融入數(shù)學體驗活動的教學實踐與思考——以“作一個角等于已知角”為例

張愛平 沈雪英

(江蘇省南京市金陵匯文學校 210036)

數(shù)學體驗活動是學習者置身某種場域中，參與的特定的數(shù)學活動，是學習者親歷具體的操作過程，感受數(shù)學對象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，領悟數(shù)學思想方法，積累數(shù)學活動經驗，提升數(shù)學關鍵能力的一種學習方式，包括由環(huán)境刺激產生的情感體驗活動、實物操作產生的行為體驗活動和內省反思產生的認知體驗活動，不僅有外部操作中的發(fā)現(xiàn)、驗證和探索，還有注重內隱感知、領悟和自我建構．通過數(shù)學體驗活動，學生積極參與，主動思考，理解數(shù)學本質，經歷數(shù)學方法的形成過程，積累數(shù)學活動經驗，發(fā)展數(shù)學能力．本文以“作一個角等于已知角”為例，談談融入數(shù)學體驗活動的課堂教學實踐及思考．

1 教學背景

尺規(guī)作圖的提出可追朔到古希臘時期，它是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)解決一些平面幾何作圖問題．直尺的功能就是畫直線，圓規(guī)用來畫弧線或者截取相等長度的線段．尺規(guī)作圖剔除了線段的刻度和角的角度，將刻畫基本圖形(線段、角)大小的“數(shù)”問題轉變?yōu)椤靶巍钡膯栴}，可以培養(yǎng)學生的數(shù)學操作能力和邏輯思維能力.

1.1 課標及教材內容要求

《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》(以下簡稱《課標》)相對《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》對尺規(guī)作圖的教學提出了更高要求，在“學生要保留作圖痕跡，知道作圖步驟“的基礎上提出”要能了解每一步步驟的道理”的要求，即既要會“作圖”， 辨清步驟，又要能 “明理”，弄清原理．

(1)能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一個角等于已知角；

(2)在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．

《課標》對學生的學習提出高標準，教師的教學行為必然也要相應的改變．

“作一個角等于已知角”是蘇科版七年級上冊第6章平面圖形的認識(一)6.2節(jié)中的一段教學內容．教材中是這樣敘述的“議一議 只用直尺和圓規(guī)，怎樣作一個角等于已知角？”“做一做 閱讀下列作法，并根據作法中的步驟用直尺和圓規(guī)作角．”

1.2 教學現(xiàn)狀及學情分析

“作一個角等于已知角”是五個基本尺規(guī)作圖之一，在多年的教學中，常常遇到這樣的尷尬情形，學生剛學習這個作圖時掌握的很好，過一段時間后就幾乎全部遺忘．反思以往的教學，也許是過多地注重作圖步驟和技巧，而忽視呈現(xiàn)作圖步驟是如何自然產生的，學生“依葫蘆畫瓢”，缺少對作圖步驟生成的體驗，缺少對已有畫圖經驗的聯(lián)系，這就導致學生對這個作圖的掌握停留在機械操作層面，知其然，而不知其所以然．

學生已有的知識和經驗有：作一條線段等于已知線段，知道角是由公共端點的兩條射線組成的圖形，用量角器畫一個角等于已知角．學生已了解直尺和圓規(guī)的功能，知道作一個角的關鍵是終邊的確定，這些都為本作圖的體驗教學提供了保障．而尺規(guī)作圖一般步驟是：想象圖形，畫出草圖；分析草圖，形成作法；尺規(guī)操作，規(guī)范作圖；證明等．但是此作圖的理論證明要在八年級第一章全等圖形學習后才能完成，利用“邊邊邊”證明三角形全等，再根據全等三角形對應角相等，這阻礙了本節(jié)課作圖操作后邏輯推理論證的完成．《課標》提出了“會作” 與“明理”的雙重要求，受教材體系和學生已學知識的限制，“證明”是無法在本節(jié)課中實現(xiàn)，那么能不能讓學生先在體驗活動中“明理”呢？七年級學生的思維正由直觀形象思維向抽象邏輯思維的轉變，學生的分析能力和邏輯推理能力有待提高，這就要求教師準確把握教學的方向，設計符合學生的認知最近發(fā)展區(qū)的體驗活動，將探索作法扎根在體驗中，學生在自我的探索中獲得準確的作圖步驟，“明理”前置，以“理”生“法”，學生自主“生成”作法.

2 教學設計

尺規(guī)作圖體驗活動的設計要充分體現(xiàn)直尺和圓規(guī)的強大功能，于無形中化“無刻度”為“有刻度”，引導學生自主探索作法，完成知識的承接，實現(xiàn)認知的自然過渡．作一個角等于已知角的關鍵是確定角的終邊，而確定終邊的關鍵是確定這條邊上的另一個點，所以這個尺規(guī)作圖的難點就是如何確定終邊上的這個點，將確定邊的問題轉化為確定點的問題．終邊上這個點的確定，又與已知角的終邊上的哪個點對應，這個“標志點”該如何確定，這個“標志點”的確定對要作出的角終邊上的“對應點”的確定有怎樣的幫助呢？筆者根據體驗學習的內涵，設計的三種體驗活動，旨在引導學生自然生成作圖方法，發(fā)展學生學習、探索新知的能力．

2.1 在同一個圓里找兩個相同的扇形

圖1

如圖1，已知∠AOB，在這個圓中找一個∠COD，使得∠COD=∠AOB．

借助這個已知圓，根據“同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．”要找到相等的圓心角，只要用圓規(guī)量出長度相等的弦長．

體驗過程的反思：圓的出現(xiàn)過于突兀，圓的性質是九年級的內容，學生的知識儲備還不夠．

2.2 做兩把相同大小的折扇

如圖2，要制作和它一樣大小的一把折扇，我們要準備什么尺寸的材料呢？

學生容易想到選同樣大小的弧形紙作扇面和同樣長短的竹片作扇柄．扇柄的長度是圓弧半徑的大小，紙面的大小可以決定紙扇張開的角度大?。话阏凵戎谱鞯娜襟E，固定一根扇柄—糊紙面—固定另一根扇柄，這個過程和“用尺規(guī)作一個角等于已知角”的過程非常的類似．

圖2

體驗過程的反思：(1)制作紙扇準備的材料繁瑣；(2)制作紙扇耗費時間，數(shù)學課堂成了手工課堂；(3)扇面紙的大小的裁剪學生更容易想到用疊合法去裁剪，那么扇子的張角的大小的確定更容易聯(lián)想到扇面紙面積的大小，不容易轉化到弧長的大小，因此作一個角等于已知角的第二條線上的這個點不容易自然生成．

2.3 量角器畫角的演變

問題1回憶小學時是怎樣用量角器畫一個角等于已知角的？量角器的功能是什么？

如圖3，量角器畫角的一般步驟，先量出已知角的度數(shù)，再根據度數(shù)畫出另一個相等的角．在“量”這一階段可分為三步：對準頂點、重合始邊、讀出終邊所讀的數(shù)值；“畫”這一階段也可分為三步：畫始邊、根據數(shù)值點出終邊上的一個點、畫終邊．此時，量角器的功能是確定角的度數(shù)．

圖3

問題2如果量角器的刻度看不清楚了，你還能用它畫出這個角嗎？此時量角器的功能又是什么？

圖4

圖5

如圖4，量角器沒有刻度了，那么在“量”這一階段中的前兩步：對準頂點、重合始邊仍可以完成，第三步讀出終邊所讀的數(shù)值無法進行了．結合“畫”這一階段的畫好始邊后點出終邊上的一個點遇到了障礙．那沒有數(shù)值了，該怎么確定終點上的這個點？

如圖5，學生就會發(fā)現(xiàn)，在量角器上相應的位置上作個“標記點”即可完成上述的操作．此時量角器的功能就弱化為找圓弧上的一個“標記點”了．

問題3如果沒有量角器，只有類似量角器的外輪廓的半圓弧，你能借助圓規(guī)和直尺畫一個角等于已知角嗎？

完成問題2時，學生已認識到量角器的功能從“數(shù)”轉變?yōu)椤靶巍绷?，沒有了剛才無刻度的量角器這一工具，半圓弧上如何去替代剛才“標志點”？

如圖6，利用圓規(guī)創(chuàng)造量角器的弧，這時候，另一個和已經存在的等半徑的半圓就自然會被畫出來．如何度量弧線的長短呢，圓規(guī)能確定線段的長短，要確定弧線的長短，只有“化曲為直”，通過確定以弧線兩端點為端點的線段的長短去確定弧線的長短，這樣確定“標志點”的另一條弧線也自然生成．

圖6

圖7

問題4如圖7，擦去半圓中多余的弧線，只留下確定終邊上點的位置的一小段，請根據剛才的操作探索過程，用圓規(guī)和直尺作一個角等于已知角．

學生回憶活動的全過程，經歷了“量角器-沒有刻度的量角器—半圓—圓弧”的畫一個角等于已知角的過程，用“尺規(guī)”作一個角等于已知角的步驟已了然，如圖8，具體作法如下：

圖8

(1)以點O為圓心，任意長為半徑用圓規(guī)畫弧，分別交OA、OB于點C、D.

(2)任意畫一點O′，畫射線O′A′，以點O′為圓心，OC的長為半徑畫弧交O′A′ 于點C′.

(3)以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于D′點.

(4)過D′畫射線O′B′，∠A′O′B′就與∠AOB相等.

3 教學思考

正如蘇霍姆林斯基所說：“對于兒童來講，掌握知識這個最終目的不可能像成人那樣成為他付出智力努力的主要動力．學習愿望的源泉在于兒童智力勞動的性質，在于思想的情感色彩，在于理性的體驗．如果這個源泉涸竭了，任你用什么辦法也不可能讓孩子坐下來念書．”這里設計合理的體驗活動，改變了以往教學時作法的復制和灌輸，根據學生已有的知識和經驗，引導學生參與數(shù)學思維探究活動，在體驗活動中自然形成數(shù)學方法、充分理解數(shù)學本質．學生的學習過程是一個自己理解、自主建構新知的過程，學生帶著自己原有的知識、方法、經驗去主動體驗、思考、反思，建構新的知識體系，提升數(shù)學操作能力和邏輯思維能力，積累新的數(shù)學活動經驗，提升學生的學習力.

3.1 數(shù)學體驗活動要合理充分

首先，選取體驗材料要合理．本文的三種設計分別選取了圓、折扇、量角器三種素材，它們或多或少都與“作一個角等于已知角”作法的探索有著內在的聯(lián)系．但是綜合考慮學生對素材的熟悉程度、對已有經驗的聯(lián)結緊密度、對對象的本質特征相似度等因素，量角器無疑是最合適的材料．由此可見，選取最合理有效的操作工具，便于學生按照自己探索的操作步驟動手畫圖，自主形成作法．合理的體驗材料便于學生進行數(shù)學活動，自然地引發(fā)數(shù)學思考，在不同材料的體驗使用中科學選擇.

其次，學生體驗的過程要充分．庫伯教授構建的體驗學習模型“體驗學習圈”：具體體驗—觀察與反思—抽象概念—在新情境中體驗，依次循環(huán)．在選擇量角器作為體驗材料后，筆者設計的體驗活動分為4個層次，量角器畫角—無刻度的量角器畫角—半圓弧畫角—尺規(guī)作角，每個層次的活動都經歷了具體體驗、觀察反思形成經驗、再弱化工具、再次體驗形成新的經驗，循環(huán)了3次后，學生的體驗過程充分．尺規(guī)作圖貴在思路的形成，將一個角搬到另一個位置，用圓規(guī)和直尺精確地作出來，這樣的自主探究、找尋原理、發(fā)現(xiàn)作法可以確保學生知識形成的基礎牢固，相應的作法生成自然無痕，學生經歷了“角的尺規(guī)畫法”的形成過程，通過探究式的體驗活動，理解數(shù)學本質，符合學生的認知規(guī)律.

3.2 數(shù)學體驗活動要融合遷移

遷移是指學習者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進新知識、方法的學習或解決不同情境中問題.“利用尺規(guī)畫一個角等于已知角”的探究過程中，融入必要的體驗活動，適時調用小學時量角器畫角的活動經驗，分析得出尺規(guī)作角與用量角器作角之間的共性，將量角器畫角中的基本方法和經驗，類比遷移到利用直尺和圓規(guī)畫角的過程中，教師準確激活學生原有的知識、方法和經驗，設計體驗活動，引導學生從簡單熟悉的問題開始，不斷變更背景，尋找素材的內在聯(lián)系，完成知識、方法的自主建構．體驗活動過程的條理化，活動經驗的領悟，實現(xiàn)數(shù)學思想方法的融合和發(fā)展，這樣的體驗學習過程貼近學生認知水平，符合最近發(fā)展區(qū)理論，搭建起新舊知識之間的支架，引領學生學會思考，掌握分析方法，明確作圖步驟，利用不同工具的畫法遷移合理自然.

3.3 數(shù)學體驗活動要發(fā)展能力

《教育部關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的建議》指出核心素養(yǎng)是學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，在數(shù)學課堂教學中融入體驗活動，就是要幫助學生培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學學科的關鍵能力. 尺規(guī)作圖是一種情境的創(chuàng)設，由學生自己動手作出一張符合要求的圖形，這是幾何教學中難得的實踐活動，是讓學生從操作體驗提升到理論認識的重要途徑．尺規(guī)作圖的完成是學生動手操作和幾何推理相結合的結果，其幾何直觀能力、幾何推理能力、空間想象能力等數(shù)學學科關鍵能力得到發(fā)展；作圖前的體驗活動，學生動手度量、拼湊、截取、疊合等幾何操作過程，具有不可替代的直觀性，為其數(shù)學學科關鍵能力的發(fā)展添磚加瓦．

尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，它的教學方法沒有固定的模式，但是“明理” 才能 “得法”．在數(shù)學體驗活動中，留給學生更多自主探究、思考分析的空間，多動手，多探究作圖的原理和作圖方法，融入了體驗活動的學習，發(fā)展了數(shù)學學科的關鍵能力.