應(yīng)用型本科院?！峨x散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法探究

宋慶燕 楊興忠

摘要：研究適用于應(yīng)用型本科院校的《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法。首先分析了課程教學(xué)中存在的主要問題，然后基于主要問題設(shè)置了改善學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力，強(qiáng)化與計(jì)算機(jī)科學(xué)課程體系的聯(lián)系和滿足學(xué)生核心興趣點(diǎn)的總體目標(biāo)并提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，一種是在課程教學(xué)中引入“計(jì)算試驗(yàn)”為問題求解建立直覺，另一種是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行經(jīng)典原始文獻(xiàn)閱讀，展示數(shù)學(xué)知識的進(jìn)化過程；最后通過相應(yīng)的三個(gè)教學(xué)示例闡述具體教學(xué)方法的實(shí)施細(xì)節(jié)。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；問題求解；計(jì)算試驗(yàn)； 經(jīng)典原文閱讀

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）09-0109-03

Abstract： To study the teaching methods of Discrete Mathematics in applied undergraduate Institutions. First， it analyzes the main problems existing in the course teaching， and then， based on the main problems， it sets up to improve the students' learning attitude and enhance their learning motivation， Strengthen the connection with the computer science curriculum system and meet the overall goal of students core interest points and put forward corresponding teaching strategies. One is to introduce "computational experiments" into the curriculum teaching to build intuition for problem solving， and the other is to guide students to read the classic original literature， showing the evolution of mathematical knowledge. Finally， three teaching examples are given to illustrate the implementation details of specific teaching methods.

Key words： discrete mathematics； teaching methods； problem solving； computational experiments； Classic original reading

1 引言

計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法的探究是一個(gè)歷久彌新的研究課題，如文獻(xiàn)[1-6]。為了研究適用于應(yīng)用型本科院校的《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法，本文根據(jù)對湖北民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)《離散數(shù)學(xué)》課程實(shí)施的實(shí)際觀察，總結(jié)了一些目前本門課程教學(xué)所存在的主要問題：

1） 學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度消極，課堂氣氛沉悶，士氣低落。

2） 課程結(jié)束后，學(xué)生們很快便遺忘了以備考為目的而記憶的很多知識。

3） 對于后續(xù)課程沒有發(fā)揮應(yīng)有的持續(xù)影響，在學(xué)科能力培養(yǎng)方面沒有表現(xiàn)出明顯效果。

從教學(xué)模式、課程內(nèi)容和學(xué)生能力等方面分析，本文認(rèn)為造成上述問題的主要原因?yàn)椋?/p>

1） 《離散數(shù)學(xué)》作為一門數(shù)學(xué)課，教學(xué)模式往往采用了“定義-定理-證明”的傳統(tǒng)模式，這種模式有利于數(shù)學(xué)知識的高效率傳遞，但也使得數(shù)學(xué)知識以抽象、艱澀和無趣的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前。

2） 《離散數(shù)學(xué)》課程內(nèi)容表現(xiàn)得與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)后續(xù)課程相關(guān)性不強(qiáng)，與學(xué)生的核心興趣點(diǎn)更是差距甚遠(yuǎn)。

3） 學(xué)生數(shù)學(xué)能力和知識背景的差異導(dǎo)致有些學(xué)生即使有學(xué)好離散數(shù)學(xué)的愿望，也往往找不到付出努力的立足點(diǎn)。

本文認(rèn)為，在《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中僅僅采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法很難有效解決上述問題，針對本門課程教學(xué)內(nèi)容多樣的特點(diǎn)可以考慮采用多元教學(xué)模式，這首先需要探索出更多可行的教學(xué)方法以運(yùn)用于本門課程不同內(nèi)容的教學(xué)，本文將對此做出一些嘗試。

2 《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法探究

根據(jù)第1節(jié)中對于《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)所存在問題的總結(jié)和分析，本文將基于如下目標(biāo)進(jìn)行《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)方法的探究。

1） 讓《離散數(shù)學(xué)》課程以更生動，具體的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，消除學(xué)生們對于本門課程留下的抽象、枯燥甚至對于計(jì)算機(jī)專業(yè)似乎沒有用的印象，從而愿意主動接受它。

2） 讓能力和知識背景各有差異的學(xué)生們都能找到學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，使得他們努力的成果能夠有直觀的體現(xiàn)，產(chǎn)生成就感。

3） 重視并滿足學(xué)生們的核心需求，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的動力和信心。

根據(jù)總體目標(biāo)，本節(jié)提出了兩種適用于相應(yīng)類別教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)策略，并在2.1節(jié)和2.2節(jié)分別描述了這兩種教學(xué)策略對應(yīng)的具體教學(xué)方法。

1） 在《離散數(shù)學(xué)》課程中引入“計(jì)算試驗(yàn)”，從計(jì)算的角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生思考和進(jìn)行問題求解。從而能夠強(qiáng)化課程與計(jì)算機(jī)學(xué)科的聯(lián)系，并凸顯出問題求解中數(shù)學(xué)方法的優(yōu)勢和特點(diǎn)。

2） 將數(shù)學(xué)概念以動態(tài)方式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生們都能參與重新構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的過程。使得學(xué)生能夠以一種主動和自然的方式學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念和定理。

2.1 用“計(jì)算試驗(yàn)”為問題求解建立直覺

本方法適用于《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)內(nèi)容中可計(jì)算問題的研究型教學(xué)。在具體實(shí)施教學(xué)過程中，首先鼓勵(lì)學(xué)生對于待解決的可計(jì)算問題進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)，通過計(jì)算試驗(yàn)建立關(guān)于問題求解的直覺，在直覺基礎(chǔ)上產(chǎn)生一些關(guān)于求解問題的想法或猜測；然后，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對猜想進(jìn)行分析和嚴(yán)格證明。最理想的情況是，一些學(xué)生在經(jīng)過數(shù)學(xué)方法的分析和嚴(yán)格檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)基于計(jì)算試驗(yàn)所做出的猜想不一定是正確的。此時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)修正調(diào)整猜想，并鼓勵(lì)他們在這個(gè)過程中始終借助計(jì)算試驗(yàn)來提供思路或靈感。

必須指出的是，以上從計(jì)算試驗(yàn)幫助建立直覺到數(shù)學(xué)方法分析和嚴(yán)格證明的整個(gè)教學(xué)過程中，并沒有削弱數(shù)學(xué)方法，反而是強(qiáng)化了它在問題求解中的重要性。此外，計(jì)算試驗(yàn)還幫助學(xué)生們更好地洞察基本的數(shù)學(xué)原理，使得抽象的數(shù)學(xué)概念及其應(yīng)用變得具體而可見。

2.2 引導(dǎo)閱讀經(jīng)典歷史資料，展示數(shù)學(xué)知識的進(jìn)化過程

大部分的《離散數(shù)學(xué)》教材在正式進(jìn)入新的知識單元之前，都會程序式的介紹相關(guān)背景，但也僅僅是略微提及。學(xué)生們也因此往往忽略了這些內(nèi)容而直接去面對艱澀、枯燥、形式化的數(shù)學(xué)概念和定理等內(nèi)容，這樣的方式讓他們難以產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣和動力。

針對以上情況，本小節(jié)討論的主題則是強(qiáng)調(diào)對于背景知識的學(xué)習(xí)。具體采用的方法是選擇合適且經(jīng)典的歷史資料，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀，并為學(xué)生們的閱讀活動安排一些適當(dāng)?shù)娜蝿?wù)。學(xué)生直接基于歷史資料深入了解數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景和知識背景，探索它們的演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素，形成自己對該主題的理解。經(jīng)過這樣一個(gè)教學(xué)過程，培養(yǎng)了學(xué)生們的閱讀和寫作能力，促進(jìn)了對現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的反思和理解，使他們能夠逐漸認(rèn)識到數(shù)學(xué)的抽象化、形式化使得數(shù)學(xué)模式與模型成了聯(lián)系抽象理論與現(xiàn)實(shí)世界的紐帶[7]。從而愿意接受和學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)中對于數(shù)學(xué)概念和方法的形式化描述。

在接下來的第3節(jié)中將就本節(jié)中闡述的兩種教學(xué)方法給出相應(yīng)的教學(xué)示例。

3 教學(xué)示例

本節(jié)通過三個(gè)教學(xué)示例對2.1和2.2中闡述的兩種教學(xué)方法的實(shí)施細(xì)節(jié)進(jìn)行說明。

3.1 在教學(xué)中引入“計(jì)算試驗(yàn)”的兩個(gè)教學(xué)示例

問題1：確定長度為n且不包含連續(xù)兩個(gè)1的二進(jìn)制序列的數(shù)目

對于這個(gè)問題，大多數(shù)有著基本的程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)的學(xué)生都能夠想到并使用“蠻力搜索”的方法。這種方法不需要太多的數(shù)學(xué)預(yù)備知識，且針對n取較小的值時(shí)是有效的。實(shí)施這種方法的具體步驟是，首先，針對一個(gè)給定的n值生成長度為n的所有二進(jìn)制序列，然后，排除“包含11的二進(jìn)制序列”。完成對幾個(gè)較小的n值的求解后，會得到幾個(gè)相應(yīng)的數(shù)值解。

還有一些學(xué)生，會想到并使用一個(gè)遞歸程序，針對一些較小的n值，直接生成“不包含11的長度為n的二進(jìn)制序列”。這種方法需要學(xué)生具備“遞歸算法”的思想，能夠處理簡單的“遞推方程”，涉及的關(guān)鍵點(diǎn)是：長度為n的序列可以通過分別在長度為n-1和n-2的較短的序列上添加后綴1和10而生成。

有著一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)和知識背景的學(xué)生，在得到“針對幾個(gè)較小的n值的數(shù)值解”后，會開始觀察和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并正確猜想出此問題的“公式解”。然后利用歸納法對自己的猜想進(jìn)行證明。

在求解問題1的教學(xué)活動中，所有的學(xué)生都能參與對于這個(gè)問題的求解，并基于自己的能力和知識水平給出相應(yīng)的解決方案，因此每一個(gè)同學(xué)都有參與感和成就感，從而可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

問題2：翻棋子游戲

如圖1（a）中有三個(gè)菱形，這三個(gè)菱形有一個(gè)公共頂點(diǎn)在中心位置，在每個(gè)菱形的頂點(diǎn)上都放置一顆棋子，總共有7顆棋子。每個(gè)棋子有黑白兩面，初始狀態(tài)下所有的棋子都是白色的一面朝上。規(guī)定翻轉(zhuǎn)棋子的規(guī)則是：如果翻轉(zhuǎn)一顆棋子則位于同一菱形頂點(diǎn)上的另外3顆棋子也要翻轉(zhuǎn)一次；或者同一個(gè)菱形中的所有棋子都翻轉(zhuǎn)為黑色面朝上。問：如何按規(guī)則翻轉(zhuǎn)棋子，使得游戲從圖1（a）所示初始狀態(tài)到達(dá)圖1（b）所示狀態(tài)（即只有中間的棋子是黑色面朝上）。

對此問題的求解從計(jì)算試驗(yàn)開始，然后再逐步引入數(shù)學(xué)方法。具體過程如下：

第一步，學(xué)生可以對這個(gè)問題進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)?？偣仓挥?顆棋子，所有可能的棋子翻轉(zhuǎn)方案只有27=128種，所以可以通過蠻力計(jì)算的方式得到所有可達(dá)狀態(tài)，并驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)指定狀態(tài)并不在可達(dá)狀態(tài)集中。這一步，大部分的學(xué)生都可以完成。

第二步，對于“翻棋子游戲”問題，本課程需要的不僅僅是一個(gè)“是”或“否”的答案，還需要一個(gè)解釋，通過第一步的“計(jì)算試驗(yàn)”，學(xué)生們對于這個(gè)問題的計(jì)算求解有了一些直覺體驗(yàn)。但是僅僅靠編程計(jì)算本身是不能解釋為什么無法達(dá)到指定狀態(tài)的。在第二步，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察所有的“可達(dá)狀態(tài)”，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出“可達(dá)狀態(tài)”在某些特征量上的不變性，并設(shè)置相應(yīng)的不變量。觀察設(shè)置好的“不變量”在指定狀態(tài)下的取值，會發(fā)現(xiàn)其破壞了規(guī)則，因此是不可達(dá)狀態(tài)。

最后，如果要對這個(gè)問題在理論層面進(jìn)行更高一層的求解，則需要完整刻畫可達(dá)狀態(tài)，這需要在學(xué)生們學(xué)習(xí)并掌握了“抽象代數(shù)”后，在二元域上討論。這個(gè)層面的討論已經(jīng)超出了課程要求，但是可以凸顯數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)和優(yōu)勢。

求解問題2的教學(xué)活動，以一種層層遞進(jìn)的方式讓學(xué)生體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)方法”的威力和魅力，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力。為了讓學(xué)生們重視“數(shù)學(xué)方法”，認(rèn)識到僅僅靠“簡單的計(jì)算”是不能解決問題的，還可以再提出一個(gè)類似的復(fù)雜度更高的問題，例如8×8的棋盤格游戲。

3.2 引導(dǎo)閱讀經(jīng)典歷史資料，展示數(shù)學(xué)知識的進(jìn)化過程的教學(xué)示例

本小節(jié)參照文獻(xiàn)[8]，選擇以瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，萊昂哈德·歐拉在1736年發(fā)表的經(jīng)典論文《關(guān)于位置幾何問題的解法》[9]為例，闡述在圖論教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生閱讀經(jīng)典文獻(xiàn)的教學(xué)活動。通過這樣的教學(xué)活動達(dá)到向?qū)W生動態(tài)展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識進(jìn)化過程，使他們都能參與重新構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的目的。

歐拉在這篇論文中從格尼斯堡的詳細(xì)地圖開始，首先抽象出一個(gè)只顯示問題主要特征的更簡單的圖（參閱文獻(xiàn)[9]中Fig.1），然后用符號重新表述問題，接下來研究判定解是否存在的算法，一直到論證論文的最后一個(gè)定理結(jié)束。事實(shí)上，該論文為學(xué)生們提供了一個(gè)從研究實(shí)際問題到建立數(shù)學(xué)理論的完整過程的案例。

這篇論文語言比較通俗，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們完全可以跟隨歐拉的思想讀懂和理解論文中的概念和方法，并能與教材中對應(yīng)概念及方法的描述形式進(jìn)行對比，促進(jìn)對它們的理解和掌握。此外，為了屏蔽語言障礙帶來的閱讀困難，可以在為學(xué)生提供原始論文同時(shí)提供論文的參考翻譯。下面以歐拉論文中的第1、2、16和17段的內(nèi)容為例，敘述引導(dǎo)學(xué)生閱讀并布置相應(yīng)任務(wù)開展教學(xué)活動的過程。

論文第1段，歐拉介紹了一個(gè)由萊布尼茲首先提出的稱為“位置幾何學(xué)”的幾何分支，并解釋這個(gè)分支研究的內(nèi)容只涉及位置關(guān)系，與測量和數(shù)值計(jì)算無關(guān)。然后指出有一個(gè)問題看起來是幾何的，但問題求解不需要測量距離和計(jì)算。因此他認(rèn)為這個(gè)問題是屬于“位置幾何學(xué)”領(lǐng)域的典型問題并在論文中給出了他發(fā)現(xiàn)的解決這類問題的一般方法。

論文第2段，詳細(xì)敘述了 “格尼斯堡七橋問題”，指出了人們對該問題是否有解存在爭論。更重要的是，歐拉在本段中基于“格尼斯堡七橋問題”進(jìn)一步提出了一個(gè)具有普遍意義的問題：無論陸地被河流分割成如何的格局，無論有多少座橋，能否判定有一條環(huán)游路線恰好經(jīng)過每座橋一次？

在學(xué)生完成了論文第1段和第2段（學(xué)生閱讀的原始資料比上面的敘述更加詳細(xì)）的閱讀之后，教師提示學(xué)生注意：1）歐拉在分析過橋問題時(shí)，先用一個(gè)只顯示主要特征的圖代替了城市地圖；2）在現(xiàn)代圖論中進(jìn)一步簡化了這個(gè)圖，只包括點(diǎn)（代表每一塊陸地）和線段（代表橋），這些點(diǎn)和線段分別稱為頂點(diǎn)和邊，頂點(diǎn)和邊以及它們之間的關(guān)系稱為圖。要求學(xué)生對比閱讀教材中有關(guān)圖的定義，然后完成下面的任務(wù)。

學(xué)生任務(wù)：將歐拉原文所示的過橋問題（參閱文獻(xiàn)[9]中Fig.3），繪制成具有6個(gè)頂點(diǎn)15條邊的現(xiàn)代形式的圖。

學(xué)生們一邊閱讀論文，一邊完成布置的任務(wù)，就將歐拉的寫作與現(xiàn)代理論聯(lián)系起來了。隨著歐拉對七橋問題分析的層層展開，其它的概念和定理被一一引入。這樣學(xué)生們就逐漸將原始資料中的概念與現(xiàn)代的術(shù)語和符號聯(lián)系起來了。

論文第16段，歐拉宣稱將描述一個(gè)更簡單的方法來解決這個(gè)問題。并敘述了一個(gè)結(jié)論：將通往陸地A、B、C、D的橋的數(shù)目分別標(biāo)注在字母旁邊，這些標(biāo)注在字母旁邊的數(shù)字之和是橋的總數(shù)目的兩倍，原因是每座橋都連接了兩塊陸地，于是在字母的數(shù)字標(biāo)注上被計(jì)數(shù)了兩次。

論文第17段，歐拉論述了一個(gè)推論：每個(gè)字母旁邊標(biāo)注的數(shù)字代表與此陸地相關(guān)的橋梁的數(shù)目，所有字母旁數(shù)字的總和必然為偶數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的一半代表橋的總數(shù)。如果這些數(shù)字中只有1個(gè)是奇數(shù)，或者3個(gè)，或者5個(gè)，等等，是絕不可能的。因此，在“格尼斯堡七橋問題”中，字母A、B、C和D旁邊的數(shù)字是奇數(shù)，而在第15段的例子中只有D和E上的數(shù)字是奇數(shù)。

在16和17段閱讀結(jié)束后，要求學(xué)生完成下面兩個(gè)任務(wù)：

學(xué)生任務(wù)：第16段中描述的結(jié)果，在現(xiàn)代圖論中被稱為“握手定理”。該定理基于計(jì)算社交聚會中發(fā)生的握手次數(shù)的計(jì)數(shù)問題。握手定理的現(xiàn)代表述是：有限圖中所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于圖中邊數(shù)的兩倍。請?jiān)诮滩闹姓业竭@個(gè)定理，并評論教材中給出的證明與歐拉在第16段中的相關(guān)討論。

學(xué)生任務(wù)：第17段中描述的結(jié)果可以重新陳述為：每個(gè)有限圖包含偶數(shù)個(gè)奇數(shù)度的頂點(diǎn)。在教材中找到這個(gè)定理，并評論教材中的定理證明與歐拉在第17段中的討論。

對學(xué)生提出這些閱讀任務(wù)，可以讓學(xué)生在研究歐拉的各種論點(diǎn)時(shí)，反思其與現(xiàn)代教科書中使用的論證風(fēng)格有何不同，再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)進(jìn)化的觀點(diǎn)。

關(guān)于歐拉經(jīng)典論文更多的內(nèi)容閱讀，本文不再詳述。

4 結(jié)論

《離散數(shù)學(xué)》課程傳統(tǒng)的“定義-定理-證明”的教學(xué)模式無疑是一種高效率的傳遞數(shù)學(xué)知識的方法，但是對于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的學(xué)生們來說這種模式讓他們對于課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)難以產(chǎn)生興趣和動力，學(xué)習(xí)效率較為低下。如果在《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中引入前文所述的兩種教學(xué)方法，可想而知會比傳統(tǒng)教學(xué)模式花費(fèi)更多的教學(xué)時(shí)間，但是可以改善學(xué)生們對課程的學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)他們對于課程內(nèi)容學(xué)習(xí)的動力。所以教師在具體實(shí)施課程教學(xué)時(shí)要把握好時(shí)間，靈活應(yīng)用各種教學(xué)方法。此外，前文所述的兩種教學(xué)方法要想成功實(shí)施，素材的選擇以及精巧的教學(xué)設(shè)計(jì)非常關(guān)鍵，這也需要教師花費(fèi)大量的時(shí)間做好課前準(zhǔn)備，但是這樣的準(zhǔn)備是值得的，相關(guān)的素材和教案會在不斷的努力下得到積累、擴(kuò)充和完善，這個(gè)過程除了學(xué)生們有所收獲之外，教師本人也會獲益良多。

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【通聯(lián)編輯：王力】