基于Taguchi-BBD方法的PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩抑制

賈 佳

(廣東海洋大學(xué) 寸金學(xué)院，湛江 524000)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(PMSM)具有結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單、功率密度與轉(zhuǎn)矩密度較高、效率較高，便于控制等優(yōu)點(diǎn)，故其被廣泛運(yùn)用于交通運(yùn)輸、醫(yī)療設(shè)備、家用電器等方面[1]。然而，對(duì)于有槽電樞鐵心來說，其與轉(zhuǎn)子磁鋼會(huì)產(chǎn)生相互作用，引起電機(jī)內(nèi)部磁共能改變，從而產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，影響了電機(jī)的運(yùn)行性能與控制性能，并產(chǎn)生振動(dòng)與噪聲[2-4]。因此，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者對(duì)永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩問題提出了各種抑制措施，包括斜槽、斜極、改變定子槽口寬度、磁鋼偏移、改變極弧系數(shù)以及偏心距、定子齒部開槽等措施[5-7]。

文獻(xiàn)[8]解析了氣隙磁導(dǎo)的平方值與槽口寬度之間的關(guān)系，提出利用解析法推導(dǎo)計(jì)算抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的槽口寬度的方法，并進(jìn)行了仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)分析了齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，提出一種基于能量法的根據(jù)不同槽極配合選擇極弧系數(shù)的方法，最后采用有限元方法驗(yàn)證了解析法的有效性。文獻(xiàn)[10]采用了以有限元電磁場(chǎng)計(jì)算為基礎(chǔ)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過對(duì)磁鋼分段位移位置以及磁鋼厚度兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[11]分析了平行充磁方式以及徑向充磁方式對(duì)于空載損耗以及齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，結(jié)果表明，平行充磁性能優(yōu)于徑向充磁。

為了抑制齒槽轉(zhuǎn)矩以及提高方法效率，本文以一款48槽8極PMSM為例，采用Taguchi與BBD方法相結(jié)合的方式，以齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為目標(biāo)變量，采用Taguchi方法安排正交試驗(yàn)對(duì)槽口寬度、極弧系數(shù)、磁鋼厚度、偏心距、磁鋼充磁方式五個(gè)初選優(yōu)化變量進(jìn)行篩選并進(jìn)行最優(yōu)目標(biāo)變量的局部搜索，其次，利用以上過程得到的復(fù)選優(yōu)化變量，采用BBD對(duì)復(fù)選優(yōu)化變量進(jìn)行響應(yīng)面設(shè)計(jì)分析，利用最小二乘法對(duì)響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行擬合，并通過方差分析檢驗(yàn)擬合模型有效性，最終進(jìn)行全局搜索，得到全局最優(yōu)目標(biāo)變量。研究結(jié)果表明，采用Taguchi-BBD方法具有較高的可靠性，能有效抑制PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩。

1 PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機(jī)理分析

永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩表現(xiàn)為不通電時(shí)磁鋼與電樞齒部相互作用產(chǎn)生的輸出轉(zhuǎn)矩。當(dāng)定轉(zhuǎn)子相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，磁鋼兩側(cè)對(duì)應(yīng)的一小段氣隙的區(qū)域內(nèi)，磁導(dǎo)變化較大，引起磁場(chǎng)儲(chǔ)能變化，從而產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩[12]。故齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為

(1)

式中，W為不通電時(shí)磁場(chǎng)儲(chǔ)能；α為某一指定齒與指定磁鋼的中心線夾角。

假設(shè)定轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無窮大，磁鋼磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率相同，鐵心疊壓系數(shù)為1，則磁場(chǎng)儲(chǔ)能為

(2)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；Br(θ)為磁鋼剩磁密度；δ(θ,α)為有效氣隙長(zhǎng)度；hm(θ)為磁鋼充磁方向長(zhǎng)度沿圓周方向的分布。

由式(1)與式(2)可得

(3)

式中，La為定子鐵心軸向長(zhǎng)度；R1與R2分別為定子內(nèi)半徑與轉(zhuǎn)子外半徑；n為使nz/2p為整數(shù)的整數(shù)。

2 有限元模型建立與Taguchi方法分析

2.1 PMSM有限元模型建立

本文以一款48槽8極電機(jī)為例，該款電機(jī)相關(guān)主要參數(shù)如表1所示，采用Ansys Maxwell 2D有限元軟件建立電機(jī)模型。

表1 PMSM初始相關(guān)參數(shù)

為了仿真分析得到精度較高的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值并降低仿真計(jì)算時(shí)間，采取將電樞繞組刪除，并加密氣隙圓周、磁鋼以及定子齒部三個(gè)部分的剖分進(jìn)行仿真分析[13]。得到PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖如圖1所示，可以看出，該波形幅值為26.5534 N·m，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值較大，接下來本文將采用Taguchi-BBD方法對(duì)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行抑制。

圖1 PMSM初始有限元模型齒槽轉(zhuǎn)矩

2.2 Taguchi方法分析與正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文采用PMSM齒槽轉(zhuǎn)矩相關(guān)的參數(shù)，即槽口寬度、極弧系數(shù)、磁鋼厚度、偏心距、磁鋼充磁方作為初選優(yōu)化變量進(jìn)行試驗(yàn)，且前4個(gè)變量都包含4個(gè)水平，最后一個(gè)變量包含2個(gè)水平。傳統(tǒng)上，對(duì)于多變量非線性最值的問題可以采用全因子試驗(yàn)，對(duì)不同變量不同水平進(jìn)行完全且不重復(fù)的搭配組合，即考慮全部可能的實(shí)驗(yàn)組合[14]。則對(duì)于本文所選的變量共計(jì)需要44×2次，即512次試驗(yàn)，試驗(yàn)成本較大，故本文采用Taguchi方法進(jìn)行試驗(yàn)。

考慮到電機(jī)的實(shí)際工藝設(shè)計(jì)情況，選擇各個(gè)初選優(yōu)化變量取值范圍為：槽口寬度為2 mm～5 mm；極弧系數(shù)為0.6～0.9；磁鋼厚度為5.4 mm～6 mm；偏心距為10 mm、至25 mm；充磁方式為平行充磁或徑向充磁，采用數(shù)字1、2分別代表兩種不同充磁方式。采用X1、X2、X3、X4、X5依次表示以上變量，則變量水平表如表2所示。

表2 初選優(yōu)化變量水平表

由表2可知，變量水平數(shù)并非完全相同，故采用混合型正交表L16(44×23)安排正交試驗(yàn)，由于變量?jī)H有5個(gè)，故刪去第六列與第七列。采用有限元軟件對(duì)正交試驗(yàn)安排的組合進(jìn)行仿真分析，得到的結(jié)果如表3所示，其中，以T表示齒槽轉(zhuǎn)矩幅值。

表3 正交設(shè)計(jì)表

由表3所就算得出的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算每一個(gè)變量在不同的水平下對(duì)應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的均值，計(jì)算公式為

(4)

式中，mXij為初選優(yōu)化變量Xi的第j個(gè)水平對(duì)應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的均值；TXij(1)為初選優(yōu)化變量Xi的第j個(gè)水所對(duì)應(yīng)的第一次試驗(yàn)得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值，則TXij(2)至TXij(4)依次遞推。

由表中計(jì)算出的結(jié)果，可以進(jìn)行局部搜索，得到抑制齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的初步最優(yōu)變量，可知當(dāng)變量取值情況為X1取1，X2取4，X3取1、X4取3、X5取1時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為最小。然而，由于正交試驗(yàn)時(shí)變量取值不連續(xù)，僅取不同水平下進(jìn)行試驗(yàn)，故接下來需要采用響應(yīng)面法進(jìn)行全局搜索。為了分析得到對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值影響較大的變量，采用式(5)與式(6)計(jì)算每個(gè)變量的比重并將其折算為百分?jǐn)?shù)，由表4可知，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值影響最大的為X2，比重百分?jǐn)?shù)為56.34%，而X3與X5比重百分?jǐn)?shù)相比于其他變量明顯要小，僅為8.44%與2.71%，故將不對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行響應(yīng)面設(shè)計(jì)分析。

(5)

(6)

式中，m為所有正交試驗(yàn)得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的均值；SXi為Xi的比重；SXi%為Xi的比重百分?jǐn)?shù)。

表4 各水平均值及變量比重

3 BBD響應(yīng)面設(shè)計(jì)分析及全局尋優(yōu)檢索

3.1 BBD響應(yīng)面設(shè)計(jì)分析

BBD是響應(yīng)面設(shè)計(jì)分析方法的一種，其主要特點(diǎn)在試驗(yàn)過程中各店取值不會(huì)超過水平的上下限且相對(duì)于CCD中心組合設(shè)計(jì)響應(yīng)面法試驗(yàn)次數(shù)較少，由于電機(jī)設(shè)計(jì)過程中某些變量不宜取過小或者過大的值，故本文采用該方法進(jìn)行全局搜索最優(yōu)目標(biāo)變量。對(duì)于三因素的DDB響應(yīng)面試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)主要分成兩類，一類是坐標(biāo)為(0,0,0) 的中心點(diǎn)；另外一類是位置位于立方體棱的中心上的點(diǎn)，即(±1,±1,0)、(±1, 0,±1)、(0,±1,±1)[15-16]。

對(duì)于5個(gè)變量的優(yōu)化問題，若是直接采用響應(yīng)面法中的BBD模型進(jìn)行分析，則需要進(jìn)行46次試驗(yàn)，本文利用Taguchi方法對(duì)各個(gè)初選優(yōu)化變量進(jìn)行篩選，剔除了對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值影響較小的變量，同時(shí)根據(jù)正交試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)各變量的取值進(jìn)行進(jìn)一步縮小，得到的復(fù)選變量水平表如表5所示。為了與正交試驗(yàn)進(jìn)行區(qū)別，采用Y1、Y2、Y3依次表示槽口寬度、極弧系數(shù)、偏心距3個(gè)復(fù)選優(yōu)化變量。

表5 復(fù)選優(yōu)化變量水平表

依BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，安排響應(yīng)面試驗(yàn)如表6所示，并采用Ansys Maxwell 2D有限元仿真軟件分析不同搭配組合情況下的永磁同步電動(dòng)機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值，并以仍采用T表示齒槽轉(zhuǎn)矩幅值。對(duì)照表5與表6，可知，變量水平可以采用兩種方式來表示，即實(shí)際值或者編碼值，編碼值的取值范圍為-1至1之間，兩種表示方法之間的互換公式為

(7)

表6 BBD響應(yīng)面設(shè)計(jì)表

(8)

表7 BBD響應(yīng)面模型方差分析表

根據(jù)Design-Expert軟件分析得到最優(yōu)的變量取值:Y1為-0.85，Y2為1，Y3為-0.26，為了得到實(shí)際值，采用式(7)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到實(shí)際值分別為2.15 mm、0.9、18.7 mm，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)變量值，即齒槽槽轉(zhuǎn)矩幅值為0.9702 N·m。

3.2 有限元仿真分析

為了分析得到的最優(yōu)的齒槽轉(zhuǎn)矩的值的準(zhǔn)確性，采用有限元軟件Ansys Maxwell 2D進(jìn)行仿真分析，參數(shù)設(shè)置情況：定子槽口寬度為2.15 mm；磁鋼極弧系數(shù)為0.9；磁鋼偏心距為18.7 mm。仿真分析得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖如圖2所示。由圖可知，優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為0.9950 N·m，與通過BBD響應(yīng)面法預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)相差2.56%，預(yù)測(cè)情況較為準(zhǔn)確。與優(yōu)化前相比，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值下降了96.25%，證明Taguchi-BBD方法的有效性。

圖2 PMSM優(yōu)化后有限元模型齒槽轉(zhuǎn)矩

4 結(jié) 語

針對(duì)于PMSM的齒槽轉(zhuǎn)矩問題，提出Taguchi-BBD方法以初步確定的最優(yōu)變量的取值范圍；進(jìn)一步采用BBD響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法，根據(jù)3個(gè)復(fù)選優(yōu)化變量對(duì)優(yōu)化目標(biāo)變量進(jìn)行全局檢索，得到各個(gè)電機(jī)參數(shù)變量的最優(yōu)的取值，并抑制齒槽轉(zhuǎn)矩，先是利用Taguchi方法對(duì)初始優(yōu)化變量進(jìn)行篩選和進(jìn)行最優(yōu)變量局部搜索，得到對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大的3個(gè)變量以及通過有限元仿真分析驗(yàn)證了該方法的有效性。該方法針對(duì)于Taguchi正交試驗(yàn)變量取值不連續(xù)的特點(diǎn)以及BBD響應(yīng)面法試驗(yàn)次數(shù)較多的特點(diǎn)，結(jié)合了兩個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)，提高了計(jì)算方法效率，并具有較高的準(zhǔn)確性。