建模教學(xué)：剖析關(guān)鍵詞，建構(gòu)關(guān)系式
——基于一個(gè)引入問題建模教學(xué)的感悟

☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 周軍蓮

數(shù)學(xué)建模是“根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果解決實(shí)際問題”，它是初中生需要著力發(fā)展的核心素養(yǎng)之一，因而建模教學(xué)也應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.那么，建模教學(xué)的著力點(diǎn)在哪兒呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)以問題情境的深入剖析為抓手.而深入剖析的最根本方法就是“摳字眼”，即深入分析例題中的關(guān)鍵詞，明晰其含義并抽象出相關(guān)數(shù)學(xué)模型，形成問題解決的常用策略.這個(gè)模型建構(gòu)的過程，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展是十分有效的，值得推廣.本文擬結(jié)合一道教材新課引入題的教學(xué)歷程，談?wù)劰P者對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的感悟，供大家參考.

一、引入題分析

1.引入題呈現(xiàn)

問題：一輛勻速行駛的汽車在11：20時(shí)距離A地50km，要在12：00之前駛過A地，車速應(yīng)滿足什么條件？

2.引入題分析

（1）教學(xué)背景.

在人教版教材中，本題是“9.1.1不等式及其解集”的引入問題.在本節(jié)課之前的一個(gè)單元，教材安排的是二元一次方程組，重點(diǎn)探索了二元一次方程組的解法及其應(yīng)用，其間，學(xué)生先后獲得了方程（組）的恒等變形、規(guī)整簡化、變形求值等知識(shí).這些知識(shí)的獲得，不僅為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)鋪墊，還為探索不等式及其相關(guān)知識(shí)積累了寶貴的經(jīng)驗(yàn)，這些無疑為學(xué)生順利從引入問題中建構(gòu)出新的數(shù)學(xué)模型——不等式，并探索其解、解集鋪平了道路.

（2）解題方法.

（3）教學(xué)預(yù)期.

對(duì)于這個(gè)引入問題，教材預(yù)設(shè)的流程是基于問題情境先建構(gòu)出（2）中的兩個(gè)不等式.然后，結(jié)合不等式②對(duì)x進(jìn)行特殊取值，引出不等式的解.教材通過對(duì)多個(gè)滿足不等式的x的值的討論，逐步確定使不等式成立的x的范圍，從而明確不等式的解集.整個(gè)教學(xué)過程中，兩個(gè)不等式的建構(gòu)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).教學(xué)時(shí)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)分析題目中的關(guān)鍵詞，在文本含義明晰的過程中努力從文本中抽象出代數(shù)式，并把“12：00之前駛過”轉(zhuǎn)化為用“＜”或“＞”表示的數(shù)學(xué)模型——不等式，從而為下一步探究其解及解集掃清障礙.

二、教學(xué)歷程及簡析

1.教學(xué)簡錄

教師首先投影問題，讓學(xué)生自己嘗試找出解決問題的思路.大約3分鐘后，不少學(xué)生舉手示意已經(jīng)找到思路，教師立即組織學(xué)生全班交流.

師：題目中給出了哪些量？

生1：路程50km，時(shí)間40分鐘.

師：你是怎么得到40分鐘的？

生2：11：20到12：00恰好是40分鐘.

師：對(duì)，時(shí)間為40分鐘.那么，現(xiàn)在知道了路程和時(shí)間，還差什么？

生3：速度.

師：探索“車速應(yīng)滿足的條件”，這恰好是題目提出的要求.你們準(zhǔn)備怎么辦？

生4：設(shè)車速為xkm/h，然后想辦法列式表示題目中的關(guān)系.

師：好的，你給出的這個(gè)速度單位與題目中給出的單位一致嗎？

生5：不一致.

師：該怎么辦？

生（齊）：轉(zhuǎn)化唄！

師：轉(zhuǎn)化結(jié)果是多少？

師：好的，在設(shè)出未知數(shù)，并順利進(jìn)行單位轉(zhuǎn)化后，接下來就應(yīng)該根據(jù)題中的語句抽象出關(guān)系式了.本題應(yīng)該抓住哪句話探索關(guān)系式呢？

生7：12：00前駛過A地.

師：這句話什么意思？

師：你得到的式子是什么？

師：對(duì)于“12：00前駛過A地”，還可以怎么理解？

師：如何列式表示？

……

2.過程簡析

教師引導(dǎo)學(xué)生從已知量入手，分析題中已經(jīng)給定的數(shù)量，知道其中的50km是路程，而11：20到12：00之間的40分鐘是汽車的行駛時(shí)間.接下來，便是對(duì)速度展開探索，教師用“你們準(zhǔn)備怎么辦”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過設(shè)未知數(shù)，建構(gòu)含未知數(shù)的關(guān)系式來解決問題.在學(xué)生將速度和時(shí)間中的單位進(jìn)行統(tǒng)一后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“12：00前駛過A地”進(jìn)行深入分析.由于探索的是“車速應(yīng)具備的條件”，學(xué)生抓住路程和時(shí)間從兩個(gè)角度分別對(duì)這句話進(jìn)行分析，得出了“h行駛的路程超過50km”和“行駛50km所用的時(shí)間不足h”的結(jié)論，進(jìn)而依托這兩個(gè)結(jié)論抽象出不等式①和②.整個(gè)教學(xué)過程，教師引導(dǎo)學(xué)生從給定的文本出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐字逐詞分析，努力在已知與未知之間搭建問題解決的路徑，為下一步探索鋪平道路，實(shí)現(xiàn)了很好的教學(xué)效果.

三、教學(xué)感悟

1.逐字分析，鋪平數(shù)學(xué)模型建構(gòu)路

讀懂題目是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ).因而，建模教學(xué)應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生逐字逐詞逐句分析題目的能力出發(fā)，使學(xué)生在對(duì)題目深入解讀的基礎(chǔ)上找到可以抽象數(shù)學(xué)模型的路徑，從而實(shí)現(xiàn)模型建構(gòu)能力、分析問題能力的同步提升.因此，課堂教學(xué)中，我們應(yīng)注重對(duì)學(xué)生讀題能力的培養(yǎng)，通過逐字逐句的分析示范，打通文本符號(hào)與數(shù)學(xué)模型之間的通道，從而不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.在本文中的例題教學(xué)中，教師就是在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題逐字逐詞分析中找到相應(yīng)的關(guān)系式的.這樣的逐字分析能力正是在本學(xué)段前期學(xué)習(xí)一元一次方程和二元一次方程組時(shí)獲得的，如果學(xué)生不具備這樣的分析能力，兩種不等式的得出就較為困難，而經(jīng)歷了本題的探索后，學(xué)生對(duì)行程問題中的不等關(guān)系又有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，其從實(shí)際情境中建構(gòu)不等式的能力又將得到一定程度的提升.

2.及時(shí)抽象，推動(dòng)解讀成果數(shù)學(xué)化

很多數(shù)學(xué)問題中都蘊(yùn)含著豐富的生活情境.生活情境與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系雖然緊密，但如果不進(jìn)行及時(shí)、有效的抽象，問題的探索永遠(yuǎn)停留在實(shí)際情境中，我們是無法用所學(xué)的知識(shí)和方法加以解決的.因而，在建模教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)把發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表示出來，形成真正的教學(xué)化模型.只有這種基于詳實(shí)分析之上的即時(shí)抽象，才能讓學(xué)生的抽象思維形成真正的成果，從而走在正確的解決問題之路上.還是說說本節(jié)課上的兩個(gè)不等式吧，無論是不等式①，還是不等式②，都是源于學(xué)生所得出的對(duì)文本“12：00前駛過A地”進(jìn)行解讀的結(jié)果.教師追問“可以怎樣列式”，恰到好處引著學(xué)生去抽象不等式，這必將推動(dòng)學(xué)生獲得的文本分析成果的數(shù)學(xué)化.

3.致敬經(jīng)典，強(qiáng)化教材例題實(shí)踐化

數(shù)學(xué)建模教學(xué)，例題選擇是十分重要的.例題可以來自于教師的自主設(shè)計(jì)，也可以取材于現(xiàn)成的教學(xué)資料，而教材是教師進(jìn)行教學(xué)的重要工具，其給出的例題堪稱道道經(jīng)典.因而，用好教材例題無疑給建模教學(xué)省去不少麻煩.在日常教學(xué)過程中，教師一定要注意教材例題價(jià)值的深度挖掘.通過深度解讀，在真正理解例題的基礎(chǔ)上，教師才能找出那些有利于學(xué)生發(fā)展的教材例題，使之成為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)點(diǎn)，形成促進(jìn)師生教學(xué)相長的起點(diǎn).回到本文，筆者所選的例題就來自于教材，是教材編排課時(shí)教學(xué)的唯一例題，筆者在教學(xué)過程中不僅用了教材中的這道例題，而且將教材例題的預(yù)設(shè)流程進(jìn)行了較好的教學(xué)應(yīng)用，使之成為全課教學(xué)情境引入、探索新知、鞏固應(yīng)用的唯一問題，貫穿于教學(xué)始終.這種對(duì)教材經(jīng)典例題的尊重是教師解讀教材的成果，很好地詮釋了“用教材教”的內(nèi)涵.