初中數(shù)學(xué)教材中“生活情境”的解讀之道*

☉江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心 浦?jǐn)⒌?/p>

隨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)寫進(jìn)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，相信不遠(yuǎn)的將來，它也會(huì)進(jìn)入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)總是根據(jù)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)匹配的教學(xué)情境，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生的思考，通過情境的“數(shù)學(xué)化”獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，并形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)［1］.課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化與課程內(nèi)容的情境化，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)［2］.可以斷定，關(guān)于情境的研究依然會(huì)是今后一段時(shí)間內(nèi)數(shù)學(xué)研究的熱門話題.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中選取的情境一般有數(shù)學(xué)情境與生活情境兩類［3］.因?yàn)閿?shù)學(xué)情境來自數(shù)學(xué)內(nèi)部，體現(xiàn)知識(shí)之間的前后結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，所以對(duì)數(shù)學(xué)教師而言是顯性的.課堂實(shí)踐表明，教師對(duì)數(shù)學(xué)情境的解讀比較到位.而生活情境來自數(shù)學(xué)外部的生活實(shí)際，體現(xiàn)的是生活中隱含的數(shù)學(xué)，所以對(duì)數(shù)學(xué)教師而言是隱性的.課堂教學(xué)表明，教師對(duì)生活情境的解讀還是非常欠缺的，要么當(dāng)花瓶擺設(shè)，很快滑過，要么抓旁枝末節(jié)，不達(dá)本質(zhì).所以非常有必要對(duì)生活情境的解讀做一番研究.下面以蘇科版九下“第7章銳角三角函數(shù)7.1正切”的生活情境為例，說明初中數(shù)學(xué)教材中生活情境的解讀之道.

一、數(shù)學(xué)教材中的生活情境

如圖1，某體育館為了方便觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階.

1.在圖2中，哪個(gè)臺(tái)階更陡？

圖1

圖2

2.在圖3中，哪個(gè)臺(tái)階最陡？你是如何判斷的？

圖3

3.比較圖4中的兩個(gè)臺(tái)階，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4

二、生活情境的解讀之道

現(xiàn)行蘇科版初中數(shù)學(xué)教材上的生活情境，絕大部分既有情境又有問題，但有的只有情境沒有初始問題，如正切的生活情境就不含初始問題.對(duì)于第二類，我們首先要根據(jù)生活情境創(chuàng)設(shè)一個(gè)指向本課研究核心的初始問題.如針對(duì)“某體育館為了方便觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階”的生活情境，我們可以先設(shè)計(jì)如下的初始問題.

初始問題：某體育館為了方便觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺(tái)階.如果坡度太平，會(huì)影響后面觀眾的視線，而且需要體育館有更大的面積，如果坡度太陡，觀眾觀看時(shí)存在安全隱患.因此，臺(tái)階的坡度成了設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.那么，坡度由什么決定呢？

1.從情境走向問題——借助生活現(xiàn)實(shí)解讀

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)［4］，主要包括生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)三方面.學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)總是基于已有的上述現(xiàn)實(shí)，生活情境中的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生理解初始問題，對(duì)初始問題做出最初的直觀判斷，從而把學(xué)生逐步引向數(shù)學(xué)思維的正確軌道上.如上述生活情境，我們可以給出如下借助生活現(xiàn)實(shí)的解讀，幫助學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，走向要探究的問題.

解讀1：圖5中的兩個(gè)臺(tái)階哪個(gè)更陡？

圖5

對(duì)于數(shù)學(xué)中的坡度，學(xué)生還不是十分清楚它的內(nèi)涵，但生活中臺(tái)階的陡學(xué)生是有經(jīng)驗(yàn)的，如圖5，學(xué)生很快就可以得出第二個(gè)臺(tái)階陡的結(jié)論，進(jìn)而得出“坡度可以由傾斜角來決定！臺(tái)階的傾斜角度越大，臺(tái)階越陡；臺(tái)階的傾斜角度越小，臺(tái)階越平”的結(jié)論.

2.從生活走向數(shù)學(xué)——完成數(shù)學(xué)抽象解讀

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.數(shù)學(xué)抽象包括從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征等［2］.生活情境不是數(shù)學(xué)，透過生活現(xiàn)象抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)化過程才是情境的要義.如上述生活情境，我們可以給出如下完成數(shù)學(xué)抽象的解讀，幫助學(xué)生從生活現(xiàn)象走向真正數(shù)學(xué).

解讀2：（1）圖中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是如何判斷的？

圖6

如果沿用上面傾斜角的視角可以直觀判斷出第二個(gè)臺(tái)階比第一個(gè)臺(tái)階陡；也可以把第一幅圖中的三角形平移到第二幅圖1中去，顯然由數(shù)學(xué)知識(shí)全量角大于部分角，得出第二個(gè)臺(tái)階陡；如果不借助生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)平移，我們只能借助高度與寬度，可以得出“坡度也可以由垂直高度與水平距離一起確定！當(dāng)水平距離相同時(shí)，垂直高度越高，臺(tái)階越陡；垂直高度越小，臺(tái)階越平”的結(jié)論.如果只有垂直高度或水平距離一個(gè)量，能確定坡度嗎？顯然不行.

（2）圖7中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是如何判斷的？

圖7

仿上可以得出“坡度也可以由垂直高度與水平距離一起確定！當(dāng)垂直高度相同時(shí)，水平距離越短，臺(tái)階越陡；水平距離越長，臺(tái)階越平”的結(jié)論.

（3）圖8中哪個(gè)臺(tái)階最陡？你是如何判斷的？

圖8

由上述（1）和（2）可知，第二個(gè)臺(tái)階最陡.得出“坡度也可以由垂直高度與水平距離一起確定”的結(jié)論，那么這兩者又是如何一起確定這個(gè)坡度的呢？通過和差積商進(jìn)行嘗試，得出由垂直高度與水平距離之比確定.

（4）圖9中哪個(gè)臺(tái)階更陡？你是如何判斷的？

圖9

這兩個(gè)臺(tái)階的坡度直接借助傾斜角大小判斷有點(diǎn)難度；直接借助垂直高度與水平距離確定也有一點(diǎn)難度；把問題抽象成數(shù)學(xué)，就是要比較兩個(gè)直角三角形的相應(yīng)銳角，如果把第一幅圖中的三角形平移進(jìn)第二幅圖中，可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)三角形構(gòu)成兩邊對(duì)應(yīng)成比例并且夾角相等的相似形，因此得到對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而這兩個(gè)臺(tái)階坡度一樣.

綜上所述，臺(tái)階的坡度可以直接借助傾斜角大小進(jìn)行比較，傾斜角越大，臺(tái)階越陡；臺(tái)階的坡度也可以借助垂直高度與水平距離之比來確定，比值越大，臺(tái)階越陡.

3.從數(shù)學(xué)走向本質(zhì)——利用邏輯推理解讀

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).從生活問題走到數(shù)學(xué)問題之后，數(shù)學(xué)要向前繼續(xù)發(fā)展主要依靠數(shù)學(xué)的邏輯推理.如上述生活情境，我們借助生活現(xiàn)實(shí)、完成數(shù)學(xué)抽象后，就可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部視角進(jìn)一步解讀，引向問題的深處與數(shù)學(xué)本質(zhì).

解讀3：上述五個(gè)問題，如果我們抽象成數(shù)學(xué)問題，相當(dāng)于在研究一個(gè)直角三角形的問題.關(guān)于直角三角形，我們已經(jīng)研究了什么呢？

（1）關(guān)于角：內(nèi)角和、兩銳角互余；（2）關(guān)于邊：三邊不等關(guān)系、周長、面積、勾股定理、斜邊上的中線；（3）你還知道什么？你覺得對(duì)于一個(gè)直角三角形，還能研究什么？

在Rt△ABC中，∠A一旦確定，坡度就確定了.∠A越大，坡度越陡，∠A越小，坡度越小.同樣，在Rt△ABC中，a、b一旦確定，坡度也就確定了.說明∠A與a、b背后必定存在著聯(lián)系！而這正是剛才我們所猜測(cè)的還可以研究直角三角形邊與角之間的關(guān)系.下面就可以圍繞著∠A確定、也確定，∠A變化也隨之變化，展開銳角三角函數(shù)定義的教學(xué).

生活情境源于學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，指向數(shù)學(xué)的本質(zhì)探究.所以，任何一個(gè)生活情境的解讀都必須體現(xiàn)借助生活現(xiàn)實(shí)、完成數(shù)學(xué)抽象、利用邏輯推理這三大過程，這也是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生活情境的解讀之道.從情境走向問題的生活現(xiàn)實(shí)告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)來源于生活實(shí)際，提醒學(xué)生要時(shí)時(shí)處處關(guān)注來源于自然社會(huì)中的現(xiàn)象與問題，處處留心皆數(shù)學(xué).從生活走向數(shù)學(xué)的抽象，可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.從數(shù)學(xué)走向本質(zhì)的邏輯推理是數(shù)學(xué)知識(shí)形成的重要手段，更是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界的必經(jīng)之路.知識(shí)形成后的運(yùn)用與應(yīng)用等數(shù)學(xué)建模，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界素養(yǎng)的養(yǎng)成.由此可見，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的方方面面，貫徹于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程之中.