經(jīng)典問題演變拓展，推理素養(yǎng)落地生根
——以一道常見幾何問題的溯源拓展為例

☉北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院 白雪峰

☉北京市第九十七中學(xué) 張彥伶

一、原問題及其深度解析

已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E.

求證：CE=EB.

說明：這是一道常見且優(yōu)秀的平面幾何試題，在多個(gè)版本的幾何習(xí)題集中都出現(xiàn)過，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生鞏固圓的相關(guān)知識(shí)（如“圓中直徑所對(duì)的圓周角等于90°”“切線的性質(zhì)定理”“切線長(zhǎng)定理”等）可以發(fā)揮重要作用.在近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，這道題本身及其逆命題也有過多種花樣翻新的考查.筆者將原問題中的條件和結(jié)論進(jìn)行調(diào)整，可以演變成以下的問題.

圖1

1.回歸教材，溯本求源

人教版九上第101頁(yè)，習(xí)題24.2第6題：如圖2，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°，求∠P的度數(shù).

北京版九上第149頁(yè)，習(xí)題22-1第6題：如圖3，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠ACB=70°，求∠P的度數(shù).

以上兩個(gè)題目無(wú)論是從圖形，還是從已知條件與所求問題來(lái)看，相似度都極高.可能涉及的知識(shí)點(diǎn)包括切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等腰三角形兩底角相等、三角形內(nèi)角和是180°、四邊形內(nèi)角和是360°等.

上述兩個(gè)題目在兩個(gè)版本教材中都出現(xiàn)了，主要原因在于其解法靈活，拓展思路寬泛，是平面幾何解題教學(xué)的優(yōu)質(zhì)載體.下面，筆者就以人教版教材九上第101頁(yè)習(xí)題24.2第6題為例，介紹三種主要解法，并基于三種解法闡述該問題的解題關(guān)鍵，以及與原問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，據(jù)此透視圓背景下幾何教學(xué)的關(guān)鍵所在.

方法1：利用切線性質(zhì)和等腰三角形定義解決問題.

圖2

圖3

由切線的性質(zhì)得到∠OAP=90°.由∠BAC=25°得到∠BAP=65°.由切線長(zhǎng)定理得到△PBA是等腰三角形，則∠ABP=65°.再利用三角形內(nèi)角和是180°求出∠P的度數(shù).

方法2：構(gòu)造“雙垂圖”解決問題.

如圖4，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90°.由切線長(zhǎng)定理可推導(dǎo)出OP⊥AB，則∠1=∠2.由切線長(zhǎng)定理可得△PBA是等腰三角形，所以∠APB=2∠2.

方法3：利用四邊形內(nèi)角和和切線的性質(zhì)解決問題.

如圖5，由已知，在△OAB中求得∠1的度數(shù)，并由切線長(zhǎng)定理，得到∠OAP和∠OBP都是90°，再由四邊形的內(nèi)角和是360°得到∠1和∠P互補(bǔ)，進(jìn)而求得∠P的度數(shù).

上述三種解法都是學(xué)生容易想到的，縱觀解題過程可以看到，主要都是在借助切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)的基礎(chǔ)上重構(gòu)圖形，并在新的圖形結(jié)構(gòu)上綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.由此可見，核心知識(shí)不變的前提下，學(xué)生如何解決問題就在于如何理解圖形，或者說如何重構(gòu)圖形.反之，當(dāng)圖形的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，在原有核心知識(shí)的基礎(chǔ)上，又會(huì)派生出新的知識(shí)內(nèi)容.

圖4

圖5

2.探求本質(zhì)，正本清源

再回到我們的原問題，看看它與兩版本教材出現(xiàn)的習(xí)題之間具有怎樣的聯(lián)系.如圖6：

圖6

從圖6不難看出兩個(gè)題目在圖形上存在差別，但已知條件仍然是已知直徑和兩切線，只是去掉了角度這個(gè)條件，所求變?yōu)樽C明線段相等，即求證CE=EB.由此可見，兩個(gè)題目的核心條件并沒有變化，只是所求不同.那么，如何證明CE=EB呢？

其實(shí)，證明該問題的關(guān)鍵就在于深入認(rèn)識(shí)和理解圖形.事實(shí)上，利用切線和直徑，可得“雙垂圖”，利用“雙垂圖”中角的相等關(guān)系，得到∠1=∠C，利用∠1＋∠2=∠3＋∠4=90°，再由切線長(zhǎng)定理可推導(dǎo)出∠2=∠3，進(jìn)而得到∠1=∠4，最后通過等量代換得到∠4=∠C，所以CE=EB.

當(dāng)然，如果從結(jié)論出發(fā)，解題者關(guān)注的是：當(dāng)CE=EB時(shí)，點(diǎn)E成為線段BC的中點(diǎn)，那么就可以聯(lián)系圖形中已有的中點(diǎn)O，連接OE.若要證明CE=BE，只需證明OE∥AC即可，那么圖形即可變?yōu)閳D7，由切線長(zhǎng)定理可得OE⊥BD，由直徑所對(duì)圓周角是90°可得BD⊥AC，由此便可得到OE∥AC.利用平行線分線段成比例定理，便可得到CE=EB.

基于對(duì)上述問題的深度解析，我們可以看到，與圓有關(guān)的問題解法都比較靈活，原因是結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)，可以靈活地構(gòu)造新圖形，而如何把握核心條件、如何挖掘圖形結(jié)構(gòu)特征并進(jìn)行圖形重構(gòu)或再認(rèn)識(shí)才是教師教學(xué)的重點(diǎn).

圖7

二、問題演變與拓展

1.演變問題，鞏固通法

方法1：如圖9，連接OD.因?yàn)镃D是⊙O的切線，所以O(shè)D⊥CD.

又因?yàn)锽C⊥CD，所以O(shè)D∥BC.

圖8

圖9

又因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D是△ABE的中位線，所以O(shè)D=BE.

方法2：在解法1的基礎(chǔ)上，由OD∥BC，可得△AOD△ABE.

因?yàn)椤鰽OD是等腰三角形，所以△ABE也是等腰三角形，從而證得BE=AB.

方法3：如圖10，由切線的性質(zhì)可得∠ODC=90°，所以∠1＋∠BDC=90°；因?yàn)橹睆剿鶎?duì)圓周角是直角，所以∠2＋∠BDC=90°，所以∠1=∠2.又因?yàn)椤螮＋∠2=90°，∠1＋∠ODA=90°，且∠A=∠ODA，進(jìn)而可推導(dǎo)出∠A=∠E，利用等角對(duì)等邊得到BE=AB.

圖10

當(dāng)然，除上述方法外還有其他解法.這個(gè)題目中，將原題中BC是⊙O的切線這一條件弱化，僅使BC⊥CD，原題中“外垂直內(nèi)等腰”的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為“內(nèi)垂直”，但“外等腰”是否成立，要依據(jù)給出的條件加以推導(dǎo).在解題過程中，起關(guān)鍵作用的是切線構(gòu)造的直角與直徑構(gòu)造的直角仍然存在，并且通過這兩個(gè)條件結(jié)合圓的背景不斷演變，重構(gòu)出新的結(jié)構(gòu).

2.拓展探究，提高能力

已知：如圖11，A1B1、A2B2為⊙O的弦，A1B1//A2B2且A1B1=A2B2，點(diǎn)D在上，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD，分別過點(diǎn)B1、B2作切線PD的垂線，垂足分別為C1、C2，直線A1D、A2D與直線B1C1、B2C2分別相交于點(diǎn)E1、E2.

求證：A1B·1A2B2=B1E·1B2E2.

證明：如圖11，連接OD.

圖11

因?yàn)镻D為⊙O的切線，所以∠ODP=90°，則∠PDA1＋∠A1DO=90°.

連接A1A2.

所以∠A1A2B2=90°.

所以∠A1A2D＋∠1=90°.

因?yàn)镻D為⊙O的切線，所以∠PDA1=∠A1A2D，所以∠1=∠A1DO.

因?yàn)锽1C1⊥PD，所以O(shè)D//B1E1.

所以∠A1DO=∠2，所以∠1=∠2.

因?yàn)锽1C1⊥PD，B2C2⊥PD，所以B1C1//B2C2.

又A1B1//A2B2，所以∠B1=∠B2.

所以△B2A2E2△B1E1A1.

所以A1B1·A2B2=B1E1·B2E2.

說明：在平面幾何圖形中，通過分裂點(diǎn)、分裂特殊線段（如三角形的中線、角平分線、圓的直徑等）、分裂射線、分裂直線等手段都可以發(fā)現(xiàn)并提出新問題、探究新結(jié)論、提煉新方法、獲得新經(jīng)驗(yàn)，從而通過拓展問題達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的數(shù)學(xué)育人目標(biāo).［1］

三、教學(xué)啟示

通過將一個(gè)以圓為背景的平面幾何問題的不斷拓展演變，能給我們的平面幾何教學(xué)帶來(lái)哪些有益的啟示呢？

1.要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的層次性

皮亞杰認(rèn)為：兒童的幾何概念是按照一定的次序和方向發(fā)展的，最初是拓?fù)涞?，然后才是投影的與歐氏幾何的.在皮亞杰這一研究的影響下，后來(lái)的研究者很多都致力于幾何教學(xué)認(rèn)知層次的分析，其中，影響最大的就是范希爾理論.范希爾理論的核心內(nèi)容有兩個(gè)：一是幾何思維的五個(gè)水平；二是與之對(duì)應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段.前者既可以用來(lái)診斷學(xué)生的幾何思維水平，也可用于設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)；后者則提出了一種幾何教學(xué)的模式.［2］由此我們可以看出，學(xué)生幾何學(xué)習(xí)思維水平的起點(diǎn)具有較大的差異，幾何的教學(xué)就要依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的幾何思維水平設(shè)計(jì)符合其認(rèn)知水平的教學(xué)活動(dòng).這方面很多學(xué)者也做了大量的研究，能夠?qū)σ痪€教學(xué)起到借鑒作用的除了剛才講到的范希爾理論五環(huán)節(jié)教學(xué)模式，還有就是以“一題多變”為核心的“題組教學(xué)”或稱“變式教學(xué)”.在這里，教師圍繞題目本身在條件和結(jié)論兩個(gè)方面進(jìn)行演變，形成“一題多變”的形式，以圖形之間“變”與“不變”的相互關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，思考圖形變化過程中引起的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變化，通過有邏輯的變化引發(fā)學(xué)生有邏輯的思考，基于一組問題的解決發(fā)現(xiàn)和提煉知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得不同思維水平的學(xué)生能在不同層次上得到不同的發(fā)展，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理和表達(dá)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

2.要重視促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識(shí)

幾何綜合題的解決是幾何教學(xué)中難度較大的事情，其主要原因是學(xué)生難以從復(fù)雜的幾何圖形中找到基本圖形，并通過有邏輯的分析發(fā)現(xiàn)所求與各基本圖形之間的關(guān)系.

首先，在幾何教學(xué)過程中，教師要重視強(qiáng)化學(xué)生對(duì)圖形的分析，促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識(shí).綜合題無(wú)非是條件之間的關(guān)系隱蔽、圖形復(fù)雜、所求與已知條件之間的邏輯鏈較長(zhǎng).要解決這個(gè)困難，教師可嘗試將大問題切分成小問題，引導(dǎo)學(xué)生通過分析圖形結(jié)構(gòu)來(lái)化繁為簡(jiǎn).比如，在讀題時(shí)，將條件對(duì)應(yīng)到圖形中，一個(gè)條件、一個(gè)條件地分析，挖掘每一個(gè)條件背后隱藏的結(jié)論，并對(duì)所得到的2個(gè)或以上的結(jié)論進(jìn)行再思考，看是否產(chǎn)生新的結(jié)論.這樣，就在分析題目時(shí)將大問題聚焦到某一個(gè)條件上來(lái)，實(shí)現(xiàn)了大化小的目的.

其次，圍繞每一個(gè)條件或所得的結(jié)論，在圖形中找到基本圖形結(jié)構(gòu)，在基本圖形中分析由已知可得的結(jié)論，找到可解決的問題點(diǎn)，將綜合題分解成幾個(gè)小問題，每個(gè)小問題指向不同的任務(wù)，多個(gè)小問題的解決最終促進(jìn)綜合題的解決或者合成綜合題的解決.

再次，對(duì)圖形中添加輔助線的情況，要在添加輔助線之后對(duì)圖形進(jìn)行再認(rèn)識(shí).添加輔助線的目的是重構(gòu)圖形，此時(shí)我們往往更容易關(guān)注此條輔助線添加的直接目的，關(guān)注這個(gè)目的下形成的新的圖形結(jié)構(gòu)，而忽略這條線與其他線段構(gòu)成的新結(jié)構(gòu).所以要引導(dǎo)學(xué)生跳出輔助線添加的直接目的，站在統(tǒng)攬全圖的角度對(duì)圖形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，這時(shí)往往會(huì)有新的收獲.

3.要注重學(xué)生動(dòng)手畫圖與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)有機(jī)結(jié)合

在幾何教學(xué)的過程中，教師還要注重培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力.畫圖的過程是學(xué)生基于對(duì)定理和性質(zhì)的理解，通過實(shí)踐，經(jīng)歷圖形生成的過程.學(xué)生在親歷圖形生成的過程中，感悟到圖形是如何從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，發(fā)現(xiàn)其中隱含的那些促進(jìn)問題解決的基本圖形，學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)會(huì)不斷深刻，思維水平會(huì)逐漸提高.對(duì)于某些題目的解決，教師還可以嘗試不給出圖形，讓學(xué)生通過讀題，理解題目中描述的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為正確的圖形.通過文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形之間的反復(fù)轉(zhuǎn)換，促進(jìn)學(xué)生形成空間意識(shí)，提高圖形分析能力.當(dāng)然，對(duì)于較復(fù)雜的幾何問題，教師還可以通過幾何畫板等技術(shù)手段進(jìn)行演示，動(dòng)態(tài)演示圖形的生成過程，測(cè)量特殊點(diǎn)、特殊位置時(shí)的角度或線段的值，以更加生動(dòng)、直觀的方式分析圖形、認(rèn)識(shí)圖形、利用圖形.另外，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)還為剛才談到的圖形變式提供了動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)的可能，讓學(xué)生反復(fù)觀察圖形變化的全過程，體會(huì)變化過程中的“變”與“不變”，深化學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).

總而言之，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，“圖形與幾何”承擔(dān)了學(xué)生學(xué)習(xí)推理和證明的重要任務(wù).平面幾何教學(xué)中，教師要充分考慮學(xué)生原有幾何思維水平的差異性，注重平面幾何教學(xué)的基礎(chǔ)性、層次性、發(fā)展性，通過題組變式教學(xué)、學(xué)生動(dòng)手畫圖、動(dòng)態(tài)圖形演示等多種途徑，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)剖析圖形結(jié)構(gòu)、把握基本圖形、發(fā)現(xiàn)解題方法、執(zhí)行解題步驟、回顧研究過程、歸納基本思路、提煉基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).［3］

筆者認(rèn)為，在平面幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生最重要的任務(wù)是學(xué)會(huì)用科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言正確地表達(dá)邏輯思維過程.作為數(shù)學(xué)教師，要把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為重要目標(biāo)，改變學(xué)生單純模仿教科書上幾何推理證明的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，善于指導(dǎo)學(xué)生在不斷的觀察、分析、猜想、探索和證明等一系列研究活動(dòng)中，掌握邏輯推理證明的方法，提升幾何問題的分析與解決能力，提高直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).［4］