中小學(xué)課堂中數(shù)學(xué)教師講解行為有效性探究

趙士元

(蘇州市吳中區(qū)教學(xué)研究室 215104)

筆者曾對某區(qū)域小學(xué)四年級共6895人，初中二年級共5317人以及高中二年級共1733人作過一次關(guān)于數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的問卷調(diào)查，問卷涉及教師講解、自主探究、交流互助等七大方面的內(nèi)容，調(diào)查結(jié)果誘發(fā)我對數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的一些思考.

何為教學(xué)行為？教學(xué)行為是由教學(xué)的行為主體(教師和學(xué)生)以及所有與行為主體相關(guān)聯(lián)的因素綜合作用產(chǎn)生的一種行為方式，這種行為方式不僅與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)也與受教育對象以及教學(xué)條件等諸多元素有關(guān)，它受制于教師自身的教育理念以及對教學(xué)內(nèi)容、受教對象的把握能力，其在教學(xué)過程中的表現(xiàn)形式有顯性和隱性的兩種.顯性教學(xué)行為以課堂教學(xué)中教師的有聲講解和肢體表達(dá)為代表、而隱性教學(xué)行為重點是指資料收集、教師教育觀、教師學(xué)生觀等一切在作出可見行為之前在頭腦中先期形成的思想、觀念等行為.隱性的教學(xué)行為支配著教師的外顯行為，反過來顯性的教學(xué)行為則是隱性教學(xué)行為內(nèi)在需求的外顯表現(xiàn)，而課堂教學(xué)效果則是各種教學(xué)行為共同作用的結(jié)果，其中教師講解行為對課堂教學(xué)效益的影響最大.本文擬根據(jù)平時的課堂觀察和調(diào)查研究對“教師講解”這一教學(xué)行為提出個人見解，意在尋求一種比較有效的帶有一定普適性的數(shù)學(xué)講解行為.

1 教師講解要提升趣味性

一位資深的數(shù)學(xué)教師在談到課堂教學(xué)時說過這樣一句話：“課堂有趣學(xué)生愛，課堂無趣討人厭”，數(shù)學(xué)課，歷來以枯燥乏味而聞名，其中很大一部份原因是教師課堂講解缺乏趣味性所致.在本次調(diào)查問測中我們設(shè)計了這樣一個問題：

問題一：老師在講解問題時，語言幽默風(fēng)趣、自然流暢嗎？

A．是 B．基本是

C．有時是 D．不是

三個不同學(xué)段的學(xué)生選擇A的比例分別為小學(xué)78%、初中47%、高中39%，說明超過60%的高二學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)教師的課堂講解缺乏趣味性.主要原因有二：一是高中階段的教學(xué)內(nèi)容與初中和小學(xué)相比具有更明顯的理性成份，需要學(xué)生更多地用理性思維而不是感性思維去感知教學(xué)內(nèi)容；二是許多高中教師認(rèn)為高中學(xué)生較初中生和小學(xué)生具有更強的理性思考能力，因此課堂教學(xué)中無需再強調(diào)講解的趣味性，而這恰恰是高中教師認(rèn)識上的偏差.事實上，不管是哪個學(xué)段的學(xué)習(xí)，他們都喜歡充滿趣味的課堂，而且充滿趣味的課堂能最大限度地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生在輕松的氛圍中自由獲得知識、掌握技能最終學(xué)會學(xué)習(xí).

當(dāng)然，課堂教學(xué)中的趣味性隨年齡段的不同而有不同的表現(xiàn)形式，如果不顧學(xué)生學(xué)情一味地追求趣味很有可能落入“俗套”.

案例1一節(jié)“誘導(dǎo)公式”的公開課

教師在講解完“cos(-α)=cosα”后為了讓學(xué)生能形象地記住這一公式，用了一個比較“形象的比喻”，下面是這段比喻的實錄.

師：同學(xué)們，我們怎么來記憶“sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα”這兩個公式？

師：這樣理解是可以的，但這個學(xué)生實際上在頭腦中再次推導(dǎo)了這兩個公式，這不算真正的記憶.

師：老師教你們一種記憶方式.

(此時，學(xué)生帶著渴望的神情等待教師講解)

師：我們把余弦符號中間的字母看成是一張嘴，而“-”是一顆糖，這嘴有點饞，把這顆糖吃掉了，所以公式“cos (-α)=cosα”中的“-”不見了，而正弦的嘴還沒長好，所以這顆糖沒有吃掉.

這段講解看似很富趣味，但實際上有幾點值得我們深思：首先，這位學(xué)生的理解非常好，從認(rèn)識論的角度來看，學(xué)生記憶本身就有有意識記和無意識記，而這位學(xué)生能從定義本身出發(fā)理解這兩個公式，這是非常值得肯定的，它是屬于有意識記的范疇.但是老師卻用否定的語氣進行評價，這不利于學(xué)生的自主發(fā)展；其二，對于高中學(xué)生而言，再用什么糖果之類的比喻未免有點太“兒童化”了，這種比喻不符合高中學(xué)生的年齡特點；其三，這樣的比喻本身帶有科學(xué)性錯誤，我們暫且認(rèn)定“cosα”中的字母“o”是一張嘴巴，它把糖吃了，而“sinα”沒長嘴巴，但如果我們繼續(xù)考慮書本沒介紹的公式“cot(-α)=-cotα”，同樣長了個嘴巴，為什么這里不吃糖了？難道這張嘴太“老”了，啃不動糖了？

2 教師講解要突出整合性

教師的講解行為實際上體現(xiàn)了教師對教學(xué)內(nèi)容的處理和把握能力.無論是哪個學(xué)段的教師對于教學(xué)內(nèi)容的講解都有一個共性的要求：講解要突出重點，否則講解面面俱到、主次不分，學(xué)生的學(xué)習(xí)也就無法抓住重點內(nèi)容，同時要追求“整合”以培養(yǎng)學(xué)生融合性思維的能力，否則學(xué)生學(xué)到的知識過于“碎片化”，不利于學(xué)生分析問題和解決問題的能力.但從我們的調(diào)查分析來看，在不同的學(xué)段中教師的講解行為存在著明顯的差異，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師比較重視重點內(nèi)容的講解而不很重視教學(xué)內(nèi)容的整合和重組，而中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教師則反之，他們對內(nèi)容的“整合和重組”的重視程度更甚于教學(xué)內(nèi)容本身.這與中小學(xué)階段教學(xué)內(nèi)容的深度和寬度有關(guān)，我個人認(rèn)為這是比較正常的.但也有部份中學(xué)教師在講解時過于“單一化”，講解時重視知識點的講解而忽視數(shù)學(xué)知識的整體把握.

案例2一節(jié)《三角函數(shù)定義》的高三一輪復(fù)習(xí)課

教師在復(fù)習(xí)完三角函數(shù)線后出示了這樣一條題：

下面是教師組織課堂教學(xué)的實錄片斷：

師：要求函數(shù)定義域，根據(jù)定義域的一般求法，我們應(yīng)列出什么條件？

師：很好，函數(shù)定義域?qū)嶋H上就是不等式的解集，為求解這個不等式，我們需要用到三角函數(shù)線，請同學(xué)們再回憶一下剛才復(fù)習(xí)的三角函數(shù)線.

師：大家有沒有什么不同意見？

(學(xué)生沉默)

師：有沒有注意到余弦的周期性？

3 教師講解要凸顯數(shù)學(xué)性

數(shù)學(xué)課堂要有數(shù)學(xué)味、數(shù)學(xué)教師的講解也要有數(shù)學(xué)味，所謂數(shù)學(xué)味就是數(shù)學(xué)的味道：它既不是美麗的畫面也不是動聽的音樂，既不是浪漫的詩意也不是有趣的情景，它是指向數(shù)學(xué)本身的對數(shù)學(xué)問題的洞察和解析，是從數(shù)學(xué)的角度探索數(shù)學(xué)特有規(guī)律的一種情感，它倡導(dǎo)用數(shù)學(xué)家的思維分析和解決實際問題.數(shù)學(xué)的味道既決定于教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)也決定于教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)的味道在課堂中體現(xiàn)出“思辯多于追風(fēng)、靈動多于機械”的教學(xué)特點，師生在充滿數(shù)學(xué)味的課堂中自由地思辯和探究并在其中不斷地成長.可是，有些教師在教學(xué)中忽視了數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)味，過分地追求華麗、追求熱鬧、追求時尚，把教學(xué)當(dāng)成演戲.更有甚者，個別教師把課堂當(dāng)作展示自己的舞臺，在課堂里盡情“表演”而對學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)置若罔聞.

案例3一節(jié)高考數(shù)學(xué)題的評講課

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

這是2018年全國卷(Ⅱ)的最后一條題目.下面摘錄一段課堂實錄：

師：在解第(2)小題時，我們可以設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.同學(xué)們想一想，這個函數(shù)與題目中給定的函數(shù)有什么關(guān)系？

(經(jīng)過大約2分鐘的思考后，有一位學(xué)生舉手)

師：很好，現(xiàn)在老師問你一個問題，經(jīng)過這樣的處理后你認(rèn)為函數(shù)f(x)與g(x)之間存在什么樣的關(guān)系？

(經(jīng)過約一分鐘的思考后，該學(xué)生回答)

生：由于ex總是正的，因此，f(x)在(0,+∞)只有一個零點等價于h(x)=1-ax2e-x在區(qū)間(0,+∞)上只有一個零點，所以我們只要研究函數(shù)h(x)=1-ax2e-x在區(qū)間(0,+∞)上只有一個零點時a的值.

師：這位學(xué)生講的非常好！下面我們就用熱烈的掌聲對這位學(xué)生的回答表示祝賀和感謝.

下面我們來分析這段對話，我們不否認(rèn)這位學(xué)生的思考是有價值的，它能挖掘出兩個不同函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化.但這里有幾點值得我們深思：

一是學(xué)生的回答是在教師提出了一個新的函數(shù)后進行了追根索源的思考，這一點是值得提倡的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會象數(shù)學(xué)家那樣去思考問題，對一些“自然而然”的結(jié)論要學(xué)會責(zé)疑、學(xué)會探索問題根源，但在這一案例中學(xué)生完成了“由果索因”這項工作，但具有數(shù)學(xué)味的課堂同時強調(diào)“由因?qū)Ч?本案例中教師先入為主出示了函數(shù)h(x)，問題是如果教師不提出這個函數(shù)，學(xué)生能想到嗎？

二是這一轉(zhuǎn)換是等價的，但轉(zhuǎn)換過程中并沒有實現(xiàn)“由繁到簡”的過程，我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)中往往要通過轉(zhuǎn)化實現(xiàn)“化繁為簡”、“由生疏為熟悉”、“化未知為已知”等目的，但本例的轉(zhuǎn)化并沒有實現(xiàn)這一意圖.從思維的常規(guī)性來看，在數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化過程中往往將“負(fù)指數(shù)”要化為“正指數(shù)”，但本次轉(zhuǎn)化卻是反其道而行之，實現(xiàn)了將“正指數(shù)問題”轉(zhuǎn)化為“負(fù)指數(shù)問題”，這有違常理，為什么要這樣轉(zhuǎn)化？教師沒有進行深入的思考，只是在“仔細(xì)”閱讀了參考答案后反推出了所謂的解題思路，而且將這一解題思路淋漓盡致地在課堂展示給學(xué)生看了.看似講得“頭頭是道”，實則只是教師的一堂“數(shù)學(xué)解題表演課”！

4 教師講解要關(guān)注生成性

教學(xué)效果是課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)與生成共同作用的產(chǎn)物，沒有預(yù)設(shè)的課堂難以完成學(xué)習(xí)目標(biāo)，而沒有生成的課堂是呆板低效的.在平時的課堂觀察中可以發(fā)現(xiàn)有些教師在上課時過分追過完美，把課堂當(dāng)成講堂，教學(xué)過程井然有序、課堂結(jié)構(gòu)科學(xué)嚴(yán)密，但是學(xué)生在這樣的課堂上被動地接受，知識的接受缺乏體驗性過程，學(xué)習(xí)效率低下.

案例4在案例2提到的那節(jié)課上，有這樣一條題目：

已知α的終邊經(jīng)過點P(3a,4a)，則sinα=________;cosα=________.

我們認(rèn)為學(xué)生在課堂上出錯是很正常的，問題是在學(xué)生得出這樣的錯誤結(jié)論后教師如何引導(dǎo)學(xué)生“自我反省”？一個比較好的做法是設(shè)置相關(guān)題組讓學(xué)生在練習(xí)中省悟，在比較中辯別.針對這一錯誤我們可以即興編制這樣一組題組：

(1)已知α的終邊經(jīng)過點P(3,4)，則sinα=________;cosα=________.

(2)已知α的終邊經(jīng)過點P(-5,-12)，則sinα=________;cosα=________.

(3)已知α的終邊經(jīng)過點P(3a,4a)，當(dāng)a=-1時sinα=________;cosα=________.

通過這一題組的訓(xùn)練，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)自身錯誤的原因所在，并且能更好地理解點P到原點的距離r的實際意義.此外，這樣的處理強調(diào)了教師引導(dǎo)、設(shè)問，學(xué)生感悟為主的教學(xué)方式，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、自覺參與中體驗成功的快樂.

5 教師講解要強化探究性

數(shù)學(xué)教師講解的突出要求是要注重探究性，這也是數(shù)學(xué)性的主要標(biāo)志.教師在課堂教學(xué)中應(yīng)突出設(shè)疑、引導(dǎo)、探究，通過教師精心預(yù)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生思考.面對一些比較復(fù)雜或者學(xué)生難以理解的問題，教師還要善于設(shè)置“中間臺階”以幫助學(xué)生跨越難點，以“問題鏈”為載體、以“導(dǎo)問”為手段引導(dǎo)學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學(xué)的精彩結(jié)論,而不是以自問自答的形式直接告知結(jié)果.

案例5一節(jié)題為《正切函數(shù)圖象與性質(zhì)》的復(fù)習(xí)課

首先，教師與學(xué)生一起復(fù)習(xí)正切線的概念，并通過正切線畫出了正切函數(shù)的圖象，在得出了如圖所示的正切函數(shù)圖象后，教師要求學(xué)生根據(jù)圖象回答如下兩個問題：

(1)函數(shù)y=tanx的定義域和值域分別什么？

(2)函數(shù)y=tanx的單調(diào)性、奇偶性、周期性如何？

從課堂效果來看，大多數(shù)學(xué)生都能通過觀察圖象快速地說出正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、奇偶性和周期性，隨后教師提出了如下的問題(3)：函數(shù)y=tanx是奇函數(shù)，也就是說正切函數(shù)y=tanx的圖象是關(guān)于原點對稱的，換句話說原點是正切函數(shù)的一個對稱中心，那么正切函數(shù)y=tanx除了原點以外還有其他的對稱中心嗎？如果有，請寫出它的對稱中心.

問題1：圖象關(guān)于點P(x0,y0)對稱的幾何意義是什么？

問題2：用恒等式表示函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P(x0,y0)中心對稱

問題3：若P(x0,y0)是函數(shù)y=tanx的對稱中心，它應(yīng)該滿足什么條件？

問題4：從問題3出發(fā)，可否求出P(x0,y0)的坐標(biāo)？

通過這些問題的探究讓學(xué)生從理性的角度理解：函數(shù)f(x)關(guān)于點P(x0,y0)中心對稱等價于等式“f(x0+x)+f(x0-x)=2y0”對任意實數(shù)x成立.

于是在研究正切函數(shù)y=tanx的對稱中心時可設(shè)其對稱中心為P(x0,y0).即，

對任意實數(shù)x都有：

tan (x0+x)+tan (x0-x)=2y0.

若tanx0存在，則取x=x0和x=0，分別得到tan 2x0=2y0和2tanx0=2y0，聯(lián)立方程組得到tanx0=0，從而x0=kπ(k∈Z)，進一步得到y(tǒng)0=0;

tan (x0+x)+tan (x0-x)

恒成立，

上述研究既從數(shù)量的關(guān)系探究了正切函數(shù)y=tanx的對稱中心，同時也充分凸顯了“特殊到一般”以及“分類討論”等重要數(shù)學(xué)思想，更重要的一點是這一探究對有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)也具有積極的意義.

以上所述是筆者本人對數(shù)學(xué)教師“課堂講解行為”的一點思考，當(dāng)然講解行為只是教師教學(xué)行為的一個側(cè)面.作為教師,我們的講解要立足于引導(dǎo)，通過引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生自己“找出路”的能力，讓學(xué)生做開自己車的“司機”，而不是搭教師車的“乘客”，讓學(xué)生在參與中學(xué)習(xí)、體驗中感悟、在實踐中提升，切實提升學(xué)生數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng).