一題多解“再歸一”，教學(xué)設(shè)計(jì)“重變式”
——以F市一道九年級(jí)圓的綜合題研習(xí)為例

☉江蘇省江陰實(shí)驗(yàn)中學(xué) 薛春燕

各地期末試題出來(lái)之后，一些網(wǎng)站、QQ群里都會(huì)第一時(shí)間轉(zhuǎn)發(fā)一些精品試卷，特別是對(duì)試卷中一些原創(chuàng)“把關(guān)題”（位于試卷中最后位置的較難題）進(jìn)行求解、研習(xí)，筆者恰在某群里，發(fā)現(xiàn)大家對(duì)F市九年級(jí)試卷中一道與圓有關(guān)的綜合題的解法進(jìn)行了探究，說(shuō)法不一，有些認(rèn)為試題設(shè)計(jì)巧妙，鋪墊恰當(dāng)，也有教師認(rèn)為從其他路徑運(yùn)算繁雜，不是好題.本文就先引出這道考題，再跟進(jìn)反思并給出教學(xué)設(shè)計(jì)，供研討.

一、考題及思路突破

考題：（2019年1月F市九上期末卷）如圖1，AB、AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接BE.

（1）求證：BE=BG；

圖1

（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AB交⊙O于點(diǎn)H，若BE的長(zhǎng)等于半徑，BH=4，AC=2，求CE（的長(zhǎng).

思路突破：（1）由同弧所對(duì)圓周角相等，可得∠BAC=∠BEC.結(jié)合垂直的條件，可得∠BFA=∠BDG=∠BDE=90°.∠ABF=∠ABE，于是∠BGD=∠BEC（等角的余角相等），從而BE=BG.

圖2

（2）如圖2，連接OB、OE、AE、CH.由四邊形ABHC內(nèi)接于⊙O，可得對(duì)角互補(bǔ)，即∠ACH+∠ABH=180°，于是∠ACH=90°=∠AFB，從而可 得 BF∥CH.由 BH⊥AB，得∠ABH=90°=∠BDE，則BH∥CD.于是可確認(rèn)四邊形BGCH是平行四邊形，則CG=BH=4.由BE=OB=OE，得△OBE是等邊三角形，則∠BOE=60°.所以∠BAE=∠BOE=30°. 在Rt△ADE中，DE=AE.設(shè)DE=x，則AE=2x.由（1）得BE=BG，結(jié)合AB⊥CD，則DG=DE=x，CD=x+4. 在Rt△ADE中，AD=x. 在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，即（x）2+（x+4）2=（2）2，解得x1=1，x2=-3＜0（舍去），所以DG=1，CE=CG+GD+DE=6.

回顧反思：這道考題真正的難點(diǎn)在第（2）問(wèn)，線段相對(duì)較多，找準(zhǔn)突破的解題方向或目標(biāo)圖形是關(guān)鍵.上面的解法，解題思路是先發(fā)現(xiàn)四邊形BGCH是平行四邊形，瞄準(zhǔn)Rt△ADC，從而構(gòu)造方程，成功求解.上述解法運(yùn)算量不大.以下再給出一種思路，運(yùn)算量偏大，但有利于我們看清這道問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu).

圖3

上述解法在圖3中理解起來(lái)顯得較為繁雜，事實(shí)上可以刪減無(wú)關(guān)線條，適當(dāng)簡(jiǎn)化為以下問(wèn)題：

這樣以上求解就可發(fā)揮作用了.

圖4

命題商榷：從這道考題的不同解法來(lái)看，找準(zhǔn)原考題的思路，運(yùn)算量不大，但是如果走向了其他方向，則運(yùn)算繁雜，且數(shù)據(jù)不太“友好”，容易中途放棄繁雜數(shù)據(jù)，值得命題者慎重打磨這類問(wèn)題.

二、以考題為例的解題教學(xué)設(shè)計(jì)

三、進(jìn)一步的思考

例題呈現(xiàn)：題略，見上文“考題”.

教學(xué)組織：學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘后，應(yīng)該可以安排學(xué)生交流解法或思路進(jìn)展.半數(shù)學(xué)生應(yīng)該能解決第（1）問(wèn)，但第（2）問(wèn)很難在這么短的時(shí)間內(nèi)貫通思路.這時(shí)可“訪談”優(yōu)秀學(xué)生：你們有哪些思路方向，或進(jìn)展如何？并預(yù)設(shè)如下一些鋪墊式問(wèn)題：

鋪墊問(wèn)題1：由條件“BE的長(zhǎng)等于半徑”能解讀出哪些信息？（預(yù)設(shè)：連接OB、OE，可得△BOE是等邊三角形，所對(duì)圓周角都是30°等，再如連接CH、AH后，可得△ACH是含30°角的特殊直角三角形，等等）

鋪墊問(wèn)題2：由條件“BH⊥AB”能解讀出哪些信息？（預(yù)設(shè)：連接AH，可確認(rèn)AH為圓的直徑，連接CH后，可由直徑所對(duì)圓周角為直角，知∠ACH為直角）

鋪墊問(wèn)題3：四邊形BHCG的形狀有什么特殊之處嗎？（預(yù)設(shè)：是平行四邊形）

鋪墊問(wèn)題4：連接AE，得到的直角三角形ADE有什么特殊之處嗎？（預(yù)設(shè)：該直角三角形是含30°的特殊直角三角形）

例題變式：如圖5所示是有公共頂點(diǎn)C的兩個(gè)等邊三角形ABC、CDE，連接AE、BD，得到四邊形ABDE.

（1）判斷四邊形AEBD的對(duì)邊AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

預(yù)設(shè)：AE∥BD.如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為G，交BD于H點(diǎn).在△ACE中，先由“三線合一”證出∠ACG=∠ECG，進(jìn)一步導(dǎo)角，得∠BCH=∠DCH，從而由“三線合一”可證得CH也是BD邊上的高，于是AE∥BD.

圖5

圖6

預(yù)設(shè)：由特殊數(shù)據(jù)可得∠ACE=120°，從而有∠BCD=120°，從而確認(rèn)BD=.

預(yù)設(shè)：由特殊數(shù)據(jù)可得∠ACE=90°，從而有∠CBD=15°，于是把目光聚焦在直角三角形BCH中，構(gòu)造圖形可得BH的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出BD的長(zhǎng).

預(yù)設(shè)：聰明的學(xué)生應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)使得運(yùn)算很繁雜，但正是考題第（2）問(wèn)的“問(wèn)題結(jié)構(gòu)”.

1.教師解題要從一題多解走向多解歸一

教師解題需要思考思路的自然、合理，能否回到定義去解題，同時(shí)要嘗試從不同角度去攻克、貫通解題思路，也就是先要追求一題多解，而不是單一路徑、狹窄通道貫通思路.對(duì)于幾何題，特別要注意一題多解的解題追求.在一題多解的基礎(chǔ)上，還要思考不同解法“殊途何以同歸”，想清不同解法之間的聯(lián)系，條件之間的相通、等價(jià)等聯(lián)系和對(duì)應(yīng)，這樣就達(dá)到了對(duì)問(wèn)題本身的深刻理解，為后續(xù)解題教學(xué)提供了必要的備課保障.在上課、聽課過(guò)程中，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)教師對(duì)有些學(xué)生的解法難以理解，或簡(jiǎn)單干預(yù)、打斷、忽略處理，說(shuō)到底，都是課前教師本人對(duì)問(wèn)題的“一題多解”做得還不夠.

2.回顧反思要揭示問(wèn)題結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)順序

解題研究一個(gè)重要環(huán)節(jié)是回顧反思.在這個(gè)階段，要重視揭示問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，并思考問(wèn)題條件呈現(xiàn)的“序”.具體來(lái)說(shuō)，上文考題第（2）問(wèn)的深層結(jié)構(gòu)就是后面我們?cè)诮忸}教學(xué)設(shè)計(jì)中提供的“例題變式”.而條件呈現(xiàn)的“序”也是非常重要的，有助于我們重新認(rèn)識(shí)問(wèn)題中的眾多條件是如何漸次出現(xiàn)的，很多情況下，解題經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，若畫出的幾何圖形嚴(yán)重不準(zhǔn)，都是因?yàn)閷?duì)條件呈現(xiàn)的“序”辨識(shí)不清、理解不深，如果想清條件、線段是怎樣一步步漸次呈現(xiàn)的，則圖形往往會(huì)比較精準(zhǔn).

3.解題教學(xué)注重為學(xué)生預(yù)設(shè)鋪墊式問(wèn)題

解題教學(xué)時(shí)就題講題往往“入寶山而空返”，回顧反思之后，能提供一些問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，再小結(jié)一些解題策略或模型積累，往往能幫助優(yōu)秀學(xué)生提高“模式識(shí)別”能力.但要幫助更多學(xué)生真正理解問(wèn)題，以便達(dá)到“解一題、會(huì)一類”的效果，還是需要我們精心備課，深入構(gòu)思，預(yù)設(shè)出系列鋪墊式問(wèn)題，從而幫助更多學(xué)生弄懂、弄深、弄透問(wèn)題，并在鋪墊式問(wèn)題的引領(lǐng)之下，獲得解題自信.想來(lái)，這也是所謂“春風(fēng)化雨、潤(rùn)物細(xì)聲”的高品質(zhì)教學(xué)之追求吧.