明辨主元防控錯(cuò)漏，積極踐行“化錯(cuò)教學(xué)”
——對(duì)一道期末把關(guān)題的閱卷與思考

☉江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)丁所初級(jí)中學(xué) 張海華

本地區(qū)九上期末試卷最后一題是一道關(guān)于“好點(diǎn)”的新定義考題，筆者參加了該題的網(wǎng)上閱卷工作，對(duì)這道考題出現(xiàn)的不同解法有了較多的觀察和評(píng)價(jià)，閱卷之后也對(duì)較難的小問(wèn)進(jìn)行了深入思考，本文先梳理出來(lái)，與大家分享、研討.

一、考題及閱卷記錄

考題：（江蘇省海安市九上期末卷，第28題，全卷最后一題）如圖1，點(diǎn)P在直線y=x-1上，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線y=x2于A（a，a2）、B（b，b2）兩點(diǎn)，當(dāng)滿足PA=AB時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)P為“優(yōu)點(diǎn)”.

（1）當(dāng)a+b=0時(shí)，求“優(yōu)點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo).

（2）若“優(yōu)點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)為3，求式子18a-9b的值.

（3）小安演算發(fā)現(xiàn)：直線y=x-1上的所有點(diǎn)都是“優(yōu)點(diǎn)”.請(qǐng)判斷小安的發(fā)現(xiàn)是否正確.如果正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不正確，請(qǐng)舉出反例.

圖1

對(duì)于第（2）問(wèn)，學(xué)生的方法很多，以下提供比較簡(jiǎn)潔的思路.由點(diǎn)P在直線y=x-1上，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）.由PA=AB，得3-a=a-b，整理得2a-b=3，所以18a-9b=9（2ab）=27.

從閱卷情況看，少數(shù)學(xué)生錯(cuò)誤引用第（1）問(wèn)的條件也可求出結(jié)果27，但根據(jù)評(píng)分組研討的意見(jiàn)，這種情況不能得分，因?yàn)檫@說(shuō)明考生沒(méi)有弄清各小問(wèn)之間的強(qiáng)化條件是不可以交叉引用的.

對(duì)于第（3）問(wèn)，先給出命題組預(yù)設(shè)的參考答案.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（k，k-1），結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，a2），當(dāng)PA=AB時(shí)，分析出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2a-k，2a2-k+1）.把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2中，得2a2-k+1=（2a-k）2，整理成關(guān)于a的一元二次方程（即視a為主元），得2a2-4ka+k2+k-1=0.Δ=（4k）2-4×2（k2+k-1）=8（ k-）2+6＞0.所以對(duì)于任意k，總有a使得PA=AB.即直線y=x-1上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).

閱卷過(guò)程中，方法2也給了全分，記錄如下：

方法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x-1），結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，a2），當(dāng)PA=AB時(shí)，分析出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2a-x，2a2-x+1）.把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2中，得2a2-x+1=（2ax）2，整理得x2-（4a-1）x+2a2-1=0.Δ=（4a-1）2-4（2a2-1）=8（ a-）2+3＞0.對(duì)于任意a，總有x使得PA=AB.故直線y=x-1上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).

但是與方法2類(lèi)似的方法3就沒(méi)有得出最后結(jié)果，整理如下：

整理成關(guān)于x的一元二次方程（即視x為主元），得x2+（2b-2）x+2-b2=0.Δ=（2b-2）2-4（2-b）2=8（ b-）2-6＞0.對(duì)于任意b，并不能保證x一定有實(shí)數(shù)根，所以直線y=x-1上的點(diǎn)不一定都為優(yōu)點(diǎn).

究錯(cuò)：方法3與方法2本質(zhì)上是一致的，為什么兩種方法導(dǎo)致不同的判斷呢？讓我們先退回方法2，將其與方法1進(jìn)行比對(duì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，方法2、方法3的問(wèn)題出在主元辨識(shí)不當(dāng).方法2只是運(yùn)算下來(lái)，恰好也出現(xiàn)以x為主元的方程根的判別式大于0；但是若以點(diǎn)B的坐標(biāo)表示點(diǎn)A，仍然運(yùn)用方法2的思路，則會(huì)出現(xiàn)方法3中以x為主元的方程根的判別式并不一定大于0.比如Δ=8（ b-）2-6出現(xiàn)后，就會(huì)導(dǎo)致思路受阻，造成錯(cuò)誤判斷.

比如，我們可以對(duì)方法2做出改進(jìn)，將其所得到的方程整理成關(guān)于a的一元二次方程，得2a2-4xa+x2+x-1=0.Δ=（4x）2-8（x2+x-1）=8（ x-）2+6＞0.所以對(duì)于任意x，總有x使得PA=AB.直線y=x-1上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).

同樣，我們對(duì)方法3做出改進(jìn)，將其所得到的方程整理成關(guān)于b的一元二次方程，得b2-2xb-x2+2x-2=0.Δ=（2x）2-4（-x2+2x-2）=8（ x-）2+6＞0.所以對(duì)于任意x，總有x使得PA=AB，故直線y=x-1上的點(diǎn)均為優(yōu)點(diǎn).

這樣，就看出三種方法中計(jì)算根的判別式，配方出非負(fù)形式的結(jié)果是一致的.

此外，還有個(gè)別考生有如下解法，也是可行的，只是運(yùn)算量陷入繁雜處境，摘抄如下：

二、由考題批閱引發(fā)的教學(xué)思考

1.二次函數(shù)教學(xué)要重視“根的判別式”的價(jià)值

筆者結(jié)合多年畢業(yè)班教學(xué)經(jīng)歷，發(fā)現(xiàn)近些年二次函數(shù)教學(xué)受到有些不良試題（比如以拋物線為背景，實(shí)質(zhì)上是探究平面幾何的復(fù)雜構(gòu)造，與二次函數(shù)及性質(zhì)并不相關(guān)）的影響，訓(xùn)練的方向有些偏差.本文中這道考題以探求新定義“好點(diǎn)”為背景，本質(zhì)上是設(shè)出參數(shù)，并轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)題意準(zhǔn)確選定主元后利用一元二次方程根的判別式來(lái)攻克難點(diǎn).由于平時(shí)這方面的題型訓(xùn)練不足，或?qū)Ω呐袆e式在二次函數(shù)中的重要性認(rèn)識(shí)不足，使得一些復(fù)習(xí)訓(xùn)練出現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，這也提醒我們，在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)根的判別式要有更豐富、更深入的認(rèn)識(shí).

2.含參數(shù)的二次方程要注意引導(dǎo)學(xué)生明辨主元

含參數(shù)的二次方程關(guān)鍵在于明辨主元，選定主元后再計(jì)算根的判別式才能奏效.上文中提到的方法2、方法3，其不足就在于主元辨識(shí)不清，只是方法2中恰好任意的a值也滿足方程x的解，相應(yīng)的，也就是x可以取得任意實(shí)數(shù)解，也能實(shí)現(xiàn)判斷，但這種主元辨識(shí)不清的思路對(duì)方法3就不靈了，因?yàn)椴⒉皇侨我鈈的值都能滿足關(guān)于x的方程.現(xiàn)在可回顧一下這問(wèn)的本質(zhì)就是：b=2a-x，而x、a需要滿足關(guān)系式x2-（4a-1）x+2a2-1=0.盡管變量a、x的范圍是任意實(shí)數(shù)，但是需要組合出現(xiàn)并代入b=2a-x中，從而就使得b的值域不是實(shí)數(shù)集.

3.開(kāi)展究錯(cuò)教學(xué)要從簡(jiǎn)單糾正答案到探究錯(cuò)因

小學(xué)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍老師近年來(lái)倡導(dǎo)的“化錯(cuò)教學(xué)”，從糾錯(cuò)、究錯(cuò)走向融錯(cuò)、化錯(cuò)，也是值得我們初中老師在課堂教學(xué)中積極踐行的.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)我們?cè)谥v評(píng)本文考題的幾種典型錯(cuò)漏時(shí)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與辨析上述方法2、方法3的不足，并指出它們的改進(jìn)意見(jiàn)是基于問(wèn)題條件中哪些關(guān)鍵信息得到的，這些都可以作為課前預(yù)設(shè)，在習(xí)題講評(píng)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生參與進(jìn)來(lái).對(duì)于特別優(yōu)秀的學(xué)生，如果能讓他們自主發(fā)現(xiàn)并診評(píng)這些十分隱蔽的錯(cuò)漏，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是非常有好處的.

三、寫(xiě)在后面

教學(xué)即研究，閱卷即研究，用研究的眼光看待看似枯燥乏味的閱卷工作，收集素材并跟進(jìn)解讀、診評(píng)，并把相關(guān)素材收集起來(lái)作為試卷講評(píng)過(guò)程中的教學(xué)資源，都是值得開(kāi)展研究的.需要說(shuō)明的是，文中觀點(diǎn)與闡釋并不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.

致謝：本文中學(xué)生答題的素材整理、解法研討、后期成文的全過(guò)程都得到海安市教師發(fā)展中心初中數(shù)學(xué)教研員劉東升老師的悉心指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝意！