題型規(guī)律研究，展望命題趨勢(shì)*
—— 基于全國高考圓錐曲線問題

☉山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王 萍

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，解題方法靈活多變.圓錐曲線的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡單，規(guī)律性較強(qiáng)，但運(yùn)算過程往往比較復(fù)雜，在近幾年的高考題中，選擇、填空、解答三種題型均涉及該內(nèi)容.選擇題、填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，解答題則綜合考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析問題與解決問題的能力等.

一、近8年全國高考圓錐曲線部分考點(diǎn)分析

以新課標(biāo)高考全國Ⅰ卷為例，就近8年全國新課標(biāo)高考圓錐曲線部分考點(diǎn)分析如下：

年份 文科卷理科卷題型 題號(hào) 分值 考點(diǎn) 題型 題號(hào) 分值 考點(diǎn)2011 2012 2013選擇 4 5 橢圓的離心率 選擇 7 5 雙曲線的方程與離心率選擇 9 5 拋物線的方程與三角形的面積 填空 14 5 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程解答 20 12 以數(shù)量積為載體求解軌跡方程，導(dǎo)數(shù)的意義與點(diǎn)到直線的距離公式選擇 4 5 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，等腰三角形的性質(zhì) 選擇 4 5 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，等腰三角形的性質(zhì)選擇 10 5 雙曲線與拋物線的位置關(guān)系，等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 選擇 8 5 雙曲線與拋物線的位置關(guān)系，等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)解答 20 12 以拋物線為載體求解參數(shù)的值與圓的方程，點(diǎn)到直線的距離的比值 解答 20 12 以拋物線為載體求解參數(shù)的值與圓的方程，點(diǎn)到直線的距離的比值選擇 4 5 雙曲線的離心率與漸近線方程 選擇 4 5 雙曲線的離心率與漸近線方程選擇 8 5 拋物線的定義與方程，三角形的面積 選擇 10 5 橢圓中點(diǎn)弦問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解答 21 12以動(dòng)圓與兩圓相切為載體結(jié)合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長問題解答 20 12以動(dòng)圓與兩圓相切為載體結(jié)合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長問題選擇 4 5 雙曲線的方程與離心率 選擇 4 5 雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離2014 2015選擇 10 5 拋物線的方程與定義 選擇 10 5 拋物線的方程與定義，向量的線性關(guān)系式解答 20 12以過圓內(nèi)一定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為載體求解軌跡方程，直線的方程，三角形的面積解答 20 12以橢圓的幾何性質(zhì)為載體求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的面積，基本不等式與直線方程選擇 5 5 拋物線的性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 選擇 5 5 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的數(shù)量積，參數(shù)的取值范圍問題填空 16 5 雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關(guān)系，最值問題 填空 14 5 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解答 20 12以拋物線與直線的方程為載體求解切線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，探索存在性問題

年份 文科卷理科卷選擇 5 5 直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的離心率，點(diǎn)到直線的距離 選擇 5 5 雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，參數(shù)的取值范圍2016解答 20 12 以拋物線與直線方程為載體求解線段的比值，直線與拋物線的位置關(guān)系 選擇 10 5 拋物線與圓的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)解答 20 12以圓的方程及平面幾何知識(shí)為載體結(jié)合橢圓的定義求解軌跡方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，四邊形面積的取值范圍選擇 5 5 雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，三角形面積 選擇 10 5 拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，基本不等式2017選擇 12 5 橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系 填空 15 5 雙曲線的方程與幾何性質(zhì)解答 20 12 以拋物線為載體求解直線的斜率，直線與拋物線的位置關(guān)系以及直線的方程 解答 20 12 以橢圓為載體求解橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，定值（點(diǎn)）問題選擇 4 5 橢圓的方程與幾何性質(zhì) 選擇 8 5 拋物線的方程與幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積2018解答 20 12 以拋物線為載體求解直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率與傾斜角 選擇 11 5 直線與雙曲線的位置關(guān)系解答 19 12 以橢圓為載體求解直線的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率與傾斜角

二、全國高考圓錐曲線部分試題特點(diǎn)及命題規(guī)律

（1）從地位角度上看：圓錐曲線這部分內(nèi)容在新課標(biāo)高考中一直占據(jù)著非常重要的地位，理科試卷總體比較穩(wěn)定，文科試卷對(duì)應(yīng)題量有稍微變小的趨勢(shì)（主要轉(zhuǎn)化為直線與圓的相關(guān)內(nèi)容），總體體現(xiàn)出穩(wěn)中求新，且地位穩(wěn)定的特點(diǎn).

（2）從方向角度上看：圓錐曲線這部分的考題的命題方向遵循《考試大綱》和《考試說明》，立足“雙基”，回歸“教材”，突出數(shù)學(xué)思想方法和能力等方面的考查.

（3）從題型角度上看：圓錐曲線部分的題型以選擇題、解答題為主，有時(shí)也出現(xiàn)個(gè)別填空題，題量基本維持在“一大（解答題）二?。ㄟx擇題或填空題）”，總分值大體維持在17-22分左右.

（4）從考頻角度上看：結(jié)合近8年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)文理卷來看，考查橢圓、雙曲線、拋物線知識(shí)出現(xiàn)的次數(shù)分別為16次、13次、17次，次數(shù)基本相當(dāng)；而在解答題中，以考查橢圓與拋物線為主，其中考查橢圓、拋物線知識(shí)出現(xiàn)的次數(shù)分別為6次、7次.

（5）從難度角度上看：圓錐曲線部分的考題主要以中檔題和難題為主，選擇題一般位于4～5題與9～10題的位置，填空題一般位于14～15題的位置，大題一般位于19～20題的位置.從近兩三年的試卷來看，圓錐曲線部分考題的總體難度有所下降，維持在中檔及中檔偏上的層次.

（6）從考點(diǎn)角度上看：重點(diǎn)考查橢圓、雙曲線、拋物線這三類圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程的求解、圓錐曲線與直線、圓、函數(shù)、平面向量、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)的綜合與交匯問題等.

三、全國高考圓錐曲線部分命題形式與命題趨勢(shì)

1.圓錐曲線的命題形式

圓錐曲線問題在高考中以中低檔題來直接考查相關(guān)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)等，而以中高檔題來考查綜合問題的常見類型主要有軌跡方程的求解、位置關(guān)系的判定、弦長問題、最值與定值（包括定點(diǎn)、定直線等）問題、對(duì)稱問題等，可以適當(dāng)拉開考生之間的差異，起到高考的選拔功能.

同時(shí)，圓錐曲線問題也是交匯與綜合的主陣地之一，通過圓錐曲線自身的特點(diǎn)，與相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以交匯，經(jīng)常與數(shù)列、函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、平面向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)加以綜合，在這些知識(shí)的交匯點(diǎn)處巧妙地設(shè)計(jì)層次不同、難度可控的試題，既是考查各數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)間的綜合應(yīng)用，也是考查綜合能力的一大場(chǎng)所，是歷年高考試卷中創(chuàng)新與綜合的熱點(diǎn)之一.

2.圓錐曲線的命題趨勢(shì)

高考命題的趨勢(shì)：圓錐曲線與直線、圓、平面向量、數(shù)列、函數(shù)以及實(shí)際應(yīng)用的綜合問題等.從這幾年的高考題中可以看出考查這些方面的綜合性越來越強(qiáng)，靈活性越來越大，知識(shí)內(nèi)容的考查也頗具深度.

四、圓錐曲線復(fù)習(xí)策略與教學(xué)建議

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的復(fù)習(xí)

在圓錐曲線問題中，要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的應(yīng)用，在解題過程中要加以訓(xùn)練與綜合.

2.加強(qiáng)圓錐曲線與相關(guān)知識(shí)綜合的應(yīng)用

根據(jù)近幾年高考的命題熱點(diǎn)與趨勢(shì)，圓錐曲線在集中交匯直線、圓的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還要注意其與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、平面幾何、平面向量以及導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)的交匯與綜合，加強(qiáng)相關(guān)訓(xùn)練，全面提升綜合能力與應(yīng)用能力.

3.加強(qiáng)圓錐曲線常見五類綜合問題的應(yīng)用

在綜合問題中，圓錐曲線問題往往是多個(gè)交匯問題綜合在一起，一般常見的綜合問題有：軌跡問題、弦問題、參數(shù)問題、最值與定值問題以及創(chuàng)新問題.

（1）軌跡問題

求解曲線的軌跡方程是高考的熱點(diǎn)之一.而結(jié)合直線與圓錐曲線方程的綜合軌跡問題，更是實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的水平和分析問題能力的考查，如數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的思想方法，代數(shù)運(yùn)算、恒等變形的能力以及與圓錐曲線方程有關(guān)的知識(shí)和規(guī)律的掌握情況，所以一般都是比較難的綜合題，因而一直是高考命題的熱點(diǎn)問題.

（2）弦問題

弦問題中比較常見的有弦長問題、中點(diǎn)弦問題、弦的最值問題等.此類問題往往可以通過轉(zhuǎn)化，把幾何問題代數(shù)化，再結(jié)合“根與系數(shù)的關(guān)系”來處理.同時(shí)注意弦長公式的應(yīng)用、中點(diǎn)弦的“點(diǎn)差法”的應(yīng)用等.

（3）參數(shù)問題

參數(shù)問題中比較常見的有方程問題、對(duì)稱問題等，經(jīng)常通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來加以巧妙地設(shè)置，或是通過圓錐曲線的參數(shù)方程來轉(zhuǎn)化，再根據(jù)相關(guān)條件來判斷相應(yīng)的參數(shù)問題.

（4）最值與定值問題

最值與定值問題往往通過圓錐曲線的位置關(guān)系、參數(shù)問題等來設(shè)置，包括代數(shù)式的最值與定值，數(shù)量積的最值與定值，定點(diǎn)、定直線以及定角度等相關(guān)問題.

（5）創(chuàng)新性問題

對(duì)于創(chuàng)新性問題，變化比較大，往往是在前面四類問題的基礎(chǔ)上加以合理設(shè)置“新面孔”來進(jìn)行創(chuàng)新，注意從基本知識(shí)入手，通過圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)等基本條件，結(jié)合相關(guān)知識(shí)加以創(chuàng)新與應(yīng)用。注意數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過圖形的直觀性以及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思維幫助分析解決問題．W