一題之探——以數(shù)形結(jié)合思想為例

李 晶 孫雪梅 李德安

(1.曲靖市第一中學(xué) 655000； 2.曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 655011)

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的數(shù)學(xué)思想.華羅庚曾對數(shù)形結(jié)合思想有過精辟的論述：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離[1].“數(shù)”抽象而形式化，“形”具體而形象化.“數(shù)”與“形”對應(yīng)的思維是分析性思維和視覺化思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)解題中都是必需的，它們在數(shù)學(xué)解題中相互作用互為補充.下面以2016年云南省第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測中的一道解析幾何題的解答為例，說明如何通過對圖形信息與數(shù)式信息的相互補充和交互作用的探究，引導(dǎo)學(xué)生探尋精彩而奇妙的解法.

(1)求橢圓E的方程；

1 以數(shù)代形，常法開路

對(1)問，要求學(xué)生不作出圖形，根據(jù)題設(shè)條件，用代數(shù)方法求出橢圓的方程，學(xué)生很容易想到用待定系數(shù)法和方程(組)的思想進行求解.

由已知得，

對(2)問，第一步必先求出λ的值.要確定λ的值，根據(jù)題設(shè)條件，學(xué)生會想到第一種途徑：根據(jù)向量的運算求出λ的值.

向量的運算涉及“圖”與“式”，既有視覺化思維，又涉及分析性思維，特別是對特殊情況的討論，分析性思維尤為重要.

則1+λ=4，所以λ=3.

根據(jù)題設(shè)中的條件，有的學(xué)生還會想到第二種途徑：利用定比分點向量公式求λ的值.有了前面的討論和引導(dǎo)，學(xué)生會考慮解答的完整性，避免漏掉對特殊情況的討論.

當O?l時，由定比分點向量公式可得

當O∈l時，即m=0時，也符合題意.

從“數(shù)或式”的角度，引導(dǎo)學(xué)生利用直線與圓錐曲線綜合問題的通用解法：聯(lián)立方程、消元、利用判別式“Δ”、韋達定理，可求得m的范圍.

得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0，

Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0，

即k2-m2+4>0……①

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由韋達定理得

所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，

化簡得m2k2+m2-k2-4=0，

所以(m2-1)k2=4-m2，

當m2=1時，上式不成立，

所以1

所以1

解法1從代數(shù)的角度找到解題的思路，雖然思路簡單，容易理解，但涉及的代數(shù)運算較繁，容易計算出錯.

解法2：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

4(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0

②

所以3my2=2m2+4，

若m=0，上式顯然不成立，

因為y2<2，

(1)當m>0時，2m2-6m+4<0，解得1

(2)當m<0時，2m2+6m+4<0，解得-2

綜上所述，m的取值范圍是-2,-1∪1,2.

對第(2)問，解法1和解法2都是從“數(shù)或式”出發(fā)，利用常用的代數(shù)解法，求得m的取值范圍，但解法2在解法1的基礎(chǔ)上，利用整體思維，巧借m與y2的關(guān)系簡化了運算過程，讓學(xué)生在掌握常法的基礎(chǔ)上，會去思考解法的進一步簡化和優(yōu)化.

2 以形助數(shù)，另辟蹊徑

引導(dǎo)學(xué)生以“形”助“數(shù)”，從幾何的角度另辟蹊徑，找到新的解法.點撥學(xué)生利用橢圓可由圓均勻壓縮而得到，畫出圖形，看是否能從圖中找到一些關(guān)系，或者從圖形表征或題目信息中推導(dǎo)出更多有用的結(jié)論或找出新的解題思路.讓學(xué)生在解題過程中，不斷進行信息的精致化和新信息的再探究，不斷調(diào)節(jié)解題思路，從而使問題一步一步地得以解決.

圖1

所以A′C=2AC，B′D=2BD，

所以Rt△A′CP∽Rt△B′DP，

所以∠CPA′=∠DPB′；B′，P，A′三點共線，

作OE⊥A′B′于點E，

因為A′B′為⊙O的弦，所以E為A′B′的中點，

設(shè)OE=d，0

設(shè)B′P為1份，則A′P為3份，

所以A′B′為4份，E為A′B′中點，

所以B′E為2份，從而PE為1份，

由0

即1

解法3利用橢圓可由圓均勻壓縮而得到，利用圓和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)線段的相似關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為利用m與圓心到圓的弦的距離d的關(guān)系，再由d的范圍，求出m范圍.解法3充分利用幾何直觀，借助視角化思維獲得了新的解法，運算過程也大為簡化.

3 數(shù)形結(jié)合，出奇制勝

以上三種解法，都有直覺觀察和邏輯推理的互動互補，但都是正向思維，能否利用數(shù)形結(jié)合進行逆向思維，找到更出奇制勝的奇妙解法呢？

圖2

由以上的證明，可將以上問題轉(zhuǎn)化為如圖2所示，在⊙O中，P是⊙O內(nèi)異于圓心O的一定點，直線OP與⊙O交于兩點M、N，A是⊙O上的點，那么A在何處時，PA取最值？如圖2所示，在直線MN右側(cè)，點A在圓上按順時針運動到點A′，作直線l⊥PA，l交PA′于點C，在Rt△PAC中，PA

圖3

也可以如圖3所示，在直線MN右側(cè)，點A在圓上按逆時針運動到點A′，作直線l垂直于半徑OA，作PP′⊥l于點P′，顯然PC

圖4

亦可以如圖4所示，設(shè)∠NPA=θ，0≤θ≤π，設(shè)OP=m，⊙O的半徑為R，則m

在△POA中，由余弦定理得：

R2=x2+m2-2mxcosθ，

顯然，以x為自變量的函數(shù)是增函數(shù).所以，當cosθ取最大值，即θ=0(點A在點N處)時，x最大，即PA最長；當cosθ取最小值，即θ=π(點A在點M處)時，x最小，即PA最短.

中學(xué)解析幾何的內(nèi)容主要涉及數(shù)式表征和圖形表征，因此解題時，常要用到數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用中蘊涵著邏輯思維和直覺思維兩種重要的思維方式，在解題過程中，圖形與數(shù)式信息的相互作用不是一次就可以完成的，也不只是從圖形信息到數(shù)式信息或者從數(shù)式信息到圖形信息的單向流向，而是圖形信息與數(shù)式信息的相互補充和交互作用.

在解題教學(xué)中，不要為解題而解題，把學(xué)生變成解題的機器.教師應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生對簡單問題的深度思考，以問題為載體，把解題中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維方式揭示出來，讓學(xué)生在解題中學(xué)會思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，掌握數(shù)學(xué)的思維方式.