考卷導(dǎo)向之思：明辨重點(diǎn)，變式教學(xué)，重視究錯
——以海安市七上期末卷三道把關(guān)題為例

☉江蘇省海安市海陵中學(xué) 李海鳳

地區(qū)（縣、區(qū)）期末考試命題一般都是地區(qū)統(tǒng)一命題，試題質(zhì)量一般高于學(xué)校階段命題，有些考題除了檢測區(qū)分功能，還能感受到這些考題對后續(xù)教學(xué)導(dǎo)向的引領(lǐng)作用.本文結(jié)合本地區(qū)七年級上學(xué)期期末試卷的3道把關(guān)題（分別位于選擇、填空、解答題最后一題的位置），回顧學(xué)生答題情況，并進(jìn)行賞析和教學(xué)思考，供研討.

一、七上期末卷3道把關(guān)題賞析

考題1：（第10題）數(shù)軸上原點(diǎn)左邊有一點(diǎn)A，點(diǎn)A對應(yīng)著數(shù)a，有如下說法：

①-a表示的數(shù)一定是一個正數(shù)；②若|a|=9，則a=-9；③在-a、、a2、a3中，最大的數(shù)是a2；④式子的最小值為2.

其中正確的個數(shù)是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

賞析：這道習(xí)題前3個說法在教材上都能找到原型，而作為難點(diǎn)、亮點(diǎn)的式子a+需要舉例驗(yàn)證，得到確認(rèn)；或者在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和一定大于2.同時，該式子在以后八年級時還可以從配方的角度利用完全平方式進(jìn)行解釋，到九年級時可以設(shè)a+=k，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解釋，到了高中階段還可以利用基本不等式進(jìn)行解釋.有數(shù)學(xué)家曾說，好的數(shù)學(xué)具有豐富的發(fā)展，有很多證明方法，并且不同的證法揭示著不同的數(shù)學(xué)分支或領(lǐng)域，在這道考題上，我們看到了這種“味道”.

考題2：（第18題）進(jìn)入初中后，代數(shù)式書寫有一些規(guī)范，比如，教材上指出：“在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號‘×’，通常將乘號寫作‘·’或省略不寫.”其實(shí)還有一些書寫規(guī)范，比如，在代數(shù)式中如果出現(xiàn)除號“÷”，通常用分?jǐn)?shù)線“—”來取代；數(shù)與字母相乘時，一般數(shù)寫在前面.

根據(jù)以上書寫要求，將代數(shù)式（ac×4-b2）÷（4a）簡寫為：____.

賞析與啟示：這道考題放在填空題的最后一題，確有出其不意的驚喜感.大家都知道這是二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式，其本意可能并不是想難住學(xué)生，而是對基本的數(shù)學(xué)書寫習(xí)慣、基本素養(yǎng)的考查，甚至題目中還將代數(shù)式的書寫規(guī)范陳述其中，仍然有些考生“糊涂”.在平時的教學(xué)過程中，有大量的習(xí)題深入探討，卻忽略了基本素養(yǎng).進(jìn)入初中后，學(xué)生由小學(xué)的“數(shù)”向“式”過渡，第一步便是規(guī)范的書寫.在很多平行班級中也有類似的現(xiàn)象，沒有強(qiáng)調(diào)規(guī)范書寫.低年級的教學(xué)應(yīng)當(dāng)基于教材，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書寫格式，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，讓學(xué)生體會到解題中的“數(shù)學(xué)味道”.

考題3：（第26題）如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別對應(yīng)數(shù)a、b，其中a＜0，b＞0.

圖1

（1）當(dāng)a=-2、b=6時，線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是___.（直接填結(jié)果）

（2）若該數(shù)軸上另有一點(diǎn)M對應(yīng)著數(shù)m，

①當(dāng)m=2，b＞2，且AM=2BM時，求代數(shù)式a+2b+20的值；

②當(dāng)a=-2，且AM=3BM時，小安通過演算發(fā)現(xiàn)代數(shù)式3b-4m是一個定值.

老師點(diǎn)評：你的演算發(fā)現(xiàn)還不完整！

請通過演算解釋：為什么“小安的演算發(fā)現(xiàn)”是不完整的？

學(xué)生答題情況：前兩問學(xué)生解答得都比較順利.對于第（2）①問，由m=2，b＞2，且AM=2BM，可得2-a=2（b-2），整理得a+2b=6.所以代數(shù)式a+2b+20的值為26.這個結(jié)果與本題的題號正好對應(yīng)，數(shù)據(jù)也比較“友好”.第（2）問學(xué)生的典型解法是：當(dāng)a=-2，且AM=3BM時，需要分兩種情形.情況1：當(dāng)m＜b時，m-（-2）=3（b-m），整理得3b-4m=2.情況2：當(dāng)m＞b時，m-（-2）=3（m-b），整理得2m-3b=2.綜上，“小安的演算發(fā)現(xiàn)”并不完整.也有不少優(yōu)秀學(xué)生處理“情況2”時，在運(yùn)算得到2m-3b=2之后，繼續(xù)用含b的式表示m，并變形得出4m=4+6b，進(jìn)一步得3b-4m=3b-（4+6b）=-3b-4，并指出由于b是一個變量，所以3b-4m=-3b-4也就不是一個定值，故“小安的演算發(fā)現(xiàn)”并不完整.這種解法在閱卷中也是滿分解答！

此外，也有考生對數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式并不熟悉，但是對數(shù)軸上數(shù)與線段之間的關(guān)系能靈活切換、對應(yīng)，如下面這種解法（這是閱卷過程中掃描答卷時抓拍到的一種精彩解答，如圖2）：

圖2

賞析與啟示：第（1）問體現(xiàn)了對中點(diǎn)坐標(biāo)的考查要求.第（2）問從二等分點(diǎn)走向三等分點(diǎn)再到四等分點(diǎn)，體現(xiàn)了從特殊出發(fā)探究一般的研究方法，適當(dāng)考查分類討論思想.這類數(shù)軸上的動點(diǎn)問題平時練習(xí)很多，但這道考題仍然讓我們耳目一新，這就啟示我們在平時的教學(xué)中，要重視變式教學(xué)，比如，改變條件，改變問題呈現(xiàn)的形式.特別是，師生共同研究問題，組織講評時，教師不要急于給出“標(biāo)準(zhǔn)答案”，應(yīng)多給學(xué)生思考的時間，追問不同的解法，或引導(dǎo)學(xué)生參與評析不同解法，對于一些錯漏解法、不規(guī)范的解法、不完整的解答，教師不要急于幫助其規(guī)范，而要引導(dǎo)學(xué)生參與評析、優(yōu)化.

二、對教學(xué)導(dǎo)向的幾點(diǎn)思考

1.從初中學(xué)段以全局視野明辨初一重點(diǎn)、難點(diǎn)

初中學(xué)段分初一、初二、初三年級，整個初中學(xué)段是一個整體，知識點(diǎn)雖然分散在各個年級、學(xué)期進(jìn)行教學(xué)，但是不少知識或方法是以螺旋上升的方式編排的，深刻理解這種知識體系編排的特點(diǎn)，有利于我們站在初中學(xué)段全局視野來審視和辨析初一年級的教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn).比如，考題1啟示我們，要重視字母表示數(shù)的教學(xué)，即一個字母可以表示任意一個數(shù)，但又要考慮這個字母的取值范圍；考題2啟示我們，關(guān)于用字母表示數(shù)量關(guān)系得到的代數(shù)式，要注意初中階段關(guān)于代數(shù)式書寫規(guī)范的訓(xùn)練，讓學(xué)生在初一上學(xué)期就知道如何簡化、規(guī)范書寫.從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，少數(shù)學(xué)生到了初二、初三，仍然存在代數(shù)式書寫不規(guī)范的現(xiàn)象，這說明在初一上學(xué)期訓(xùn)練還不到位.

2.運(yùn)用變式教學(xué)提升經(jīng)典問題的教學(xué)功能

我們知道，由顧泠沅先生提出并踐行的變式教學(xué)在一線教學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用.富有經(jīng)驗(yàn)的初中數(shù)學(xué)老師往往非常重視變式教學(xué).上文提到的考題1、考題3，都啟示我們平時要注意開展變式教學(xué)，比如，考題1中幾個小題都在教材上有原題，但經(jīng)過變式整合在一個選擇題中，有效考查學(xué)生對字母表示任意數(shù)的綜合理解與靈活運(yùn)用.而考題3則由學(xué)生練習(xí)的很多的一類“網(wǎng)紅題”（近年來以數(shù)軸為平臺的雙動點(diǎn)問題比較流行）簡化改編而來，回歸教材又高于教材，同時拒絕了直接使用“網(wǎng)紅題”，對教學(xué)的導(dǎo)向是，要重視運(yùn)用變式教學(xué)來提升熱點(diǎn)問題、經(jīng)典問題的教學(xué)功能.

3.教學(xué)中要重視生成性資源的捕捉與利用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)教師要重視生成性資源的捕捉與應(yīng)用，即在教學(xué)進(jìn)程中對學(xué)生的一些精彩觀點(diǎn)、錯漏表達(dá)、疑惑之處要及時捕捉，并帶領(lǐng)全班學(xué)生參與討論、評析與優(yōu)化.上文中的考題3正是倡導(dǎo)這種教學(xué)導(dǎo)向，當(dāng)學(xué)生在課堂中或作業(yè)中出現(xiàn)一些不完善的表達(dá)或解法時，老師不要急于給出訂正，而要把這種不完善的問題拋給大家共同思考，把更多學(xué)生的思維卷入到課堂中來，學(xué)會傾聽他人，參與思辨、優(yōu)化，這都是這道考題帶給我們的教學(xué)啟示.