2018 年高考三角數(shù)問(wèn)題聚焦

■劉大鳴（特級(jí)教師）

2018年高考對(duì)三角函數(shù)的考查主要是圍繞“三角函數(shù)的圖像變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，三角函數(shù)的最值”等展開(kāi)的，彰顯“整體變量觀念、轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合”素養(yǎng)的具體應(yīng)用。

聚焦1：三角函數(shù)圖像變換的思維方法

例1（2018年高考天津卷）將函數(shù)y=的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)（ ）。

解：由題意求出平移后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。將函數(shù)y=的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖像的解析式為依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為即令k=1，得到一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為同理可得單調(diào)遞減區(qū)間為即令k=1，得到一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為應(yīng)選A。

品味：三角函數(shù)的圖像變換的兩種途徑：一是先伸縮后平移，二是先平移后伸縮。要注意的是：y=Asin（ωx+φ1）到y(tǒng)=Asin（ωx+φ2）的平移單位是當(dāng)Δx＞0時(shí)，將y=Asin（ωx+φ1）圖像上所有點(diǎn)向左平移Δx個(gè)單位得到，當(dāng)Δx＜0時(shí)，將y=Asin（ωx+φ1）圖像上所有點(diǎn)向右平移-Δx個(gè)單位得到。

變 式 1：已知函數(shù)f（x）=（其中ω＞0）的最小正周期為π。

（1）求ω 的值。

提示：（1）f（x）=由得ω=1。

聚焦2：函數(shù)y=Acos（ωx+φ）+B圖像的應(yīng)用

例2（2018年高考北京卷）設(shè)函數(shù)（ω＞0），若 f（x）≤對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)________。

解：根據(jù)余弦函數(shù)取最大值的條件解得ω，進(jìn)而確定其最小值。對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有成立，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，可得所以=2kπ（k∈Z），即又ω＞0，故

品味：理解y=cosx，y=Acos（ωx+φ）+B之間的關(guān)系，借助整體變量觀念，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可研究y=Acos（ωx+φ）+B的性質(zhì)。

變式2：已知函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則φ的值是_______。

提示：由 函 數(shù) y=sin（2x+φ）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得所以即又故

聚焦3：求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B 的周期及最值問(wèn)題

（1）求f（x）的最小正周期。

解：（1）利用輔助角公式化為一個(gè)角和一種三角函數(shù)形式，再用周期公式求解。由于所以f（x）的最小正周期

品味：形如y=asinωx+bcosωx的函數(shù)，利用輔助角公式可化為形式，其最小正周期為

變式3：已知函數(shù)fx（）=sin2ωx+的最小正周期為π。

（1）求ω 的值。

提示：（1）函數(shù)

聚焦4：三角函數(shù)的解或零點(diǎn)問(wèn)題

例4（2018年高考上海卷）設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x。

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值。

解：（1）若f（x）為偶函數(shù)，則對(duì)任意x∈R，均有f（x）=f（-x），即asin2x+2cos2x=asin2（-x）+2cos2（-x），化簡(jiǎn)可得方程2asin2x=0對(duì)任意x∈R都成立，故a=0。

若該方程在[-π，π]上有解，則k=0或k=1，對(duì)應(yīng)方程的解x的值分別為

品味：三角變換中常用的降冪公式有：

變式4：函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________。

提示：由題意可得所以即∈Z。當(dāng)k=0時(shí)當(dāng)k=1時(shí)當(dāng)k=2時(shí)均滿足題意。故函數(shù)f（x）在[0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。

聚焦5：三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例5（2018年高考全國(guó)卷）若f（x）=cosx-sinx在[-a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是（ ）。

解：先確定三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定a的最大值。由函數(shù)f（x）=cosx-sin且y=cosx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，可得0≤x+即

品味：求解三角函數(shù)的單調(diào)性，凸顯整體變量的應(yīng)用。

變式5：若f（x）=cosx-sinx在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（ ）。

提示：由 f（x）=cosx-sinx=可得（k∈Z），即Z），所以所以0＜a≤即a的最大值為應(yīng)選C。