7)式中：x/y為出租車在(yT)單位時間內(nèi)(小時)內(nèi)承擔了為百分之x的出行量.

若要實現(xiàn)一個城市出租車所有量的合理化，需先確定出租車合理的空載率，這個數(shù)值的確定通常要考慮城市的規(guī)模、人口的數(shù)量、道路的規(guī)劃大小、交通的狀況以及居民可支配的收入多少等.

1.3 出租車需求量模型的建立與求解

定義符號：

G：乘坐出租車人口；S：人口平均發(fā)展速度；t：時間段；C：出行強度：單位時間內(nèi)出行總量與人口數(shù)的比例.可以乘坐出租車的總?cè)藬?shù)表示為：

G=Cst.

(8)

通過對我國6個不同城市出租車的一天內(nèi)各個時間點的出租車需求量數(shù)據(jù)的收集，以及利用excel軟件的分析與擬合，可以預測出租車的需求量.

1.4 不同時空下出租車供需關(guān)系的模型分析

1.4.1 模型條件假設

1)在單位時間，某街口處正等待出租車的乘客數(shù)量服從于泊松分布：

(9)

2)已乘出租車的每位乘客在不同街口下車的數(shù)量也服從于泊松分布；

3)出租車的運行時間只包括乘客上下車時間和必要的運行時間，不考慮其他時間因素.

4)出租車的出勤率保持一致.

1.4.2 出租車的供需均衡模型[4]

1.4.2.1 出租車的空間供需均衡模型[5]

假設L(E、F)中E為交通區(qū)域集，F(xiàn)為有向路段集，I和J分別為乘客出發(fā)區(qū)域集和到達區(qū)域集.在出租車的供需相對均衡狀態(tài)下，載客出租車從i街口(不包括j街口)去j街口，來實現(xiàn)目的地為j街口的出租車需求，同時在j小區(qū)出租車變?yōu)闉榭蛰d狀態(tài)，即

∑i∈IDij=Dj.

(10)

(10)式中：Dij是從i街道到j街道產(chǎn)生的載客需求量；Dj為j街道的空駛出租車數(shù)量.

出租車在j街口完成載客后成為空載狀態(tài)，并在j街口利用軟件平臺搜索到i街口想要乘坐的客人.在空載狀態(tài)下，以概率P行向i街口并接到乘客，那么出租車從j街口行向i街道的空載交通量K可表示為：

(11)

假設出租車不在所到小區(qū)進行停留，每到達一處后立即進行搜索并離開.那么，出租車在某街道集出行的總量，就是車輛以最短的路程從j街道以空載的情形下到達i街道，并在此街道變?yōu)槔偷那闆r.若從j街道行駛向i街道的空載車輛總和為i街道的出行總量Si，那么

(12)

1.4.2.2 時間供需平衡模型

出租車總營運時間為總載客時間和空載時間之和.

其中，總載客時間:

q0=∑j∈J∑i∈IDijtij.

(13)

總空駛時間：

(14)

因此出租車的總運用時間可表示為：

(15)

若令N為出租車規(guī)模，即研究范圍內(nèi)出租車總運營車輛數(shù).

即，在各時間點上出租車關(guān)于乘客對其需求量的關(guān)系模型為：

(16)

從式(16)可知，在已定的行車路線和出租車需求量固定的條件下，此模型成為對出租車在對應小區(qū)搜索顧客的平均時間為ti的關(guān)系，且小區(qū)數(shù)量即為出發(fā)的區(qū)域數(shù)目.

2 建立出租車打車軟件服務平臺及補貼方案的模型

出租車的供給量隨著我國補貼方案的逐漸完善，出租車的數(shù)量會逐漸增加.但另一方面，隨著我國私家車的逐漸增加又導致了出租車的需求量呈現(xiàn)遞減狀態(tài).要解決我國“打車難”問題，必須找到出租車供求的平衡點.鑒于以上分析和本文前兩問題的研究，提出以下打車的軟件服務平臺及補貼方案，并進行相關(guān)的論證分析.

2.1 新的打車軟件服務平臺及補出租車的貼方案

2.1.1 新的打車軟件服務平臺

2.1.1.1 模型前提假設

(H1)假設可出行出租車比率與乘客所等待的時間是反比例關(guān)系，即t=k2/p2；其中k2是固定系數(shù).假設顧客的滿意度跟等待時間成負相關(guān)，且滿足s=100-k1*t，其中t為顧客等待打車時間，k1為常系數(shù)，顧客的滿意度跟的士的覆蓋率成正相關(guān).

(H2)假設軟件公司為用戶提高的生活服務質(zhì)量日趨完善，出租車司機的覆蓋率每年增長，但增長速度每年遞減，最后使用打車軟件的人數(shù)穩(wěn)定在一定數(shù)量(即達到飽和狀態(tài)).

(H3)假設的士司機因打車軟件每月多賺取的收入J為司機因降低空載率而省下的油費，并假設司機每月跑的路程不變，為l，而每公里油費為0，而使用軟件前的空載率為w1，使用軟件后的空載率為w，w跟p1呈正相關(guān)，跟p2呈負相關(guān).軟件收取向司機的額外收入提成為p%.

(H4)打車軟件開拓的市場基本成熟，大公司的投資也不再，補貼也不再，利用生活服務來增強對用戶的粘性.

(H5)打車軟件收取的廣告費H跟打車軟件的覆蓋率及使用的頻率成正相關(guān)，且滿足H=k5*v*N(p1+p2)，N為全國總?cè)藬?shù).

(H6)假設顧客的覆蓋率與滿意度成正比.

2.1.1.2 模型構(gòu)成

2.1.1.2.1 覆蓋率的變化規(guī)律

出租車司機的覆蓋率p2的變化規(guī)律

由假設(H1)知，隨著時間的推移，固定街道出租車的覆蓋比例會逐漸減少，最終呈現(xiàn)接近于一個固定值的狀態(tài).這一變化規(guī)律符合數(shù)學中的指數(shù)函數(shù)模型，從而假設p2

p2=[k3*e(-n+k4)]+b1.

(17)

其中k3，k4，b1為常系數(shù)，n為年份.

顧客的覆蓋率p1的變化規(guī)律

根據(jù)假設(H1)和(H3)，出租車司機的覆蓋率與顧客的等待時間成反比，即t=k2/p2；顧客的滿意度跟等待時間成負相關(guān)，且滿足s=100-k1*t，由這兩個式子得到

s=100-k1*k2/p2.

(18)

且由假設(H6)顧客覆蓋率p1與滿意度s成正比，易得

p1=k7*[100-k1*k2/p2].

(19)

2.1.1.2.2 打車軟件每年收取的廣告費H的變化規(guī)律

根據(jù)假設(H6)，可得到向用戶收取的廣告費與用戶的覆蓋率p1，p2及頻率v呈正相關(guān)，我們有

(20)

向出租車司機收取的費用E的變化規(guī)律.

基于假設(H3)，空載率為w跟p1呈正相關(guān)，跟p2呈負相關(guān).

便假定其滿足以下等式

w=k8*p1-k9*p2+b2.

(21)

因此易得每月司機省下的油費為(w1-w)*1*o

而每月向出租車司機收取的費用J的變化規(guī)律為

J=k6*(w1-w)*1*o.

(22)

而每年向出租車司機收取的費用J的變化規(guī)律為

E=12*J.

(23)

打車軟件的總利潤

Y=H+E.

(24)

2.1.2 新的打車軟件服務平臺補貼方案

2.1.2.1 模型條件

以下全部補貼滿足以下假設條件：

1)乘客對出租車司機評價為滿意，并且接單比例達到80%以上，沒有中級投訴(即：無理由拒絕載客，客人上車后后又無理由取消或者要求客人自己取消等)；

2)不超過2個初級投訴(高級和優(yōu)選型司機需衣著整齊，車里備有水，會使用導航等)；

3)無刷單、上車后下單、私自預約客人、私活放置平臺下單等行為；

4)關(guān)于評星、接單數(shù)據(jù)以系統(tǒng)記錄為準.

2.1.2.2 模型建立

在以上假設條件成立的基礎上，為了解決出租車司機與乘客之間信息不對稱，導致在高峰期時段、出租車與乘客距離較遠等情況下司機隨意棄單的問題，我們建立了一個新的對出租車司機進行獎勵政策的打車軟件服務平臺補貼方案，來緩解“打車難”的問題.方案見表3，4.

表3 高峰時段獎勵表

其中：早高峰期(周一～周五7:00-10:00)3.5倍車費獲得；

晚高峰期(周一～周四17:00-23:00；周五/六18:00-24:00)2.5倍；

周日全天，2.5倍車費獲得；其他時段，均2倍車費獲得；

每趟獎勵最高為50元.若同時獲得多項獎勵可以采取以下合并獎勵制度：

表4 獎勵金額關(guān)于單數(shù)的數(shù)據(jù)表

2.2 出租車車數(shù)預估模型的建立

首先假定：城市面積并沒有較大的改變；人口的消費能力沒有較大的變化.

其次，設定變量：記相關(guān)影響常數(shù)是c1，第i年乘坐出租車人數(shù)為xi.

城市路況：路況因素又分為自然(雨雪氣候)因素和人為(道路擁擠)因素.記其影響系數(shù)為c2，ui為城市路況；

在天氣情況或路面交通條件較差時出租車行駛的平均速度v1=28 km/h；條件較好時出租車行駛的平均速度v′1為50 km/h.

記第i年出租車的擁有數(shù)量是Pi(i分別為2010，2011，2012，2013)，并有，Pi(i=2010)=10 018，Pi(i=2011)=11 433，Pi(i=2012)=12 115，Pi(i=2013)=12 929，Pi′=c1xi+c2ui

將以上數(shù)據(jù)代入下面的公式

(25)

Pi′=c1xi+c2ui

(26)

利用lingo軟件可以求得其影響常數(shù)值c1=0.19，c2=0.167 3.

結(jié)論：通過上式可以根據(jù)過去幾年出租車的數(shù)量預估出未來的出租車數(shù)量.

2.3 出租車定價的預測模型

參考我國對出租車起步定價的政策，制作我國某城市從2008年到2015年出租車的起步定價表，如表5所示.

表5 過去8年的某城市的出租車定價變化

圖3 8年某城市出租車定價散點圖

利用Excel軟件對表5進行數(shù)據(jù)分析，得到城市出租車起步價隨著時間變化的散點圖，如圖3所示.

運用過去的多個按照時間次序排起來的相同變量的觀測數(shù)值(其中，時間次序數(shù)作為權(quán)數(shù)，利用得到的觀測值求其加權(quán)算術(shù)平均數(shù))來預測以后此變量數(shù)值的變化趨勢.即：

(27)

將上述8年的出租車定價變化代入加權(quán)平均數(shù)公式可求出最適宜的起步價.

結(jié)論：

最適宜的平均起租價為8.0元,最適宜每公里定價： 2.5公里/元.

2.4 出租車最大利潤的模型建立及計算

2.4.1 模型建立的條件及定義

首先，本模型的建立需要假設總行程路線為X，空載行程數(shù)X2，是定數(shù)，其次引用空載率的定義：單位時間內(nèi)出租車空載行駛里程與總行駛里程之比.

(28)

其中：E為出租車空駛率(%)；h為全日出租車平均運營時間(T)；L為全日出租車行駛?cè)锍?km)；v為出租車平均運營速度(kin/T)；n為城市出租車擁有量.

2.4.2 出租車最大利潤的模型建立及計算

通過統(tǒng)籌學的非線性規(guī)劃可以得到司機滿載時所得凈利潤模型：

W1=8+2.5(X-X2)+(-CX2).

(29)

(29)式中：W為司機滿載時所得的凈利潤；C為每公里耗油量.

將C=0.8(耗油量/km)代入(29)式

司機空載時所消耗的費用

W2=CX2.

(30)

(30)式中：W2為空載時所消耗的費用；X2為空載時行駛的距離.

(31)

司機可獲得的最大利潤：

maxW=W1+W2.

(32)

將(28)(29)(30)(31)代入(32)，并將T=8，n=12 115代入，得到司機可獲得的最大利潤為：

(31)

根據(jù)(31)式可以求出司機可獲得的最大利潤.

2.5 模型評價

優(yōu)點：所建立模型能接近實際，針對問題進行建模并求解，使得此模型具有較好的實用性和推廣性；模型在計算過程中采用了專業(yè)的數(shù)學軟件，準確率較高；文中數(shù)據(jù)真實，并通過excel軟件分析，找到了變量間相互的潛在關(guān)系；對模型中所涉及到的影響元素進行量化分析，使得結(jié)論更具說服力.

缺點：模型的約束條件相對簡單；乘客對出租車滿意度調(diào)查的理論依據(jù)較為匱乏.