由一次習題課教學片斷引起的思考

☉江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 王惠清

習題課該如何上？這是我們每一位數(shù)學老師都應該思考的問題.在一次區(qū)級調研活動中，筆者關注到某年輕教師的一堂習題講授課，現(xiàn)就其在“完美解法”“優(yōu)秀解法”的教學上作出自己的思考.

師（邊板書）：前段時間出現(xiàn)了這樣一道有關數(shù)列方面的考題，今天我們就圍繞這一考題進行以下探討.

題目 在等差數(shù)列{an}中，當且僅當n=6時，Sn有最大值，則使Sn＞0的n的最大值為______.

師：我們班的52名同學在此題的得分情況上很不樂觀：40名同學一分未得；7名同學得了部分分數(shù)；5名同學空白未答.

師：借助拋物線的圖像來解決此題就顯得特別直觀且完美了，大家看一下老師的完美解法：

①當對稱軸n=5.5時，如圖1，由對稱性知，S11=S0=0，當對稱軸向右微移時有S11＞0且S12＜0.

圖1

圖2

②當對稱軸n=6.5時，如圖2，由對稱性知，S13=S0=0，當對稱軸向左微移時有S12＞0且S13＜0.

綜合①②可得，若使Sn＞0的n的最大值為11或12.

點評：這是借助二次函數(shù)圖像解決問題的方法，解題時取兩個極端點作為對稱軸，并在拋物線的對稱軸左移、右移時對圖像的變化進行觀察，體會出S11＞0且S12＜0或S12＞0且S13＜0并得出結論.該班執(zhí)教老師在課后對學生進行了問卷調查，學生對這一“完美解法”“優(yōu)秀解法”的掌握情況并未達到教師的預期，很多學生在該方法的理解與接受上表現(xiàn)得很吃力，教師未作鋪墊就作出了過原點的圖3的情形，教師在這一過程中又是怎樣進行思考的呢？ 假如首項a1＜0，則S1=a1＜0，此時的圖像很可能即為圖4所示的不過原點的情形，假如正是圖4所示的情形，那么S11、S12、S13的正、負又該怎樣判斷呢？教師所展示的這一解法確實直觀且準確，但在解題的過程中似乎總有什么環(huán)節(jié)顯得并不那么順暢.

圖3

圖4

筆者在之后所進行的教研活動中有意識地提及了這一問題，大多數(shù)同事在此題的解法上持有相同的想法，很多同事對于此題是否存在更易理解的解法上并未作出深刻的思考.筆者深知該教師的解法確實堪稱完美，但該問題背后所隱藏的深層知識并未得到應有的挖掘與思考，于是筆者便對該題中所隱含的深層問題作一次由難到易的探究.

探究1：基于二次函數(shù)Sn的圖像對對稱軸在不同位置上引起的Sn的變化進行觀察與分析，并由此得出結論，這是模仿上述“完美解法”作出的思考，但顯然更完整.

圖5

圖6

②當對稱軸n′靠近區(qū)間（5.5，6.5）的左端點時，由n′=得a＞-5d＞0，因此S=a＞0，又S=0（虛擬值），1110令對稱軸n′=5.6，Sn的圖像如圖6所示，其虛擬零點為n=0和n=11.2，因此S0=S11.2=0，又Sn在區(qū)間（5.6，+∞）上單調遞減，因此S11＞S11.2=0且S12＜S11.2=0，所以使Sn＞0的n的最大值為11.

圖7

③當對稱軸n′靠近區(qū)間（5.5，6.5）的右端點時，由得首項-5d＜a＜-6d，則1S1=a1＞0，又S0=0（虛擬值），令對稱軸n′=6.4，Sn的圖像如圖7所示，Sn的虛擬零點為n=0和n=12.8，因此S0=S12.8=0，又Sn在區(qū)間（6.4，+∞）上單調遞減，因此S12＞S12.8=0且S13＜S12.8=0，所以使Sn＞0的n的最大值為12.

綜合①②③可知，使Sn＞0的n的最大值為11或12.

點評：這一解法相對煩瑣，但顯然對學生的抽象概括能力、運算能力、思維能力都能起到很好的鍛煉作用.

探究2：著眼于對稱軸進行分類討論，根據(jù)其位置對Sn的正負變化進行判斷.

①當對稱軸5.5＜n′=k≤6時，有60.5＜11k≤66且66＜12k≤72，因此S11＞0且S12≤0，此時使Sn＞0的n的最大值為11；

②當對稱軸6＜n′=k＜6.5時，有72＜12k＜78且78＜13k＜84.5，因此S12＞0且S13＜0，此時使Sn＞0的n的最大值為12.

綜合①②可知，使Sn＞0的n的最大值為11或12.

點評：這一解法雖然比探究1中的解法更為簡潔，但對于解題者的思維能力和邏輯推理能力卻提出了更高的要求，學生運用此法解題時大多無法達到最終目標.

探究3：著眼于對稱軸落實函數(shù)解法，構造數(shù)列“和”函數(shù)，并對“和”函數(shù)的性質進行研究，最終通過構造不等式對n的取值范圍進行確定.

點評：這是一種思維量、計算量都不大且易于操作的解法，是適合廣大學生的主流解法.

探究4：根據(jù)題意對數(shù)列的正負分界項進行確定可得an＞0且an+1≤0（或an≥0且an+1＜0），根據(jù)等差數(shù)列的性質ap+aq=am+an進行等價轉換，可得Sn＞0且Sn+1≤0（或Sn≥0且Sn+1＜0）.

分析：當且僅當n=6時，S6取得最大值，則公差d＜0，同時a1＞0，a2＞0，a3＞0，a4＞0，a5＞0，a6＞0且a7＜0.

①若a6+a7＞0時，有且所以S＞0的n的最大值為n12；

②若a6+a7≤0時，有且，所以使S＞0的n的最大值n為11.

綜合①②可知，使Sn＞0的n的最大值為11或12.

點評：這一解法更為簡潔，但對解題者的知識儲備要求較高，如ai＞0（i=1，2，3，4，5，6）且a7＜0，另外還要求解題者對等差數(shù)列性質的等價轉換熟練掌握，否則解題就比較困難了.

上述四種探究正好是從四個角度對該題進行解讀，探究1實際上是對該執(zhí)教老師“完美解法”的模仿，只不過相比而言更為深入且全面，問題的本質也在探究1的解讀中獲得了很好的揭示，學生也更容易接受.探究2則是在探究1解法基礎上進行優(yōu)化，著眼于“和式Sn”并對S11、S12、S13的正負進行了逐步的判斷.在探究2的解法上進行優(yōu)化與整合所得的探究3存在著顯著的優(yōu)點，分步判斷的正負得以省略，通過解不等式kdn＞0得以鎖定自變量n的范圍.從探究3的角度出發(fā)并借助等差數(shù)列的性質，得到了探究4中的解法，這一解法更為新穎.對這四種解法進行比較不難發(fā)現(xiàn)，探究3、探究4中的解法相對更為簡短，解題書寫更為容易且清晰，很多學生也更加傾向于這兩種解法.

體會：解決“當n為何值時，使Sn的值最大或最小”或“使Sn＞0（Sn＜0）的n的值最大或最小為多少”一類問題時，通性通法往往是在“完美解法”不足之處的思考上獲得的，對“完美解法”進行去粗存精、整合優(yōu)化的深入探究往往能夠得到更好的解題效果.F