探究三角函數的圖像與性質的重難點

■陳和改

三角函數的圖像與性質的相關試題是近幾年高考命題的熱點，主要考查三角函數的定義域、最值、單調性、奇偶性和周期性等內容。下面分別介紹，以供大家參考。

一、三角函數的定義域問題

三角函數的定義域是研究三角函數的其他性質的前提，求三角函數的定義域，事實上就是求最簡單的三角不等式，通常可用三角函數的圖像來求解，體現了數形結合思想的應用。

例1求函數的定義域。

解：因為2sinx-1≥0，所以在同一坐標系內作出y=sinx，x∈[0，2π]和的圖像（如圖1所示），解方程sinx=得結合圖像可以看出，滿足的x的范圍是故函數y 的定義域為

圖1

對于三角不等式的求解，用常規(guī)方法求解有困難時，可以通過構造函數圖像，使問題得以順利解決。

跟蹤練習1：求函數tanx）的定義域。

提示：因為所以故函數y的定義域為

二、三角函數的最值問題

求三角函數的最值主要有兩種類型：一是將函數化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，利用三角函數的有界性，轉化為不等式求最值問題；二是將函數化為y=psin2x+qsinx+r（p≠0）的形式，利用二次函數在給定區(qū)間上的特征求最值問題，此時應注意自變量的取值范圍。

例2已知k＜-4，求函數y=cos2xsin2x+k（cosx-1）的最小值。

解：由題意得y=2cos2x+kcosx-k-因為k＜-4，所以所以當cosx=1時，函數y有最小值為ymin=1。

通過轉化將三角函數問題轉化為熟悉的二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，使問題得以順利解答。但用sinx或cosx表示函數時，一定要注意sinx，cosx的有界性。

跟蹤練習2：求函數的最值。

提示：因為所以0≤2x+所以所以當時函數y有最大值為ymax=2；當時函數y有最小值為ymin=0。

三、三角函數的單調性問題

求函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調區(qū)間的基本思路是把ωx+φ看成一個整體，求此函數的遞增區(qū)間，就是解不等式Z）得到x的范圍。若函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＜0），可利用誘導公式將函數轉化為則函數y=Asin（-ωx-φ）的單調遞增區(qū)間為原函數的單調遞減區(qū)間，單調遞減區(qū)間為原函數的單調遞增區(qū)間。

例3求函數的單調遞減區(qū)間。

解：將函數轉化為欲求該函數的單調遞減區(qū)間，只需求函數y=的單調遞增區(qū)間即可。由2kπ-解得kπ-故函數y的單調遞減區(qū)間為

解決三角函數的單調性問題，關鍵是先利用誘導公式把x的系數化為正值，再求單調區(qū)間。

跟蹤練習3：函數的單調遞增區(qū)間為（ ）。

B.kπ，（k+1）π（），k∈Z

提示：函數的單調遞增區(qū)間滿足k∈Z，所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間為應選C。

四、三角函數的奇偶性問題

判斷函數的奇偶性的主要方法是定義法，先看定義域是否關于原點對稱，再看f（x）與f（-x）的關系。

例4判斷函數fx（）=的奇偶性。

解：因為函數f（x）的定義域為R，且f（x）+f（-x）=lg1=0，所以f（-x）=-f（x）。所以函數f（x）為奇函數。

判斷函數的奇偶性時，一般根據奇偶性的定義進行判斷，在判斷過程中有時也可由判斷f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0得到結論。

跟蹤練習4：判斷函數fx（）=的奇偶性。

提示：因為函數f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=f（x），所以函數f（x）為偶函數。

五、三角函數的周期性問題

函數的周期性的定義是對定義域中的每一個x值來說，都有f（x+T）=f（x）（T≠0），那么f（x）是以T為周期的函數。

例5下列函數中，周期為的是____。

解：由三角函數周期的定義可知，y=的周期為4π，y=tan2x的周期為的周期為8π，y=cos4x的周期為故答案為②④。

函數y=sinx的周期不止一個，如2π，4π，6π，…，事實上，任何一個非零常數2kπ（k∈Z）都是正弦函數的周期，2π只是y=sinx的最小正周期。

跟蹤練習5：設點P 是函數f（x）=sinωx的圖像C的一個對稱中心，若點P到圖像C的對稱軸上的距離的最小值為則f（x）的最小正周期是（ ）。

提示：因為點P是函數f（x）=sinωx的圖像C的一個對稱中心，點P到圖像C的對稱軸上的距離的最小值為所以函數f（x）的最小正周期為應選B。

六、三角函數的對稱性問題

正弦、余弦函數的圖像都是軸對稱與中心對稱圖形，其對稱軸為過最值點且與x軸垂直的直線，分別為與x=kπ（k∈Z）；對稱中心即為函數的零點，分別為（kπ，0）與正切函數的圖像是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，其對稱中心為函數的零點，即對稱中心為

例6函數的圖像的一條對稱軸方程是（ ）。

解：因為函數y=sinx的對稱軸方程為所以由（k∈Z），得當k=-1時應選D。

跟蹤練習6：函數的圖像的一個對稱中心是（ ）。

提示：因為函數y=cosx的對稱中心是所以由得當k=0時應選D。

（縱坐標不變）

提示：先將函數y=2sinx，x∈R的圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖像。再把所得圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到函數x∈R的圖像。應選C。