用問題驅(qū)動(dòng)探究讓結(jié)論自主建構(gòu)——以“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”為例

楊 勇

(江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 212003)

1 問題提出

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，一堂有價(jià)值的探究課通常從問題開始，用問題來驅(qū)動(dòng).這就需要我們設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)問題，在問題的探究過程中關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與技能目標(biāo)的落實(shí)，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，揭示數(shù)學(xué)的思想和方法，讓學(xué)生在問題解決中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的自我建構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和表達(dá)，這是新一輪課程改革所倡導(dǎo)的.然而，在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的問題設(shè)計(jì)簡單、膚淺，探究價(jià)值不大，只呈現(xiàn)表面的熱鬧，學(xué)生的思維得不到鍛煉，有的問題又超出學(xué)生的能力水平，探究不下去，取而代之的是直接向?qū)W生實(shí)施知識(shí)的“填與灌”，學(xué)生缺乏主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的建構(gòu)不穩(wěn)固.如何用問題驅(qū)動(dòng)探究，讓結(jié)論自主建構(gòu)？下面筆者結(jié)合2018年12月在“江蘇省教育科學(xué)研究院高中科研基地學(xué)校主題論壇”上執(zhí)教的《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用》一課，談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 提出問題

師：過去我們怎樣判斷函數(shù)的單調(diào)性？

生：圖象法、定義法.

師：現(xiàn)在還能用上述方法嗎？

生：(思考片刻)不能，因?yàn)橛脠D象法在描點(diǎn)畫圖時(shí)誤差太大，用定義法經(jīng)過運(yùn)算又難以確定f(x1)-f(x2)的符號(hào)！

生：對(duì)老方法進(jìn)行再研究或?qū)ふ倚路椒?

2.2 實(shí)驗(yàn)演示 合作探究

問題3：下面我們就對(duì)單調(diào)性的定義進(jìn)行再研究，看看能否有新的發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考幾分鐘，然后進(jìn)行小組交流.

師：請(qǐng)各小組派代表發(fā)言.

組1：以增函數(shù)為例，對(duì)其中的關(guān)鍵語句“某個(gè)區(qū)間A上的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1

師：這兩個(gè)數(shù)同號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)是什么？然后又什么新的聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)？

師：能進(jìn)一步尋找割線斜率為正的充分條件嗎？

組4：瞬時(shí)變化率吧？函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，那么是導(dǎo)數(shù)？好像一下子又說不清.

組5：割線的斜率可以反映曲線的平均變化趨勢，當(dāng)其中一點(diǎn)無限逼近另一點(diǎn)時(shí)，割線就成了該點(diǎn)處的切線，切線的斜率反映的是曲線的瞬時(shí)變化趨勢，這其中似乎有某種內(nèi)在的聯(lián)系！

師：用逼近的思想分析的很好. 函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)可導(dǎo)，意味著函數(shù)在這一點(diǎn)附近近似于一次函數(shù)，即曲線在一點(diǎn)的附近可以近似地看成一條切線，這叫“以直代曲”，若該點(diǎn)處切線斜率為正或負(fù)，從圖形變化趨勢上看說明什么？

組6：說明函數(shù)在該點(diǎn)處呈上升或下降的趨勢.

師：如果函數(shù)在區(qū)間A上每一點(diǎn)處的變化趨勢都相同，那么函數(shù)在該區(qū)間上整體的變化趨勢如何，單調(diào)性又如何呢？

讓我們借助幾何畫板來進(jìn)行探究(由學(xué)生自由舉例)，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

組7：若函數(shù)在區(qū)間A上的每一點(diǎn)處呈上升(下降)趨勢，則函數(shù)圖象整體呈上升(下降)趨勢，函數(shù)單調(diào)遞增(減).由此可見，在區(qū)間A上的函數(shù)切線斜率決定了函數(shù)的圖象變化趨勢，也就是函數(shù)的單調(diào)性.即函數(shù)在區(qū)間A上的每一點(diǎn)處的切線的斜率大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間A上的每一點(diǎn)處的切線的斜率小于零，函數(shù)單調(diào)遞減.

師：上述猜想是從形的方面得到的，我們再從數(shù)的方面驗(yàn)證一下我們的猜想，請(qǐng)?zhí)畋?，完成以后，?qǐng)每組自己也舉出幾個(gè)常見的函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.

函 數(shù)f(x)=x2f(x)=x3f(x)=ln xf(x)=sin x導(dǎo)數(shù)符號(hào)單調(diào)性

(1)獨(dú)立驗(yàn)證，合作釋疑，展示成果；(2)教師從學(xué)生中選擇具有代表性的函數(shù)進(jìn)行匯報(bào)展示.

問題4：探究至此，結(jié)論呼之欲出，誰來表達(dá)一下？

生：我們得到這樣的猜想：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果在某區(qū)間上f′(x)>0，那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f′(x)<0，那么f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù)．

2.3 自主建構(gòu) 感悟新知

師：通過數(shù)和形兩方面驗(yàn)證，每一次驗(yàn)證，都增強(qiáng)了猜想是正確的信心！接下來，我們將研究猜想的證明.

生：從直觀上看，是成立的.

師：如何保證？

問題6：當(dāng)P、Q是確定的兩點(diǎn)時(shí)，的確如此！當(dāng)P、Q是區(qū)間上任意兩點(diǎn)時(shí)，能保證嗎？

生：鼓掌！

師：精彩！“不知道切點(diǎn)S在哪里，但它確定存在！”請(qǐng)?jiān)试S我借用賈島的詩句：“松下問童子，言師采藥去。只在此山中，云深不知處?！眮肀磉_(dá)一下我的心情，雖然我們不知道“老藥師”在山中的什么地方，但他卻肯定存在著.這種“純粹的存在”在數(shù)學(xué)中是常見的，你還能舉出這樣的例子嗎？

生：比如“抽屜原理”(也稱“鴿籠原理”)就是把M個(gè)蘋果放在N個(gè)抽屜里(M>N)，那么必定存在1個(gè)抽屜，其中的蘋果多于1個(gè).至于究竟是哪個(gè)抽屜，我們并不知道.

生：齊贊嘆！

師：經(jīng)過探究我們得到下面的結(jié)論：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果在某區(qū)間上f′(x)>0，那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上f′(x)<0，那么f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù)．

師：如果在某區(qū)間上f′(x)=0，那么f(x)為該區(qū)間上的什么函數(shù)?

生:常數(shù)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：由于該結(jié)論的證明很難，在學(xué)生得出猜想后，很多老師會(huì)讓學(xué)生記住結(jié)論，然后匆忙去做題，這樣正確率或許很高，課堂氣氛也許熱鬧，但學(xué)生對(duì)這一結(jié)論的理解還停留在表面的形式化，對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性的內(nèi)在聯(lián)系似懂非懂，為后繼學(xué)習(xí)埋下了隱患，因?yàn)闆]有探究出結(jié)論的證明過程，運(yùn)用起來總感覺是“無根之木”、“無源之水”.筆者在本環(huán)節(jié)，為引導(dǎo)學(xué)生自己證出結(jié)論，層層鋪墊，循循善誘，激發(fā)學(xué)生突破這一難點(diǎn)，同時(shí)結(jié)合古詩詞的賞析，培養(yǎng)思維方式，鑒賞數(shù)學(xué)之美，挖掘潛在價(jià)值，也為后續(xù)深入學(xué)習(xí)微積分的內(nèi)容打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.4 拓展探究 深化理解

問題7：上述結(jié)論的逆命題成立嗎？

即：如果f(x)在某區(qū)間上為增函數(shù)，那么在該區(qū)間上f′(x)>0成立嗎?

生：不一定，在用幾何畫板的探究中發(fā)現(xiàn)f(x)=x3在R上為增函數(shù), 但f′(0)=0.

師：也就是說，如果f(x)在某區(qū)間上為增函數(shù)，那么在該區(qū)間上f′(x)≥0.

問題8：反之,如果在某區(qū)間上f′(x)≥0，那么f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)，成立嗎?

生：也不一定，f′(x)≥0即：f′(x)>0或f′(x)=0，當(dāng)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的某個(gè)子區(qū)間內(nèi)f′(x)=0，即為常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.

問題9：那作怎樣的修改后即可成立?

生：如果在某區(qū)間上f′(x)≥0，且該區(qū)間上的任一子區(qū)間內(nèi)f′(x)≠0(在若干個(gè)不連續(xù)的點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可以為0)，那么f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù).

師：分析透徹，回味綿長!

設(shè)計(jì)意圖：教師應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到，學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的改變和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升不僅是要教師講，更需要學(xué)生的親身體驗(yàn)、參與、交流，本環(huán)節(jié)通過問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生逆向的探究拓展，引發(fā)學(xué)生不斷深度入思考，去明辨其中的充分性和必要性，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入理解，在這一過程中學(xué)生的思維被完全激活，在不斷完善條件中提升了理性思辨的能力．

2.5 數(shù)學(xué)應(yīng)用 鞏固新知

例1：確定函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在哪些區(qū)間上是增函數(shù)．

例2：確定函數(shù)f(x)=sinx(x∈(0,2π))的單調(diào)減區(qū)間．

設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)是結(jié)論的應(yīng)用和深化過程，重在模仿性、辨別性和層次性，例1、例2說明當(dāng)根據(jù)定義不太容易解決函數(shù)單調(diào)性時(shí)，可以利用導(dǎo)數(shù)來解決;例3則說明不能根據(jù)定義法解決的，利用導(dǎo)數(shù)仍可以解決，從三次函數(shù)到三角函數(shù)再到較復(fù)雜函數(shù)，層層深入，讓學(xué)生感受探究的價(jià)值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的優(yōu)越性和普遍適用性．

2.6 反思總結(jié) 歸納提煉

師：請(qǐng)說說今天這節(jié)課有什么收獲？

生：一個(gè)數(shù)學(xué)方法；二方面應(yīng)用；三類數(shù)學(xué)思想.

師：具體說說哪三類數(shù)學(xué)思想？

生：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，以直代曲.

師：精彩的總結(jié)讓我們對(duì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的認(rèn)識(shí)得到了升華！

3 幾點(diǎn)思考

蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.學(xué)生對(duì)問題的好奇心和探知欲是天生的，關(guān)鍵是如何讓學(xué)生在課堂上能主動(dòng)探究，教師應(yīng)認(rèn)真研究學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的心理準(zhǔn)備、知識(shí)儲(chǔ)備等，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出合理問題，用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究，通過問題的解決來實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu).

3.1 用問題驅(qū)動(dòng)探究要以教學(xué)目標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)

問題設(shè)計(jì)首先應(yīng)該服從于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，教學(xué)目標(biāo)是構(gòu)成一堂好課的第一要素，如果說正確的教學(xué)內(nèi)容決定教什么、學(xué)什么，那么明確的教學(xué)目標(biāo)則規(guī)定教到什么程度、學(xué)到什么水平.我們上課之前需要思考為什么提出這樣的課題？這樣的課題包含哪些內(nèi)容？課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)課題的要求是什么？如何抓住重點(diǎn)、突破難點(diǎn)？只有深刻理解教材，才能把握目標(biāo)，才能有合理的問題設(shè)計(jì)，才能保證探究活動(dòng)的開展和學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)沿著正確的方向展開.本課中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性兩個(gè)概念都非常抽象，引導(dǎo)和揭示它們之間的聯(lián)系是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，該內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了平均變化率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義之后為研究單調(diào)性提供了更一般的方法，是后面學(xué)習(xí)能力基礎(chǔ)和方法指導(dǎo)，也為后續(xù)深入學(xué)習(xí)微積分的內(nèi)容打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本人在設(shè)計(jì)問題時(shí)作了充分考慮，驅(qū)動(dòng)了學(xué)生開展更有效、更深入的探究活動(dòng)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)意義的自主建構(gòu).

3.2 用問題驅(qū)動(dòng)探究要以情境創(chuàng)設(shè)為切入點(diǎn)

3.3 用問題驅(qū)動(dòng)探究要以最近發(fā)展區(qū)為著力點(diǎn)

維果斯基提出的最近發(fā)展區(qū)理論，他認(rèn)為個(gè)體的發(fā)展有兩個(gè)水平，一是自身所能達(dá)到的獨(dú)立完成任務(wù)的水平，二是在他人的幫助下完成任務(wù)的水平. 據(jù)此，合理的問題設(shè)計(jì)應(yīng)以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)——介于這兩個(gè)水平之間的區(qū)域?yàn)橹c(diǎn)，以學(xué)生已有的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)出讓學(xué)生跳一跳能夠得著的問題，這樣既有利于讓學(xué)生感到問題的挑戰(zhàn)性，引領(lǐng)他們積極思考，又能感受到成功的喜悅，激發(fā)他們繼續(xù)深入探究的激情和勇氣. 需要說明的是，問題過難過易都不利于學(xué)生的探究，更不能無視學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，簡單強(qiáng)硬地從外部對(duì)學(xué)生實(shí)施知識(shí)的“填灌”，而是應(yīng)當(dāng)通過難易適中的問題啟發(fā)學(xué)生在課堂愿意思考，能夠思考，并且在思考之后能夠有所得. 如本課中結(jié)論證明過程的設(shè)計(jì)，先降低難度，從P、Q是區(qū)間上確定兩點(diǎn)得到證法，然后拾級(jí)而上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推出：當(dāng)P、Q是區(qū)間上任意兩點(diǎn)時(shí)的情況也能保證成立，再經(jīng)過總結(jié)反思，發(fā)現(xiàn)結(jié)論證明過程和唐詩意境竟然相互融通，讓學(xué)生在廣泛聯(lián)系中不僅理解了“純粹的存在”，更突破了抽象化證明的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)結(jié)論的自主建構(gòu).

3.4 用問題驅(qū)動(dòng)探究要以提高問題開放性為支撐點(diǎn)

涂榮豹先生曾經(jīng)指出：啟發(fā)探究最重要的就是要在教學(xué)中盡可能多采用一些元認(rèn)知問題，少采用一些認(rèn)知性的問題，即要通過提高問題的開放性來激發(fā)學(xué)生探究的積極性. 我們在設(shè)計(jì)問題時(shí)要具備一定的開放性和自由度，能夠給學(xué)生的獨(dú)立思考和主動(dòng)探究留下充分的探究空間，同時(shí)也應(yīng)將“同學(xué)間的合作和積極互動(dòng)”考慮在內(nèi).數(shù)學(xué)問題開放性是相對(duì)于傳統(tǒng)的“條件完備、結(jié)論確定”封閉性而言的,它只是“問題”，而不是有現(xiàn)成的解決模式可套的“習(xí)題”，在開放性問題的探究中，解決問題的思想和途徑可能因人而異，靈活多樣；結(jié)論或結(jié)果一般是豐富多彩的；預(yù)設(shè)與生成有時(shí)會(huì)“大相徑庭”；正是因?yàn)檫@樣，才有利于老師捕捉?jīng)_突點(diǎn)、引發(fā)思維碰撞，有助于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)，使每個(gè)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的發(fā)展. 例如，本課中：“你能自己舉例進(jìn)行驗(yàn)證嗎？”“結(jié)論的逆命題成立嗎？”“作怎樣的修改后即可成立？”等問題，起到了把探究活動(dòng)引向深入的同時(shí)，也為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題能力的提升奠定了基礎(chǔ).

3.5 用問題驅(qū)動(dòng)探究要以促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”、“數(shù)學(xué)方法”和“數(shù)學(xué)思想”的有機(jī)結(jié)合，其中“數(shù)學(xué)思想和方法”是數(shù)學(xué)的靈魂，在教材中“數(shù)學(xué)思想和方法”大都沒有直接的文字表述，它是從具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)中提煉和概括出來的，其在后繼認(rèn)識(shí)活動(dòng)中反復(fù)得到驗(yàn)證，帶有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征.在問題設(shè)計(jì)時(shí)盡力去挖掘和提煉知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，然后把它巧妙的融入到探究過程中，讓學(xué)生去感悟、體驗(yàn)這其中的數(shù)學(xué)味，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、結(jié)論的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的真正內(nèi)化，在潛移默化中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.如本課中：學(xué)生對(duì)逆命題的探究，層層深入，鞭辟入里，明辨了其中的充分性和必要性，在達(dá)到對(duì)結(jié)論本質(zhì)自主建構(gòu)的同時(shí)，特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想得到了滲透，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了提高！