建模教學(xué)要突出“建”的過程
——以浙教版八上“3.3一元一次不等式（3）”為例

☉浙江省寧波市四眼碶中學(xué) 潘小梅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想，建模的過程是形成模型思想的主要途徑.那么，如何在日常教學(xué)中一以貫之地培育學(xué)生的建模能力，發(fā)展學(xué)生的建模思想呢？我在方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)模型中進行了有意的嘗試，現(xiàn)以浙教版八年級上冊“3.3一元一次不等式（3）”，即一元一次不等式應(yīng)用題教學(xué)為例，和各位同行交流、研討.

一、備課中的相關(guān)思考

浙教版八年級上冊第三章一共4節(jié)，第1節(jié)介紹不等式的概念，第2節(jié)介紹不等式的基本性質(zhì)，第3節(jié)共分為3課時，前面2課時介紹不等式的解法，第3課時是一元一次不等式的應(yīng)用，第4節(jié)是不等式組的概念及其解法.因此，在學(xué)習(xí)一元一次不等式的應(yīng)用之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的概念及其解法，本課時的主要任務(wù)是建立一元一次不等式解決問題.從教材來看，本課時主要有兩塊內(nèi)容，分別是以電梯運貨為背景提出兩道思考題和一道例題及其解答.如果僅從做題的視角來看，本節(jié)課15分鐘就可以完成.但是，怎樣讓學(xué)生在解決這些問題的過程中形成模型思想，遷移解決別的問題，這是我們進行建模教學(xué)的根本.正是基于這樣的思考，我在備課中思考了以下幾個問題：

問題1：什么是數(shù)學(xué)模型？

“數(shù)學(xué)模型”是一個含義很廣的概念，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程及由此構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化能近似解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段.本課需要建立的是一元一次不等式模型，即用不等式詮釋生活中的不等關(guān)系.

問題2：關(guān)于建模，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是什么？

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)接觸過大量的數(shù)學(xué)模型，如在加法運算中接觸了生活中的加法等各種運算模型，與一元一次不等式模型聯(lián)系緊密的是一元一次方程模型.在一元一次方程模型中，課本用天平形象地表明了同一種屬性的兩個量之間的等量關(guān)系.我認為，可以類比天平用蹺蹺板形象地表示不等關(guān)系，在同一種屬性的兩個量之間建立不等關(guān)系.

問題3：建模教學(xué)一般有怎樣的過程？

建模教學(xué)應(yīng)該是一個潤物細無聲的過程，是一個自然發(fā)生慢慢浸透的過程.所以，我們杜絕采用告知、灌輸?shù)确绞?，而是通過數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在參與活動的過程中經(jīng)歷、感悟、體會，在過程中形成模型思想.因此，本課的電梯運貨情境可以從原來的平面文字轉(zhuǎn)化為立體化情景呈現(xiàn)，以有利于學(xué)生感悟建模的必要性.

問題4：本課的教學(xué)目標(biāo)是什么？

通過本課的教學(xué)，要掌握運用一元一次不等式建立模型的方法，還要讓學(xué)生在經(jīng)歷建模的過程中感悟模型思想，體會抽象、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本課教學(xué)的重點是建立一元一次不等式解決問題，難點是怎樣讓學(xué)生在建模的過程中形成模型思想.

二、教學(xué)過程

1.情景展現(xiàn)，感受建模的必要性

師：同學(xué)們，在生活中，我們曾經(jīng)碰到這樣的情景：（屏幕出示問題）如圖1，兩名賓館服務(wù)員要用電梯把一批貨物從底層搬到頂層，他們把一部分貨物搬上電梯時，發(fā)現(xiàn)電梯指示燈顯示綠色.于是，他們繼續(xù)搬入一箱箱貨物（動畫演示貨物搬運），現(xiàn)在的問題是，怎樣知道電梯能運幾箱貨物呢？

生1：直到電梯指示燈從綠色變?yōu)榧t色，然后數(shù)一數(shù)一共有幾箱.

圖1

師：直到電梯指示燈顯示紅色，很多人都是這么想的！但是貨物有一堆，用這種方法很容易數(shù)錯.作為學(xué)過數(shù)學(xué)的你們，想想看，還有沒有其他的方法可以確定電梯能運幾箱貨物呢？

生2：老師，要知道電梯的額定限載量和一箱貨物的質(zhì)量.

師：好！假設(shè)電梯的額定限載量為1000千克，每箱貨物的質(zhì)量為50千克.

生3：因為要卸貨，還要考慮跟著貨物上電梯的兩個人的質(zhì)量.

師：想得周到！假設(shè)兩個人的質(zhì)量分別為60千克、80千克.現(xiàn)在能估算運送幾箱嗎？

生4：因為人和貨物的總質(zhì)量不能超過電梯的額定限載量，所以得到50x+60+80＜1000.

師：非常好！我們解得x＜17.2，這說明最多能運送17箱.看來，運用數(shù)學(xué)工具可以快捷、精確地解決問題！

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段把課本中用文字表述的電梯運貨問題以情境的方式再現(xiàn)過程，把課本中告知學(xué)生的數(shù)據(jù)“電梯額定限載量、貨物質(zhì)量、賓館服務(wù)生的質(zhì)量”讓學(xué)生以問題解決需要的方式呈現(xiàn)，凸顯問題解決的意識，讓學(xué)生感受建立不等式模型的必要性.

2.抽象提煉，形成雛形

師：現(xiàn)在如果將電梯的額定限載量用w千克表示，貨物的質(zhì)量用p千克表示，賓館服務(wù)生的質(zhì)量用m、n千克表示，要運送x箱，那么，x、m、n、p、w這些量之間應(yīng)該具有什么關(guān)系？（用字母是為了保證學(xué)生不用算術(shù)計算，滲透模型思想）

生5：w＞px+m+n.

師：之前我們從天平聯(lián)想到方程，現(xiàn)在看到這個不等式，我想到了蹺蹺板：如圖2，你覺得蹺蹺板下壓的一端表示什么？上翹的一端又表示什么？

生6：下壓的一端表示電梯的限重，上翹的一端表示實際質(zhì)量.

師：在這里，我們比較了兩個量就得到一個不等關(guān)系，只要知道其中的一些數(shù)據(jù)就可以很方便地進行計算.

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段把具體的數(shù)字一般化，用字母表示，體現(xiàn)模型思想.接著由天平聯(lián)想到蹺蹺板，并把蹺蹺板作為不等關(guān)系的現(xiàn)實模型，形象地展示了不等關(guān)系，提煉了不等關(guān)系的雛形.

圖2

3.自主嘗試，初步感悟

師：現(xiàn)在有這樣一個問題，請你們自主嘗試解決：（屏幕顯示圖3）

2位老師帶了40個學(xué)生去參觀植物園

圖3

生7：（算術(shù)方法）50×16=800（元），42×20=840（元）.

師：看來想當(dāng)然的事情并非想當(dāng)然！懂點數(shù)學(xué)還能幫我們省錢！那么，人數(shù)至少是多少時，這樣買合算呢？

生8：設(shè)學(xué)生人數(shù)為x時，買50張合算，即16×50＜20（x+2），解得x＞38.

師：這里，不等號的左邊、右邊分別表示什么？

生9：左邊是買50張所付的款，右邊是按實際人數(shù)付的款.

師：同樣都是買票錢款，所以可以比較大?。≌埻瑢W(xué)們想一想，在什么情況下，我們會想到用不等式模型解決？你能畫出蹺蹺板的左、右端分別表示什么嗎？

生10：比較兩個數(shù)量之間的大小關(guān)系時會想到用不等式模型解決.如圖4，蹺蹺板上翹的一端是買50張所付的優(yōu)惠款，另一端是按實際人數(shù)付的款.

師：運用不等式建立關(guān)系可以解決許多問題，讓我們繼續(xù)看看哪些問題也可以用不等式解決.

設(shè)計意圖：有了前面電梯運貨問題的體驗，本教學(xué)片段以風(fēng)景區(qū)買票問題為背景引發(fā)互相沖突的對話，讓學(xué)生進一步感悟用不等式建立模型解決問題的必要性，初步感悟不等關(guān)系是對同一個量的大小關(guān)系進行比較.

4.練習(xí)體悟，理解模型

師：現(xiàn)在，請大家一起看以下問題：（要求學(xué)生畫出不等式模型，不需求解）

圖4

實際問題 數(shù)量關(guān)系 列不等式1已知一種卡車每輛至多能載3噸貨物，現(xiàn)需一次運走100噸黃豆，設(shè)需要卡車x輛，則x滿足的關(guān)系是___________.2一輛勻速行駛的汽車在11：00距離A地200km，要在14：00之前到達A地，車速v（km/h）滿足的關(guān)系是_________.3國慶節(jié)17人外出旅游，租用3人座和5人座游船共4只，設(shè)3人座游船x只，則x滿足的關(guān)系是______.

生11：如圖5，數(shù)量關(guān)系是能夠運載的質(zhì)量大于實際運載的質(zhì)量，得到不等式3x≥100.

圖5

圖6

生12：如圖6，數(shù)量關(guān)系是駕駛路程大于應(yīng)有路程，得到不等式3v≥200.

師：關(guān)于這個不等關(guān)系，還有其他不同列法嗎？

圖7

圖8

師：對同一個意義的量進行比較可以得到不同的不等式.第3題怎樣寫？

生15：如圖9，對能載客的人數(shù)和實際人數(shù)作比較，可以得到不等式3x+5（4-x）≥17.

師：從圖5到圖9這些蹺蹺板模型中，你發(fā)現(xiàn)怎樣的兩個量可以比較大小？

生16：同意義的、同單位的兩個量可以互相比較.

師：很好！對于同一種意義的兩個量，根據(jù)題意要求可以建立不等關(guān)系，要特別注意把比較的兩個量化為同單位的兩個量.

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段用三個練習(xí)詮釋不等關(guān)系的建立方法，3個練習(xí)各采用不同的量，練習(xí)1是質(zhì)量的比較，練習(xí)2是距離、速度、時間的比較，練習(xí)3是人數(shù)的比較，量綱不同，但同一個量都可以進行比較.只要求學(xué)生利用蹺蹺板列出不等式，不需解不等式，是為了強化對不等式數(shù)量關(guān)系的理解.

5.共研例題，運用模型

師：請大家閱讀課本例題，先嘗試自己獨立思考解決，也可以一起合作討論.

例有一家庭工廠投資2萬元購進一臺機器，生產(chǎn)某種商品.這種商品每個的成本是3元，出售價是5元，應(yīng)付的稅款和其他費用是銷售收入的10%.問：至少需要生產(chǎn)、銷售多少個這種商品，才能使所獲利潤（毛利潤減去稅款和其他費用）超過投資購買機器的費用？

生17：本題的數(shù)量關(guān)系是：利潤超過投資購買機器的費用，其中利潤是毛利潤減去稅款和其他費用，因此可以建立不等關(guān)系.

師：如何設(shè)未知數(shù)呢？

生18：設(shè)至少需要生產(chǎn)、銷售x個這種商品，才能使所獲利潤超過投資購買機器的費用.

師：其他同學(xué)有意見嗎？

生19：我覺得應(yīng)該去掉“至少”兩個字，因為這是某個確定的值.

師：講得好！請大家參看書本解題過程：

解：設(shè)生產(chǎn)、銷售這種商品x個，則所得利潤為（5-3-5×10%）x元.

由題意得（5-3-5×10%）x＞20000.

解得x＞13333.3…

答：至少要生產(chǎn)、銷售這種商品13334個.

師：同學(xué)們，回顧一下：列不等式解實際問題具有怎樣的過程？

圖9

師生共同歸納如下（如圖10）：

練習(xí)：某業(yè)主貸款2.2萬元購進一臺機器，生產(chǎn)某種產(chǎn)品.已知產(chǎn)品的成本是每個5元，售價是每個8元，應(yīng)付的稅款和其他費用是售價的10%.若每個月能生產(chǎn)、銷售2000個產(chǎn)品，問：至少幾個月后能賺回這臺機器的貸款？

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段的例題和練習(xí)讓學(xué)生自主閱讀和思考，運用前面獲得的經(jīng)驗解決問題.這里教師對學(xué)生容易發(fā)生錯誤的設(shè)未知數(shù)問題進行了提醒.

圖9

6.總結(jié)提煉，內(nèi)化思想

師生共同小結(jié)：在生活中，當(dāng)我們要比較或確定兩個量之間的大小關(guān)系時，常常會選擇不等式模型（出現(xiàn)蹺蹺板），建立不等式解決問題.在這里我還想到了許多不等關(guān)系在一定條件下能夠互相轉(zhuǎn)化.比如滴水能夠穿石，一滴柔軟的水的力量遠遠小于堅硬的石頭的力量，但是長此以往，卻能穿透堅硬的石頭.還聽說過“千里之堤，潰于蟻穴”，告訴我們小錯誤可能造成大損失！所以，正像荀子說的，“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！薄板浂簧幔鹗社U”送給四眼碶中學(xué)1911班的你們，愿你們堅持努力，成為“金石”！

設(shè)計意圖：梳理建立模型的方法是對同一個量進行大小比較.從不等關(guān)系聯(lián)想到生活中不等量之間的轉(zhuǎn)化，將這種不等關(guān)系折射的哲理滲透進學(xué)生的思想中，讓學(xué)生的情感得到升華.

圖10

三、關(guān)于建模教學(xué)的思考

1.合適的問題（或問題情境）是學(xué)生經(jīng)歷建模過程的保障

數(shù)學(xué)模型是高度概括的產(chǎn)物，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想.在這里，現(xiàn)實生活或具體情境就是模型提煉的載體，合適的載體有利于學(xué)生在問題解決的過程中形成數(shù)學(xué)模型.如本課教學(xué)中，需要學(xué)生提煉的數(shù)學(xué)模型是不等式，在現(xiàn)實生活中表現(xiàn)為兩個具有同樣意義的量之間的大小比較.電梯運貨和購買門票這兩個問題既是學(xué)生身邊常見的現(xiàn)實問題，又能由學(xué)生的生活經(jīng)驗得到電梯運載量少于電梯限載量，購買門票費用便宜指的是花費總額少，是表示不等關(guān)系的合適問題.在創(chuàng)設(shè)問題和問題情境時，我們可以根據(jù)模型賦予學(xué)生熟悉的現(xiàn)實意義，避免生澀難懂，脫離學(xué)生現(xiàn)實.

2.設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過程

問題（或問題情境）是學(xué)生參與建?；顒拥妮d體，要讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，需要教師組織有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程.筆者認為，建模的一般過程是：提煉模型→識別模型→理解模型→運用模型.提煉模型就是把實際問題數(shù)學(xué)化并獲得解決，識別模型的過程就是讓學(xué)生在適當(dāng)?shù)淖兪角榫持懈形蚰Ｐ吞卣?，理解模型的過程就是充分理解模型的由來方法，運用模型可以理解為數(shù)學(xué)模型回歸現(xiàn)實生活.如本課教學(xué)中，通過電梯運貨感悟模型的必要性并提煉出形象表示不等關(guān)系的蹺蹺板模型，通過購買門票讓學(xué)生識別模型，進一步感悟不等關(guān)系的特征，接著通過三道練習(xí)讓學(xué)生理解列不等式解決問題就是對同意義的量進行大小比較，最后的例題和練習(xí)就是模型運用的過程.在建模的過程中，教師要搭建學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的時間和空間，通過獨立思考、合作交流、動手探究經(jīng)歷建模的過程.

3.歸納反思和及時感悟是形成模型思想的重要途徑

模型反映了五彩世界萬千事物蘊含的共性特點，提煉這些共性特點并在學(xué)生的頭腦中固化下來，需要一個漫長的過程，需要教師在日常的教學(xué)中一以貫之地進行滲透和適時進行反思和感悟.本課教學(xué)中，教師多次創(chuàng)造學(xué)生反思和感悟的時機，當(dāng)學(xué)生由電梯運貨問題列出不等式時，教師引導(dǎo)學(xué)生把具體的數(shù)一般化并提出蹺蹺板模型；在購買門票問題后，教師追問“在什么情況下想到列不等式”，在練習(xí)后教師又追問“怎樣的兩個量可以進行大小比較”，讓學(xué)生反思得到不等式表示的是不等關(guān)系，所有的不等式都是對同一種意義的兩個量進行大小比較；在例題后引導(dǎo)學(xué)生歸納得到解決實際問題的一般過程，在課尾由不等關(guān)系聯(lián)想到生活中的哲理.這些反思和感悟的過程滲透在建立模型的過程中，讓學(xué)生通過不斷體悟獲得模型思想，內(nèi)化為自身的一種核心素養(yǎng).